《有限元非线性》课件

《有限元非线性》课件介绍本课件旨在深入浅出地介绍有限元方法在处理非线性问题中的应用。通过理论讲解、案例分析和编程实践，帮助您掌握有限元非线性分析的基本原理和方法。课件大纲概述介绍非线性有限元法的基本概念和应用范围。解释非线性有限元法的优势和局限性。非线性问题深入探讨各种非线性问题，包括材料非线性、几何非线性、接触问题等。提供非线性问题建模、分析和求解方法的概述。实例与应用展示不同类型非线性问题的实际应用案例，如结构力学、流体力学、热力学等。分析典型案例的建模过程和结果解释。总结与展望总结非线性有限元法的最新进展和未来发展趋势。探讨非线性有限元法的应用前景和未来研究方向。1.非线性问题的概念11.1什么是非线性问题非线性问题是指方程或模型中不满足线性叠加原理的问题。21.2非线性问题的特点非线性问题通常表现为非线性关系、非线性行为，以及不唯一的解。31.3非线性问题的建模非线性问题通常需要使用非线性方程来描述，并采用数值方法进行求解。1.1什么是非线性问题线性问题在结构分析中，线性问题是指结构的材料行为和几何形状在载荷作用下保持线性关系。非线性问题与之相反，非线性问题是指结构的材料行为或几何形状在载荷作用下不再保持线性关系。材料非线性当材料超过其弹性极限时，材料的应力-应变关系不再是线性的，表现出非线性行为。几何非线性当结构发生大变形时，其几何形状发生显著变化，导致结构的刚度矩阵不再保持线性，表现出非线性行为。1.2非线性问题的特点复杂性非线性问题通常涉及复杂的物理现象，难以用线性方程描述。非线性关系材料特性、几何形状或载荷条件可能存在非线性关系。多解性非线性问题可能存在多个解，使得分析更具挑战性。迭代求解需要使用迭代方法来求解非线性方程，这会增加计算成本。1.3非线性问题的建模简化假设非线性问题的建模过程通常需要进行简化假设，例如忽略材料的非线性或几何的非线性，以便简化模型并减少计算量。数学模型基于简化假设，使用数学方程来描述非线性问题的物理现象，例如平衡方程、本构关系、边界条件等等。有限元离散化将连续的物理模型离散化为有限个元素，并使用节点和单元来描述模型，每个节点和单元都有相应的自由度。非线性方程将非线性问题转化为非线性方程组，并使用数值方法进行求解。2.非线性有限元法非线性有限元法非线性有限元法是在线性有限元法的基础上发展而来的，它可以更准确地描述非线性问题的复杂行为。非线性问题非线性问题是指其响应与作用力或位移之间不存在线性关系的问题。非线性有限元法可以处理各种非线性问题，包括材料非线性、几何非线性、接触问题等。应用范围非线性有限元法广泛应用于工程领域，例如结构分析、流体力学、热传导等。2.1非线性有限元方程11.整体刚度矩阵非线性问题中，整体刚度矩阵不再是常数矩阵，而是与节点位移有关的函数。22.非线性载荷项载荷项也可能是非线性的，例如随位移变化的接触力或非线性材料行为引起的载荷。33.迭代求解由于方程的非线性，通常需要采用迭代方法来求解非线性有限元方程。2.2非线性问题的迭代求解非线性有限元方程通常没有解析解，需要采用迭代方法求解。1初始猜测首先需要给出未知量的初始猜测值。2迭代求解根据初始猜测值，采用迭代算法逐步修正解。3收敛判断当迭代结果满足预设的收敛条件时，停止迭代。常用的迭代方法包括牛顿-拉夫森方法、弧长法等，这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的算法。2.3Newton-Raphson方法牛顿-拉夫森方法是一种求解非线性方程组的数值方法，通过迭代的方式逐步逼近解。切线法该方法利用函数在当前迭代点的切线与横轴交点作为下一个迭代点的估计值。收敛性收敛速度快，但需要初始值较好，否则可能无法收敛。2.4弧长法路径长度控制弧长法通过控制解路径的长度，可以有效解决非线性问题中可能出现的病态问题。收敛性提升相比于传统的牛顿-拉夫森方法，弧长法可以显著提高非线性问题的收敛性，尤其是在路径拐弯处。多解问题弧长法可以用于寻找非线性问题中可能存在的多个解，例如在结构的屈曲分析中。3.材料非线性弹性材料弹性材料在卸载后能恢复原始形状，符合胡克定律。塑性材料塑性材料在卸载后不能恢复原始形状，会产生永久变形。粘弹性材料粘弹性材料兼具弹性和粘性，表现为时间依赖的力学特性。脆性材料脆性材料在断裂前几乎没有塑性变形，断裂强度较低。3.1弹塑性问题弹性阶段材料在荷载作用下发生变形，卸载后能恢复到原始形状。