江苏省常州市中考数学第二轮专题复习：压轴题提优冲刺训练二

2021届九年级数学

第二轮专题复习

专题1一线三等角/K型图（垂直处理）

专题2特殊几何图形在坐标系（函数图像）中

专题3设点法解决反比例函数问题

专题4等腰三角形存在性问题

专题5直角三角形存在性问题

专题6特殊四边形存在性问题

专题7相似、全等三角形存在性问题

专题8相切问题

专题9线段问题

专题10角度问题

专题11面积问题

第1页

第2页

专题六特殊四边形存在性问题

坐标系中特殊四边形的存在性问题的解题策略：

1、平行四边形的存在性：利用构造全等或对角线互相平分建立点的坐标之间

的关系；

2、菱形的存在性：利用菱形的邻边相等的对称性，转化为等腰三角形的存在

性问题；

3、矩形的存在性：转化为直角三角形的存在性问题。

【平行四边形】

例1：如图，已知抛物线y=十竽4与4轴的负半轴交于点c,点E的坐标为（0,-3）,

点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N,使得以M、N、C、E

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。

第3页

变式：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-gf+gx+2与x轴交于A、B两点（点

A在点B的左侧），与y轴交于点C,连接BC.

（1）求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴。

（2）点D为线段BC上方抛物线上一点，连接CD、BD,求四边形COBD面积的最大值及此

时点D的坐标。

（3）在（2）的条件下，若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M,使得以B、

D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标：

备用图

第4页

【菱形】

例2:在平面直角坐标系中，直线y=-八十4与x轴交丁点A,与j轴交丁点B,点C在直线

AB上，在平面直角坐标系中求一点D,使得以0、A、C、D为顶点的四边形是菱形。

第5页

变式：如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线y=-x+4与X轴交于点A,与y轴交

于点B,点C在x轴负半轴上，5A4此二矍，点P是线段CA上一动点.

⑴求直线CB的解析式；

⑵连接BP,分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F,线段EF的垂直平分线交AC

于点F,连接BG,求BG的长；

(3汨是直线BC上一点，在平面内是否存在一点R,使以点0、B、H、R为顶点的四边形是菱

形?若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由.

第6页

【矩形】

例3:如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=o?一Zor-Sa（以＜0）与x轴交于A、B

两点（点A在点B的左侧），经过A点的直线/：丁=履+人与y轴交于点C,与抛物线的另一

个交点为D,且CD=4AC。

（1）直接写出A点的坐标，并求出直线/的函数表达式（其中幺。用含。的代数式表示）；

（2）点E是直线/上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积最大值为3,求。的值；

4

（3）设P为抛物线对称轴上一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成

为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。

备用图

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变式：如图，直线y=-°x+3与3，轴交于点A,与x轴交于点B,点P从点B出发，以每秒1

个单位长度的速度沿BA边向终点A运动，同时，点Q以相同的速度从坐标原点0出发沿0B

边向终点B运动。设点P运动时间为/秒。

(1)求点A、B的坐标；

(2)设的面积为S,求S与运动时间f之间的函数关系式；

(3)在点P、Q运动过程中，是否存在点N,使得以点A、P、Q、'为顶点的四边形是矩形？

若存在，求，的值，并直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由。

第8页

♦随堂练习

1、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3）,

点C的坐标为（0,相）,过点C作CE_LAB于点E,点D为x轴正半轴上的一动点，且满足

OD=2OC,连接DE,以DE、DA为边作平行四边形DEFA。

（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求加的值；

（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出机的值。

第9页

2、将抛物线G：>=-岳2+。沿X轴翻折，得到抛物线。2,如图所示。

(1)请直接写出抛物线的表达式;

(2)现将抛物线G向左平移加个单位长度，平移后得到新的抛物线的顶点为M,与x轴的交

点从左向右依次为A、B；将抛物线。2向右也平移机个单位长度，平移后得到新的抛物线的顶

点为N,与x轴的交点从左向右依次为D、Eo

①当B、D是线段AE的三等分点时，求机的值。

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出此时的

〃，的值；若不存在，请说明理由。

第10页

3、如图，抛物线丁=-/+"+。经过A(-1,0),B(3,0)两点，且与y轴交于点C,点D

是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD。

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的函数表达式；

(2)点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，过点P作PFLr轴于点F,G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点,

