河南省“天一小高考”2025届高三12月第二次联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省“天一小高考”2025届高三12月第二次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<1}，B={x|−1<x<2}，则∁R(A∪B)=(

)A.(−∞,−1] B.(−∞,−1]∪[1,+∞)

C.[2,+∞) D.(−∞,−1]∪[2,+∞)2.(x−2x)6的展开式中，A.64 B.160 C.192 D.2403.已知抛物线C:y=ax2上一点P(m,1)到准线的距离为32，则a=A.−2 B.−12 C.124.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，A.13 B.14 C.15 D.165.已知不重合的圆C1，C2都过点(−1,2)，且均与两坐标轴相切，则圆C1，C2A.1 B.2 C.226.已知−π4，π4和7π12都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)A.4 B.6 C.8 D.127.已知长方体ABCD−A1B1C1A.812 B.81 C.2432 8.已知sin(α+β)=13，cos(α−β)=2A.−43 B.43 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b，c都是非零向量，则下列命题正确的是(

)A.若a⋅c=b⋅c，则a=b

B.若|a⋅b10.已知复数z满足(|z+2|−|z−2|)2=4，则下列说法正确的是A.|z|≥1 B.|z−2|≥2

C.若z∈R，则|z|=1 D.若z2∈R11.已知函数f(x)=x3−3xA.f(x)的图象为中心对称图形

B.f(x)的图象上一定存在关于直线x=1对称的两点

C.若a<0，则一定存在四个顶点都在f(x)的图象上的菱形

D.若a=−3，则四个顶点都在f(x)的图象上的正方形有两个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.对某校高三学生的身高进行抽样调查，一共抽查了40名男生和10名女生，若抽查的这50名学生的平均身高为176cm，其中男生的平均身高为178cm，则抽查的女生的平均身高为

cm．13.已知实数x，y满足2ln(x−3y)=ln(2x)+ln(2y)14.已知数列a1，a2，⋯，a2025中的每一项ai均满足ai∈{−2,−1,0,1,2}，记这2025项中任意两项乘积之和为M，即M=1⩽i<j⩽2025四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=5a，cosB=(Ⅰ)求cos(Ⅱ)记△ABC的面积为S1，其外接圆的面积为S2，求S16.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1，BCC1B1均垂直于底面ABC，(Ⅰ)证明：AC1(Ⅱ)求二面角C1−CM−17.(本小题12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设P是E上除顶点以外的动点，直线PC与x轴交于点T，直线AP与BC交于点Q，证明：OQ⋅OT(O为坐标原点18.(本小题12分)已知函数f(x)=ex(Ⅰ)求曲线y=g(x)在点(e,g(e))处的切线方程;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;(Ⅲ)设函数L(x)=g(x)x2−xlnx，证明：L(x)>0，且对任意m>019.(本小题12分)照如下方式构造一个数表：设m，k∈N∗，将数表的第m行第k列的数记为am,k，且am,k是首项为3m+1，公差为(Ⅰ)数表中一共有几个127?直接写出所有相应的a(Ⅱ)若正整数x不在数表中，证明：2x+1是质数.(注：只有1和自身两个因数的正整数称为质数)(Ⅲ)设i，j∈N∗，且i≥1，j≥2，从数表的前2i行，前(2j−1)列中任取3个数，取到的偶数个数记为X，求X的分布列及数学期望．

参考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.B

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.168

13.9

14.−4048

15.解：(Ⅰ)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，

即b2=a2+25a2−2a⋅5a⋅35=20a2，所以b=25a.

由余弦定理得cosC=a2+b16.解：(Ⅰ)如图，连接BC1与B1C交于点N，连接MN．

因为四边形BCC1B1为平行四边形，

所以N为BC1的中点，

又M为AB的中点，则在△ABC1中，有MN/​/AC1，

又MN⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM，

所以AC1/​/平面B1CM．

(Ⅱ)由勾股定理的逆定理知BC⊥AC，

又由侧面ACC1A1，BCC1B1均垂直于底面ABC，可得CC1⊥平面ABC，

所以CA，CB，CC1两两垂直，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．

由已知得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,13)，B1(0,4,

17.(Ⅰ)解：由题意知a2−b2a=12,ab=23,解得a=2,b=3,

故E的方程为x24+y23=1．

(Ⅱ)证明：由条件知A(−2,0)，B(2,0)，C(0,3).

设P(m,n)(m≠0且n≠0)，则m2418.解：(Ⅰ) ∵g(x)=1+xlnx，g′(x)=lnx+1，g′(e)=2，g(e)=1+e，

∴所求的切线方程为y=2(x−e)+1+e，即y=2x+1−e．

(Ⅱ)∵f(x)=ex−12x2−x−1，f′(x)=ex−x−1，

设Fx=f′(x)=ex−x−1，则F′(x)=ex−1，

当x>0时，F′(x)>0;当x<0时，F′(x)<0，

∴f′(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，则f′(x)≥f′(0)=0，当且仅当x=0时取等号，

∴f(x)在R上单调递增．

(Ⅲ)g(x)=1+xlnx，g′(x)=1+lnx，由g′(x)>0得x>1e;由g′(x)<0得0<x<1e，

所以g(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，

则g(x)≥g(1e)=1−1e>0．

易证x−1≥lnx，所以x2−xlnx=x(x−lnx)>019.解：(Ⅰ)一共有6个．

a1,42=a42,1=a2,25=a25,2=a7,8=a8,7=127．

理由：由题可知am,k=(3m+1)+(k−1)(2m+1)=m+k+2mk．

由m+k+2mk=127，得2m+2k+4mk=254，所以(2m+1)(2k+1)=255=3×85=5×51=15×17，

故2m+1与2k+1的值有6种情况，即am,k有6种情况．

(Ⅱ)假设2x+1是合数，即存在正整数a>1，b>1使得2x+1=ab．

由于2x+1是奇数，所以a，b都是奇数，

设a=2t+1，b=2s+1，s，t∈N∗，

则2x+1=(2t+1)(2s+1)=2t+2s+4ts+1，所以x=t+s+2ts=at,s，

这与x不在数表中相矛盾，

故假设不成立，原结论成立，即2x+1是质数．

(Ⅲ)因为am,k=m+k+2mk，

a2i−1,2j−1=2i+2j−2+2(2i−1)(2j−1)，即奇数行，奇数列一定是偶数，

a2i−1,2j=2i+2j+4(2i−1)j−1，即奇数行、偶数列一定是奇数．

从而每个奇数行的前(2j−1)列中，共有j个偶