中考数学一轮考点复习精讲精练专题17 锐角三角函数【考点巩固】（解析版）

考点17锐角三角函数（时间：60分钟，满分120分）一、填空题（每题3分，共30分）1．（2021·湖南）下列计算正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．【详解】解：A、SKIPIF1<0，此选项正确；B、SKIPIF1<0，此选项错误；C、SKIPIF1<0，此选项错误；D、SKIPIF1<0，此选项错误；故选：A．2．如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值是 () A.SKIPIF1<0 

B.SKIPIF1<0 C. SKIPIF1<0

D.SKIPIF1<0 【解析】如图，作BD⊥AC交AC的延长线于点D,利用三角函数的定义可知tanA=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故选A.3．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【详解】解：作PM⊥x轴于点M，∵P（3，4），

∴PM=4，OM=3，

由勾股定理得：OP=5，∴SKIPIF1<0，故选：D4．（2022·浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则房顶A离地面SKIPIF1<0的高度为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：∵它是一个轴对称图形，∴SKIPIF1<0m，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0房顶A离地面SKIPIF1<0的高度为SKIPIF1<0，故选B．5．（2022·湖北十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选：A．6．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，SKIPIF1<0，连接AC，过点O作SKIPIF1<0交AC的延长线于P．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．【详解】∵P点坐标为（1，1），则OP与x轴正方向的夹角为45°，又∵SKIPIF1<0，则∠BAO=45°，SKIPIF1<0为等腰直角形，∴OA=OB，设OC=x，则OB=2OC=2x，则OB=OA=3x，∴SKIPIF1<0．7．（2022·浙江杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】要使△ABC的面积S=SKIPIF1<0BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，如图所示，∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，sinθ=SKIPIF1<0，cosθ=SKIPIF1<0，∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，∴S△ABC=SKIPIF1<0AD•BC=SKIPIF1<0•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故选：D．8．（2022·四川乐山）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是AC上一点，连接BD．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则CD的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出SKIPIF1<0，再由勾股定理求出SKIPIF1<0过点D作SKIPIF1<0于点E，依据三角函数值可得SKIPIF1<0从而得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=SKIPIF1<0，从而可求出CD．【详解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由勾股定理得,SKIPIF1<0过点D作SKIPIF1<0于点E，如图，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：C9．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形SKIPIF1<0的边长为4，E是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长是（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=SKIPIF1<0，即可得到FG的长；【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∴BE=2，又∵SKIPIF1<0，∴BH=1，即H是BE的中点，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵PF∥AD，AP∥DF，∴PF=AD=4，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，∵PF∥BC，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得x=SKIPIF1<0；故选B．10．（2022·辽宁）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，分别以点A和C为圆心，以大于SKIPIF1<0的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点E，F，则SKIPIF1<0的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据矩形SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0为直角三角形，根据勾股定理可得SKIPIF1<0的长度，在SKIPIF1<0中得到SKIPIF1<0，又由题知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂直平分线，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0，于是在SKIPIF1<0中，利用锐角三角函数即可求出SKIPIF1<0的长．【详解】解：设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由作图知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂直平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D．二、填空题（每题4分，共24分）11．（2021·浙江）如图，已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是______．【答案】SKIPIF1<0【分析】在直角三角形中，锐角SKIPIF1<0的正弦=锐角SKIPIF1<0的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<012．（2022·黑龙江绥化）定义一种运算；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例如：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0代入进行计算即可．【详解】解：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．13．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在SKIPIF1<0的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在SKIPIF1<0上，点E是线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点．则SKIPIF1<0的正切值为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∵∠BAE=∠BDC，∴SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．14．（2022·湖南）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形SKIPIF1<0的面积是100，小正方形SKIPIF1<0的面积是4，那么SKIPIF1<0__．【答案】SKIPIF1<0##0.75【分析】根据两个正方形的面积可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，解方程可得x的值，从而解决问题．【详解】解：∵大正方形ABCD的面积是100，∴SKIPIF1<0．∵小正方形EFGH的面积是4，∴小正方形EFGH的边长为2，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由勾股定理得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（负值舍去），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．15．（2022·山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角SKIPIF1<0，已知窗户的高度SKIPIF1<0，窗台的高度SKIPIF1<0，窗外水平遮阳篷的宽SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长度为______（结果精确到SKIPIF1<0）．【答案】4.4m##4.4米【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得SKIPIF1<0，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．【详解】解：根据题意得：AD∥CP，∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的长度为4.4m．故答案为：4.4m.16．（2022·山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔SKIPIF1<0的高度，他从古塔底部点处前行SKIPIF1<0到达斜坡SKIPIF1<0的底部点C处，然后沿斜坡SKIPIF1<0前行SKIPIF1<0到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为SKIPIF1<0，已知斜坡的斜面坡度SKIPIF1<0，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔SKIPIF1<0的高度是___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=xm，CF=SKIPIF1<0xm，求出x=10，则BH=DF=SKIPIF1<0+30，CF=SKIPIF1<0m，DH=BF，再求出AH=SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH=BF，BH=DF，∵斜坡的斜面坡度i=1：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设DF=xm，CF=SKIPIF1<0xm，∴CD=SKIPIF1<0，∴x=10，∴BH=DF=10m，CF=SKIPIF1<0m，∴DH=BF=SKIPIF1<0+30（m），∵∠ADH=30°，∴AH=SKIPIF1<0（m），∴AB=AH+BH=SKIPIF1<0（m），故答案为：SKIPIF1<0．三、简答题（共46分）17．（7分）计算：SKIPIF1<0．【答案】-3【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．【详解】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．18．（7分）（2022·浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．【答案】AC=4，sinA=SKIPIF1<0【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．【详解】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．19．（8分）（2022·浙江台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，∴BC=AB⋅sin75°≈3×0.97=2.91≈2.9(m)．答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．20．（12分）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼SKIPIF1<0的高度．如图所示，其中观景平台斜坡SKIPIF1<0的长是20米，坡角为SKIPIF1<0，斜坡SKIPIF1<0底部SKIPIF1<0与大楼底端SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0为74米，与地面SKIPIF1<0垂直的路灯SKIPIF1<0的高度是3米，从楼顶SKIPIF1<0测得路灯SKIPIF1<0项端SKIPIF1<0处的俯角是SKIPIF1<0．试求大楼SKIPIF1<0的高度．（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．【详解】延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由题意得，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.答：大楼SKIPIF1<0的高度约为96米.21．（12分）（2022·四川自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心SKIPIF1<0处，另一端系小重物SKIPIF1<0．测量时，使支杆SKIPIF1<0、量角器90°刻度线SKIPIF1<0与铅垂线SKIPIF1<0相互重合（如图①），绕点SKIPIF1<0转动量角器，使观测目标SKIPIF1<0与直径两端点SKIPIF1<0共线（如图②），此目标SKIPIF1<0的仰角SKIPIF