N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标。

第11页

4、如图’在平面直角坐标系中‘直线/的解析式为：y=一m"+4'与”轴交于点C,直线,

上有一点B的横坐标为6,点A是0C的中点。

(1)求直线AB的函数表达式；

(2)在直线BC上有两点P、Q,且PQ=4,使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；

(3)直线AB与)，轴交于点H,将AOBH沿AB翻折得到AUBG,M为直线AB上一动点，N

为平面内一点，是否存在这样的M、N,使得以H、M、N、G为顶点的四边形为菱形？若存在,

直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

第12页

5、如图，抛物线y=—与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交

于点C,P为抛物线上的一个动点，过点P作PD_Lx轴于点D,交直线BC于点E。

(1)求点A和点B的坐标；

(2)若点P在第四象限内，当0D=4PE时，求四边形POBE的面积。

(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样

的点M和点N,使得以B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标;

若不存在，请说明理由。

第13页

6、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=-x+h与坐标轴交于C、D两点,

直线AB与坐标轴交于A、B两点，线段OA、OC的长是方程/一3%+2=0的两个根(OA

>00

(1)求点A、C的坐标；

⑵直线AB与直线CD交于点E,若点E是线段AB的中点，反比例函数>=工(厚0)的图象

x

的一个分支经过点E,求2的值；

⑶在(2)的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N,使以点B、E、M、N为

顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由。

第14页

专题七相似、全等三角形存在性问题

问题1（1）熟练掌握相似三角形的判定方法：

①“SAS”型（分清对应边）②“AA”型

（2）如何找对应角：

①公共角②平行出等角③垂直出等角（同角的余角相等）④等腰出等角

问题2熟练掌握相似的重要结论和模型

：1）射影定理，如图1

（2）母子型，如图2、图3

3）一线三等角

①三垂直，如图4；②三个60。，如图5；③三普通，如图6.

C

专题攻略

•相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因

此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。

•判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，

解方程并检验。

・应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等。

第15页

例1：如图所示，在平面直角坐标系中⑼，中，顶点为M的抛物线y=o?+公（〃＞（））经过

点A和x轴正半轴上的点B,A0=B0=2,ZAOB=120°o

（1）求抛物线的解析式；

12）连接0M,求NAOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标。

第16页

变式：直线y=-分别交JV轴、y轴于A、8两点，△A08绕点。按逆时针方向旋转90。

后得到△COQ,抛物线)，=加+法+。经过4、C、。三点.

(1)写出点A、B、C、。的坐标；

(2)求经过A、C、。三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3)在直线BG上是否存在点。，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△CO。相似？若存

在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

5

4

3

-4•1-3•1-2*1-1•191234x

-1•1

•2・1

-3*1

T•1

第17页

例2：如图，在平面直角坐标系忒》中，已知二次函数y=-gf+bx的图像过点A(4,0),

顶点为B,连接AB、BOo

(1)求二次函数表达式；

(2)若点C是BO的中点,点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B，，当小OCB，

为等边三角形时，求BQ的长度；

C3)若点D为线段BO上，OD=2DB,点E、F在AOAB的边上，且满足△DOF与△DEF全

第18页

3

例3：如图1,△ABC中，A3=5,AC=3,cosA=—.。为射线3A上的点(点O不与点

10

8重合)，作。E//5C交射线CA于点E..

(1)若CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2)当分别以线段8,CE为直径的两圆相切时•，求OE的长度；

(3)当点。在AB边上时，8c边上是否存在点F,使△A8C与AOE/相似？若存在，请求

出线段8厂的长；若不存在，请说明理由.

第19页

♦随堂练习

1、如图，抛物线y二«%2+版一3与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点，与)，轴交于点D,

顶点为C。

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN_Lx轴于点N,使以A、M、N为顶点

的三角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

第20页

2、如图，直线y=4x+4与x轴、）轴相交于B、C两点，抛物线y=or?_2or+c（々和）过点

B、C,且与x轴另一个交点为A,以OC、0A为边作矩形OADC,CD交抛物线于点G

⑴求抛物线的解析式以及点A的坐标；

⑵已知直线广加交0A于点E,交CD于点E交AC于点M,交抛物线（CD上方部分）于点

P,请用含机的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连接PC,若APCF和△AEM相似，求〃7的值.

第21页

3、RSABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数丁=^伙/0）在第一象限内的图像与

x

边交于点0（4,而），与AB边交于点E（2,〃），ABQE的面积为2.

