2021年全国高中数学联赛B卷一试解答

PAGEPAGE1说明：

2019年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准80分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.9410、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x的值为 ．答案：-3．解：条件等价于1,2,3,x中除最大数以外的另三个数之和为0．显然x<0，从而1+2+x=0，得x=-3． 若平面向量a(2m-1与b(2m-1,2m+1ma的模为 ．答案：10．解：令2m=t，则t>0．条件等价于t⋅(t-1)+(-1)⋅2t=0，解得t=3．因此a的模为32+(-1)2=10．设,bÎ(,p)s,sb是方程5x2-3x1=0的两根则nanb的值为 ．答案： 7．5解：由条件知cosa+cosb=3,cosacosb=-1，从而5 5(sinasinb)2=(1-cos2a)(1-cos2b)=1-cos2a-cos2b+cos2acos2bæ42æ32 7=cosab)2-(cosa+cosb)2=ç÷-ç÷= ．è5ø è5ø 5又由,bÎ(,p)知nanb>0，从而nasnb= 7．5PABC,2，则该三棱锥的体积的最大值为 ．答案：26．3解：设三棱锥P-ABC的高为h．取M为棱AB的中点，则32-12h£PM= =32-12当平面PAB垂直于平面ABC时，h取到最大值22．此时三棱锥P-ABC的体积取到最大值1S3

DABC⋅2

=1⋅3⋅2 = ．22263 32226将5个数按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0，则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：95．解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有4´4!=96个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96-1=95．6.设整数n4，x2的值为 ．答案：51．

y-1)n的展开式中xn-4与xy两项的系数相等，则nnn解：注意到(x+2y)n=åCrxr(2y)r．nr=0n其中xn-4项仅出现在求和指标r=4时的展开式C4xn-4(2n

y-1)4中，其xn-4项系数为(-1)4C4=n(n-1)(n-2)(n-3)．n n而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式Cn-1x⋅(2y-1)n-1中，其xynn 项系数为Cn-1C24⋅(-1)n-3=(-1)n-32n(n-1)(n 因此有n(n-1)(n-2)(n-3)=(-1)n-32n(n-1)(n-2)．注意到n>4，化简得24n-3，故只能是n为奇数且n348．解得n51．在平面直角坐标系中，若以(r0为圆心、r为半径的圆上存在一点(a,b)满足b2³4a，则r的最小值为 ．答案：4．解：由条件知(a-r-1)2+b2=r2，故4a£b2r2-(ar2r(a-(a．即a22(r2r+1£0．上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式(2(r-4(2r=4r(r-4)³0，解得r³4．经检验，当r=4时，(a,b)=(3,23)满足条件．因此r的最小值为4．设等差数列{an}的各项均为整数首项=2019且对任意正整数n存在正整数m，使得a1+a2++an=am．这样的数列{an}的个数为 ．答案：5．解：设n}的公差为d．由条件知1+2=k（k是某个正整数，则2a1+d=a1+(k-1)d，即(k2)d，因此必有k¹2，且d=

a1k-2

．这样就有a=a+(n-1)d=a+n-1a，n 1 1k-21而此时对任意正整数n，a+a++a=an+n(nd=a+(n+n(nd1 2 n 1 2 1 1 2=a+ç(n(k-)+n(n)öd，确实为{an}中的一项．

1

2 k2|成立的正整数k2019为两个素数3与673之积，易知k2可取这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．356分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆GFB为两个顶点．若FA=3,FB=2，求AB的所有可能值．G

x2y2解：不妨设平面直角坐标系中椭圆

的标准方程为a2+b2=1(a>b>0)，a2-b2并记c= ．由对称性，可设Fa2-b2易知F到G的左顶点的距离为a+c，到右顶点的距离为a-c，到上、下顶点的距离均为a．分以下情况讨论：(1)

Baca-c2

AB=2a=5（相b2

=(a+c)(a-c)=6，G

的方程为

4x2

y2+ =14分25 6a2+b2A为左顶点，B为上顶点或下顶点．此时aca2，故ca2+b22 2 2

x2y2而ba-c

3AB=

= 相应的G的方程为

+ =1．4 3…8分a2+b2AB为右顶点．此时aa-c2，故c1a2+b22 2 2

x2y2而ba-c

8AB=

=17（相应的G的方程为

+ =1．9 8综上可知，AB的所有可能值为7,

…12分． …16分（20分）设ac1，满足lga+lgbc=,gb+gac=4.求lga⋅lgc的最大值．解：设lga=x,lgb=y,lgc=z，由a,b,c>1可知x,y,z>0．xz,yz=y x

4，即xy+z=3y=4x．…5分xy4t(t0z4xxy12t-12t2z0可知tÎ(0． …10分因此，结合三元平均值不等式得gagc=z=t⋅1t1-t)=18⋅t2(2-t)æt+t+(2-t)3 æ23 6£18⋅ç ÷=18⋅ç÷= ．3 2

è3ø 38 8当t=2-2t，即t= （相应的a,c分别为103,103）时，ac取到3最大值16． …20分3（20分设复数数列{zn1，且对任意正整数n，均有4

+2znzn+1

+z2=0．证明：对任意正整数m，均有nz+zn

++

<23．1 2 m 3n证明z¹0nÎN*．由条件得næz æz ö4çn+1÷

+2çn1÷+1=0(nÎN*)，zz

n n3i(nÎN*． …5分zn 4zn+1znzn+1zn-zn+1znzn+1zn-1+3i42zn+1znzn+1zn

zn=

⋅

1

=1(nÎN*)． ①2n-1zn+zn+1=

zn⋅1+ =

1⋅ =33i42n33i4

3(nÎN*)． ②2n…10分当m为偶数时，设m2s(sÎN*．利用②可得323s ¥ ¥323+z2++zm£åk=1

z2k-1+z2k

<åk=1

z2k-1+z2k

=å2k-1= ．23k=123…15分当m为奇数时，设m