塑性阶段当荷载超过材料的屈服极限，材料将发生永久变形，卸载后无法恢复到原始形状。3.2本构关系应力-应变关系本构关系描述了材料在载荷作用下的应力与应变之间的关系。弹塑性本构关系弹塑性材料的本构关系分为弹性阶段和塑性阶段，分别描述了材料在不同应力水平下的行为。3.3本构模型弹性模型描述材料在弹性范围内应力-应变关系。常用线性弹性模型，适用于小变形情况。塑性模型描述材料塑性变形时的应力-应变关系。常用的塑性模型包括vonMises模型、Tresca模型等。粘弹性模型描述材料在弹性变形和粘性变形同时存在的应力-应变关系。常用于橡胶等材料。损伤模型描述材料内部微裂纹扩展、损伤积累的过程，用于研究材料破坏过程。4.几何非线性大位移和大旋转结构发生显著变形，导致位移和旋转量不再忽略不计。几何非线性理论考虑几何非线性影响的理论框架，例如Green-Lagrange应变和二阶应力张量。小更新法将非线性问题逐步线性化，通过迭代求解得到近似解，并在每次迭代中更新几何配置。4.1大位移和大旋转11.大位移结构发生较大变形，节点坐标发生显著变化，需要考虑几何非线性。22.大旋转结构的旋转角度很大，超过小角度近似，需要考虑旋转的非线性。33.影响因素材料的刚度，载荷的大小，结构的形状等因素。44.应用场景缆索桥，薄壳结构等，这些结构通常承受较大的载荷，容易发生大位移和大旋转。4.2几何非线性理论考虑大位移和大旋转的影响，分析结构的变形和应力状态。需要考虑几何非线性，例如应变的非线性关系。建立基于变形几何的非线性平衡方程，进行求解。运用各种数值方法，例如增量法、迭代法等，求解非线性方程。4.3小更新法11.更新节点坐标小更新法通过计算节点位移更新节点坐标。22.更新元素刚度矩阵根据更新后的节点坐标，重新计算元素刚度矩阵。33.求解方程使用更新后的刚度矩阵和载荷向量求解位移增量。44.迭代求解重复以上步骤，直到位移增量小于容许误差。5.接触问题接触的概念接触是指两个或多个物体之间的相互作用。接触问题是结构力学中的一种重要问题，在实际工程应用中非常常见。接触的约束条件接触约束是指物体之间接触时产生的约束条件，例如接触面上的法向力或切向力。接触有限元方法接触有限元方法是处理接触问题的一种有效方法，它通过引入接触单元和接触算法来模拟接触行为。5.1接触的概念表面接触两个物体表面发生接触，接触点处存在相互作用力。接触点接触点是指两个物体表面相互接触的点或区域。接触压力接触点处，两个物体表面相互作用力的分布情况。5.2接触的约束条件接触面约束接触面上的节点只能沿法线方向移动，不能穿透另一个物体。摩擦力约束接触面上的节点之间存在摩擦力，限制了节点的切向运动。法向力约束接触面上的节点之间存在法向力，防止节点穿透另一个物体。5.3接触有限元方法接触单元接触有限元方法利用专门的接触单元来模拟接触面之间的相互作用，可以描述接触面的几何关系、接触力、摩擦力等。惩罚函数法通过在接触面添加惩罚力来模拟接触约束，惩罚力的大小与接触面之间的穿透深度成正比，可以用来判断接触状态。6.非线性有限元建模软件平台选择合适的非线性有限元分析软件，例如ANSYS、ABAQUS或COMSOL。几何建模使用几何建模软件，例如SolidWorks或CATIA，创建分析对象的几何模型。网格划分将几何模型离散化为有限元网格，以便进行数值分析。材料属性定义根据材料特性，定义材料模型和相应的参数。6.1模型建立步骤1几何建模定义模型的几何形状和尺寸2材料属性定义指定材料的力学性质3边界条件和载荷定义定义模型的约束条件和施加的外部载荷4网格划分将模型分割成有限个单元5非线性分析设置选择合适的求解算法和控制参数有限元建模是将真实物理问题抽象成数学模型的过程，它是进行非线性分析的基石。建模步骤需要仔细完成，以确保模型能够准确反映实际问题。6.2非线性分析步骤1网格划分根据几何形状和材料属性划分网格，选择合适的单元类型和网格密度。2材料属性定义定义材料的本构关系，包括应力-应变曲线、弹性模量和泊松比等。3边界条件和载荷应用设置边界条件，如固定边界、位移约束，并施加载荷，包括外部力、温度变化等。4非线性求解使用迭代方法进行非线性求解，例如Newton-Raphson法或弧长法。5结果后处理分析结果，包括位移、应力、应变等，并进行可视化展示。6.3收敛性和稳定性收敛性非线性有限元分析中，迭代求解过程是否能收敛至正确解，取决于初始条件、载荷步长和求解算法等因