（1）求加与〃的数量关系；

（2）当tan/A=>!■时，求反比例函数的解析式和直线4B的表达式；

2

（3）设直线AB与y轴交于点F,点尸在射线FQ上，在（2）的条件下，如果△AE。与

△EFP相似，求点P的坐标.

第22页

4、如图，已知抛物线=13_］口+2"是实数且b>2）与/轴的正半轴分别交于点A、

444

B（点A位于点B的左侧），与），轴的正半轴交于点C。

（1）点B的坐标为,点C的坐标为（用含力的代数式表示）。

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于幼，且APBC是以

点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、ZkQOA和AQAB中的任意两

个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请

说明理由。

第23页

5、如图，抛物线了=0¥2+&+°5>0）交工轴于4、8两点（4点在8点左侧），交y轴于点C.已

知8（8,0）,tanZABC=-,aABC的面积为8.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动直线EF（EF〃x轴），从点C开始，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向

平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单

位长度的速度向原点O运动，连接FP,设运动时间为，秒，当，为何值时，卫二竺的值最大,

EF+OP

求出最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在，的值，使以P、B、尸为顶点的三角形与△48C相似.若

存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由.

第24页

专题八相切问题

专题攻略

直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形

解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d,第二步列方程，第三解方

程并验根。

第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素就是要用

含有x的式子表示的，

第二步列方程，就是根据直线与圆相切时心R列方程。

附加公式

•两点间的距离公式：

22

若A（玉，/）、B（%，为），则AB=yj（xi-x2）+（J1-y2）

•点到直线的距离公式：

若点A（x0,%）,直线/的解析式为：y=kx+b,则A点到直线I的距离为!此一%+"।°

J1+&2

例1：如图，P是抛物线y=V-5x+5上的一个动点，。P的半径为1,如果。P与坐标轴相切,

求圆心P的坐标。

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变式：如图，已知。尸圆心P在直浅产2x—l的图像上运动.

(1)若。P的半径为2,当0P与x轴相切时，求尸点的坐标；

(2)若。尸的半径为2,当。P与y轴相切时，求P点的坐标；

(3)当。尸与x轴和y轴都相切时，。尸的半径是多少？并写出此时点P的坐标.

第26页

例2：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=3x+4的图像是直线八4与x轴、y轴分别

交于A、B两点，直线4过点C（小0）且与直线人垂直，其中。＞0.点P、Q同时从A点出发,

其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位.

（1）求出A点的坐标和AB的长；

（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的。Q与直线4、y轴都相切，

求此时a的值.

第27页

例3：如图，抛物线丁=-；/+如+〃的图像经过点A（2,3）,对称轴为ml,一次函数y=H+Z?

的图像经过点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、B位于点P的同侧.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PA：PB=3：1,求一次函数解析式；

（3）在（2）的条件下，当左＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C,使得。C同时与x轴和

直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由.

第28页

■随堂练习

1、如图，直线＞=停工+百与K轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1,0),

圆P与)，轴相切于点O,若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的

点P的个数是()

A.2B.3C.4D.5

2、如图，在平面直角坐标系中，已知D(-5,4)、B(-3,0),过点D分别作x轴、y轴的

垂线，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运

动，运动时间为，秒.

(1)当仁时，PC〃DB；

(2)当片时，PC1BC；

(3)以点O为圆心，OP的长为半径作。0,当。O与ABCD的边所在直线相切时，求f的值.

第29页

专题九线段问题

例1：如图，已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=交于A、B两点，其实点A的横

4

坐标为-2.

(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标；

(2)过线段AB上一点P,作PM〃工轴，交抛物线于点M,点M在第一象限，点N(0,1),

当点M的横坐标为何值时，MN+3Mp的长度最大？最大值是多少？

第30页

例2：如图，抛物线丁=0^+"+°3和）与x轴交于点A,B（l,0）,与y轴交于点C,

直线丁二3工一2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线/.

（1）求抛物线的表达式、顶点D的坐标及对称轴/；

（3）设点N是直线AC下方抛物线上的一点，连接BN交AC于点M,且MN=2BN,求点N

的坐标。

第31页

（4）设点G是），轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐

标；若不存在，请说明理由；

（5）在直线/上是否存在一点F,使得^BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及ABCF

周长的最小值；若不存在，请说明理由；

第32页

（6）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作），轴的平行线，交AC于点K,设点H

的横坐标为〃，线段HK=d.

