人教八年级数学上册轴对称《最短路径问题》公开课教学课件

最短路径问题人教版八年级数学上册

由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；

新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴

的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

轴对称的性质复习旧知问题牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边L

饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短？BAL你能将这个问题转化为数学问题吗？学习新知

BAL

不妨将A，B两地看作为两个点，将河L

看成为一条直线．饮马地方设为C，则C为直线上一个变动的点.当点C在L的什么位置时，AC与BC的和最小.CCCCAC与BC的和最小.C

BALCCALB当点A与点B在L的两侧时，点C在L的位置是容易求得的.连接AB，设AB与直线L的交点为C.点C就是所求的点.理由：两点之间，线段最短.假设CB′绕着点C旋转，BCALB′当点B′绕到点B的位置时，显然这时CB=CB′，即有AC＋CB′=AC＋CB．∵A→C→B′为最短路径，∴A→C→B为最短路径.∵CB=CB′，∴点B与点B′关于直线L对称.由此得到求点C的方法.

BALB′C画法：1.画点B关于直线L的对称点B′.2.连接AB′，设AB′与直线L的交点为C.点C就是所求的点.即AC＋BC的值最小.

BALB′C你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？

在直线L上任取一点C′(与点C不重合)，证明：连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′,∴AC＋BC=AC＋B′CAC′＋BC′=AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′,∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．C′=AB′，AB

如图，小河的同一边边有两个村庄A，B，要在河边建一座桥，使A村与B村便于出行．若要使桥到A，B村的距离之和最短，则应选择在何处建桥？B′C点C就是所求的点.此时AC＋BC的值最小.练习巩固AB

一条直线上的动点到这条直线同侧的两点距离之和最小问题：

通常作出其中一定点的对称点；然后利用“两点之间线段最短”连接对称点和另一定点连线与对称轴的交点就是动点的位置.B′A′M例如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今要在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？BA探究新知BA设MN是桥所在的位置.MN则从A到B要走的路线是A→M→N→B.因为桥长MN是个定值，所以要使路程AM＋MN＋NB最短，只要AM＋NB最短即可．

ANAM要AM＋NB最短．BB不妨设想两河岸合并在一起，此时M与N重合，若A、N、B刚好在同一条直线上，则AN＋NB最短．而点A则向下平移了河宽的距离．BADCNM(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．解：(1)过点A作AD垂直于河岸，截AC的长等于河宽．BAMNCN′M′∵AM=CN，AM′=CN′，AC=MN=M′N′，∴AM＋MN＋NB=CN＋AC＋NB=MN＋CB，AM′＋M′N′＋N′B

=

CN′＋AC＋N′B=MN＋CN′＋N′B∵CB＜CN′＋N′B,∴MN＋CB＜MN＋CN′＋N′B;∴AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.BAMNCN″M″∵AM=CN，AM″=CN″，AC=MN=M″N″，∴AM＋MN＋NB=CN＋AC＋NB=MN＋CB，AM″＋M″N″＋N″B

=

CN″＋AC＋N″B=MN＋CN″＋N″B,∵CB＜CN″＋N″B,∴MN＋CB＜MN＋CN″＋N″B;∴AM＋MN＋NB＜AM″＋M″N″＋N″B.BAMNCN′M′N″M″AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.AM＋MN＋NB＜AM″＋M″N″＋N″B.1.如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是___点．MNABCDD巩固提高2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上.在y轴上找一点Q，使QC＋QB的和最短.2

x

y

O122－41－1－1ABCQD

3.如图，OA、OB是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库M。现在想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短。问两加油站应如何选址？OABMEFDC如图所示，E、F为两个加油站的位置.解：4.如图，已知∠