①求d关于人的函数关系式；

②求d的最大值及此时H点的坐标.

（7）已知直线y=-/+2交抛物线于点L,交y轴于点P,若点M是直线产-2上一点，过点M

作MNJ_x轴，交x轴于点N,连接PN、ML,是否存在点M,使得PN+PM+ML有最小值？若

存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

第33页

(8)若点P为x轴上一点，求3幺+尸。的最小值。

5

第34页

（9）已知x轴上一点R的坐标为（石-1,0）,连接CR,点Q是线段CR上一点，过点Q

作QJJLCO于点J,QIJ_AC于点I,判断℃2/是否为定值,并说明理由。

第35页

■随堂练习

1、如图，抛物线>=一9W+孚x+3由与x轴交于A,8两点(点4在点8的左侧)，与

y轴交于点C，连接AC,8c.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点。运动，同时,

点。沿8。以每秒2个单位长度的速度由点5向点。运动，当一个点停止运动时，另一个点也

随之停止运动，连接尸。过点。作QO_Lx釉，与抛物线交于点。，与BC交于点E.连接产。，

与BC交于点尸.设点P的运动时间为/秒(f>0).

(1)求直线BC的函数表达式；

(2)①直接写出P,。两点的坐标(用含，的代数式表示，结果需化简)；

②在点P,Q运动的过程中，当PQ=P。时，求，的值；

(3)试探究在点尸，。运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点尸为P。的中点？若存在,

请直接写出此时，的值与点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

第36页

2、如图，抛物线y=—f+版+c与x轴交于点4(-1,0),8(5,0)两点，直线＞=一%+3与y

轴交于点C,与x轴交于点。，点尸是x轴上方的抛物线上一动点，过点尸作轴于点尸,

交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若PE=5EF,求m的值；

(3)若点E是点E关于直线尸C的对称点，是否存在点P,使点E落在y轴上？若存在，请

直接写出相应的点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

第37页

3、如图，在平面直角坐标系⑼，中，将二次函数y=/—i的图像M沿x轴翻折，把所得到的

图像向右平移2个单位长度再向上平移8个单位长度，得到二次函数图像N.

(1)求N的函数表达式；

(2)设点P(w,n)是以点C(1,4)为圆心，1为半径的圆上一动点，二次函数的图像M与

x轴相交于A、B两点，求尸T+尸序的最大值；

(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点，求M与N所围成封闭图形内(包

括边界)整点的个数.

第38页

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4^如图，直线/:丁=一3%+3与x轴、y轴分另U相交于A、B两点，抛物线y二火?-2or+4+4（。

<0）经过点B.

（I）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M的

横坐标为根，Z\ABM的面积为S,求S与机的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点ML

①写出点M，的坐标：

②将直线/绕点A按顺时针方向旋转得到直线八当直线P与直线AM，重合时停止旋转，在旋

转过程中，直线T与线段BM，交于点C,设点B、M，到直线T的距离分别为4、d2f当4+4最

大时，求直线旋转的角度（即NBAC的度数）.

第40页

第41页

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专题十角度问题

典知识导航

函数中的动点与角度问题，在考试中，主要体现在：

①角度的存在性问题（特殊角度问题）；

②角度关系的存在性问题（角之间的和、差、倍、分关系）

一、角度的存在性问题（特殊角度问题）

角度的存在性问题分为特殊角和非特殊角的存在性问题，主要以特殊角的存在性问题为主,

特殊角通常包括30。、45。、60°>90。等.

几何法：利用（特殊）角度构造直角二角形，从边氏比例关系进行求解.

工具：

解析法：利用直线y=+与抛物线y=ax2+bx+c（a*0）的交点.

工具：知识储备：（1）一次函数产丘+6中左的几何意义

假如广"+b过两个不同的点（不凶），（马,为），由待定系数法可以解得左=比/，从

百一%

图象上来看，就是两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，也就是直线与x轴夹角的正切值（但

要注意符号），即|k|=tan。。

第43页

引例：根据图中条件将直线解析式写在横线上

总结：①解析式为广母+b的直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形;

②解析式为y=±y[3x+b或y=土咚x+b的直线与坐标轴围成的三角形是含30°,60°的

直角三角形。

（2）借助辅助圆来解决问题

二、角度关系的存在性问题（角之间的和、差、倍、分关系）

角度关系的问题一般指两角或多角的和差倍分或大小关系的问题.

几何法：构造相似或全等三角形进行求解.

解析法：利用三角函数值进行求解.

和差关系

等量关系大小关系

(ZA+ZC=ZABD)

A

转化为三角形全等或相似找临界值，即找等量关系

D—p

B

专题攻略

函数中两个角度相等的问题

①已知两角相等：可得出这两个角的三角函数值相等，或利用这两个相等角推出平行与

相似;

②求证两角相等：常常通过这两个角的三角函数值来证明，或借助相似来证明.

第44页

解决角度有关问题的一般步骤：

1＞读题，画图，理解题意.

2、分析动点、定点，找不变特征，如角有两边，其中一边是确定的.

3、确定分类特征，进行分类讨论.

4、把角放在直角三角形中，构造相似三角形或全等三角形，根据三角函数、相似或全等

的知识解决.

覆例题精练

模块一角度的存在性问题(特殊角度问题)

例题1:如图，抛物线y=瓜-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点

B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点D0〃,〃z+l)在第一象限的抛物线上，连接BD,在抛物线上是否存在点P使得

ZDBP=45。？若存在,请求出点尸的坐标；不存在，说明理由.

变式：如图，已知抛物线)，=3丁+笈+。与x轴相交于A(-6,0),B(1,0),与y轴相交于

点C,直线/_LAC,垂足为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为O,求点。的坐标；

(3)设动点PCm,〃)在该抛物线上，当4%C=45。时，求m的值.

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例题2：在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+履一2女的顶点为N.

(1)若此抛物线过点A(-3,1),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，若抛物线与y轴交于点B,连接。为脑物线上一点，且位于线段

45的上方，过。作8垂直X轴于点。，CD交于点E,若CE=ED,求点C坐标；

(3)已知点M(2-竽，0),且无论Z取何值，抛物线都经过定点“，当ZMH7V=6O。时，求抛

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物线的解析式.

备用图

例题3：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=af+bx+c经过点A(-3,0)、B(0,3)、

C(1,0)三点.

(1)求抛物线的解析式和顶点。的坐标；

(2)将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点。顺时针旋转60。，与直线y=-x交于点N.在直线ON

上是否存在点M,使得ZA/ON=75。.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

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模块二角度关系的存在性问题（角之间的和、差、倍、分关系）

例题1:（2018•常州）如图，二次函数），=-+2+6+2的图象与x轴交于点A、B,与），轴交

于点C,点A的坐标为《0）,乃是抛物线上一点（点P与点A、8、C不重合）.

（1）b=,点8的坐标是;

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（2）设直线尸8与直线AC相交于点是否存在这样的点尸，使得尸M:M8=1:2?若存在,

求出点尸的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC,判断NC4B和NC8A的数量关系，并说明理由.

变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数），=；/+瓜+c的图象经过点A（-3,6）,

并与x轴交于点B（-1,0）和点C,顶点为尸.

（1）求二次函数的解析式；

（2）设O为线段OC上的一点，若NDPC=/BAC,求点。的坐标.

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变式：如图，已知抛物线丁二"2+法+。的对称轴为直线1=2,且与x轴交于A、8两点.与y

轴交于点C.其中41，0),C©-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P在抛物线上运动(点尸异于点A),当NPC6=N6C4时，求点P的坐标.

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变式：抛物线y=(x-3)(x+l)与x轴交于A,B两点.(点A在点8左侧)，与y轴交于点C,点

。为顶点.

(1)求点8及点。的坐标：

(2)连结80，CD,抛物线的对称轴与x轴交于点£

①若线段BO上一点P,使=求点尸的坐标；

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②若抛物线上一点M,作MV_L8,交直线CO于点N,使NCMN=/BDE,求点M的坐标.

备用图

变式：(2020•常州)如图，二次函数y=f+法+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平

行线交抛物线于另一点B,抛物线过点C(l,0),且顶点为。，连接47、BC、BD、CD.

(1)填空：b=;

(2)点?是抛物线上一点，点尸的横坐标大于1,直线PC交直线8。于点Q.若NCQD=ZACB,

求点尸的坐标；

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(3)点E在直线AC上，点E关于直线或)对称的点为尸，点尸关于直线8C对称的点为G,连

接AG.当点尸在工轴上时，直接写出AG的长.

(备用图)

例题2：如图，抛物线+笈+。与1轴交于点A和点B,与轴交于点。，点B坐标

为(4,0),点C坐标为(0,4),点。是抛物线的顶点，过点。作x轴的垂线，垂足为E,连接BO.

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(1)求抛物线的解析式及点。的坐标;

(2)点尸是抛物线上的动点，当/£&4=24。石时，求点尸的坐标。

例题3：如图，直线＞=一式+〃与工轴交于点4(3,0),与丁轴交于点B,抛物线y=2+Z?x+c

经过点A3.

(1)求抛物线的解析式;

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(2)E®,0)为x轴上一动点，过点E作轴，交直线4B于点O,交抛物线于点尸，连

接BP.点E在工轴的正半轴上运动，若NPBD+NCBO=450,请求出〃?的值.

变式：如图，已知抛物线y=(3-⑼/+2(6-3)犬+4切-加2的顶点八在双曲线),=3上，直线

x

y=/nr+b经过点A,与y轴交于点3,与x轴交于点C.

(1)确定直线43的解析式.

(2)将直线A8绕点。顺时针旋转90。，与x轴交于点O,与y轴交于点瓦求sin/BOE的值.

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(3)过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的

距离为6.设点N在直线8G上，请你直接写出使得ZAA/B+/4A6=45。的点N的坐标.

♦随堂练习

1、如图直线)，=gx+m与抛物线y=*+加+c交于C、。两点，其中点。在y轴上，点。的坐

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标为卜■!),点尸是)，轴右侧的抛物线上一动点，过点尸作庄_Lx轴于点£交CD于点F.

(1)求一次函数和抛物线的解析式.

(2)若点尸的横坐标为3当，为何值时，四边形OCP尸是平行四边形？请说明理由.

(3)在。。上方是否存在点P,使ZPC尸=45。，若存在，求出相应的点尸的坐标，若不存在,

请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数)，=0¥2+公+。的图像经过点A(；,O)、B(O,)、

C(2,0),其中对称轴与％轴交于点D,M(s,/)为抛物线对称轴上的一个动点，连接MA、

MB,若NAMB不小于60。，求f的取值范围？

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3、已知在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为（0,8），点B的坐标为（4,0）,

点E是直线y=x+4上的一个动点，若NEAB=NABO,求点E的坐标。

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3

4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=奴2-]x+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,

直线y=gx+2经过A、C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点，当NPCA=N8C0时，请求出点P的坐标.

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5、如图，抛物线＞=0?+法+。交x轴于O(0,0)、A(8,0)两点，顶点B的纵坐标为4.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)若点C是抛物线上异于原点0的一点，且满足2BC?=01+2002,试判断^OBC的形

状，并说明理由;

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(3)在(2)的条件下，若抛物线上存在一点D,使得NOCD二NAOC-NOCA,求点D的坐标.

6、如图，抛物线y=+3与x轴交于4—3,0),8(1,0)两点，与3轴交于点C,点D是

抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是y轴正半轴上的一点，OM=&，点。在对称轴左侧的抛物线上运动，直线。。交

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抛物线的对称轴于点N,连接MN,当MN平分NOV。时，求点0的坐标;

专题十一面积问题

类型一面积最值问题

解题技巧：

铅垂法求三角形面积：A,B两点之间的水平距离称为“水平宽”;过点C作x轴的垂线

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与AB交于点D,线段CD即为AB边的“铅垂高”.

D

/

铅

垂

高

图2

水平宽、铅垂高还可以这样做：如图2,取AC作水平宽，过点B作8口_1_工轴交直线AC

于点D,BD即对应的铅垂高，

°cc水平宽x铅垂高

SAABC—SAABD-SABCD—•

【解题步骤】

(1)求A,B两点水平距离，即水平宽；

(2)过点C作x轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C；

⑶求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；

(4)根据C,D坐标求得铅垂高；

(5)利用公式求得三角形面积.

【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=0^+公+。与x轴交于点A(—2,0),点B(4,

0)f与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于)，轴右侧且垂直于工轴的动直线/,沿x轴正

方向从O运动到B(不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及R轴于点P,D,E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)作PFJ_BC,垂足为F,当直线/运动时，求Rt/kPFD面积的最大值.

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【变式】如图，已知抛物线>=以2+法一2(。20)与x轴交于A、B两点，与与y轴交于c

点，直线BD交抛物线于点D,且D(2