2024-2025学年北京十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京十九中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,−1,3)，b=(4,x,y)，且a/​/b，则A.−4 B.−2 C.4 D.22.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=aA.a+b−c

B.a+b3.已知向量OA=(1,2,3)，OB=(1,−2,1)，点C为线段AB中点，则|OCA.1 B.2 C.3 4.已知直线m，直线n和平面α，则下列四个命题中正确的是(

)A.若m//α，n⊂α，则m//n B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m⊥α，n//α，则m⊥n D.若m⊥n，n//α，则m⊥α5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为(

)A.16，43 B.16，23 C.8，43 6.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m⋅n=0”是“l/​/α”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量n=(−3,−1,2)，AB=(1,0,−2)，AC=(1,1,1)，则A.平面α/​/平面ABC B.平面α⊥平面ABC

C.平面α、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能8.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美.下面给出四个结论：

①AE//平面CDF；

②AC⊥EB；

③二面角E−BC−A的平面角余弦值为33；

④过点E至少存在一条直线与正八面体的各个面所成角均相等．

其中所有正确结论的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.49.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ−ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ−ABCD的体积为(    )(体积单位：立方丈)A.10 B.8 C.6 D.510.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，A.三棱锥F−AD1E体积为定值

B.存在唯一点F使EF⊥D1F

C.若AF≤22，则点F二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.若直线a的方向向量是n=(1,−1,2)，平面α的法向量是m=(−2,0,3)，则这条直线a和这个平面α的位置关系是______.(填写“面内、相交、平行”中的一种)12.如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么圆锥的母线与底面所成的夹角等于______.(填写具体的角度大小)13.如图，在正四面体O−ABC中，所有棱长均为2，若AM=MB，ON=2NC，OA=a，OB=b，OC=14.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2.15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1=C16.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D，F为B1D的中点，F在平面AECD的射影为F′，则在翻折过程中，给出下列四个结论：

①CF//平面AB1E；

②AB1与CF的夹角为定值π3；

③三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5．

(1)求直线AB1与直线CA1所成角的余弦值；

(2)18.(本小题12分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2．

(Ⅰ)求证：C1D//平面ABB119.(本小题12分)

如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF//DE，DE⊥AD，AD⊥BE，AF=AD=12DE=1，AB=2．

(1)求证：BF//平面CDE；

(2)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF

参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.D

10.B

11.相交

12.π313.12a+1214.33

15.1

16.①②④

17.解：(1)在△ABC中，由AB=3，AC=4，BC=5，可知AB⊥AC；

再由直三棱柱性质可知AB，AC，AA1两两垂直，

以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

可知A(0,0,0)，B1(0,3,4)，C(4,0,0)，A1(0,0,4)，

所以AB1=(0,3,4),CA1=(−4,0,4)，

因此cos<AB1,CA1>=AB1⋅CA1|AB1||CA1|=165×42=225，

可得直线AB1与直线CA1所成角的余弦值为225．

(2)又易知B(0,3,0)，可得BC=(4,−3,0)，

结合(1)中结论可设平面A18.解：(Ⅰ)证明：因为B1C1/​/BC、B1C1=BC，AD//BC、AD=BC，

所以B1C1//AD、B1C1=AD，所以四边形B1C1DA为平行四边形，

所以C1D/​/AB1，AB1⊂平面ABB1A1，C1D⊄平面ABB1A1，

所以C1D/​/平面ABB1A1；

(Ⅱ)证明：连接BD，因为AB1⊥平面ABCD，

由(Ⅰ)知C1D/​/AB1，所以C1D⊥平面ABCD，

又因为AC⊂平面ABCD，所以AC⊥C1D，

因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

又因为C1D∩BD=D，所以AC⊥平面C1BD，

因为C1B⊂平面C1BD，所以AC⊥BC1；

(Ⅲ)因为AB119.解：(1)证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AB/​/CD，

又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴AB/​/平面CDE，同理AF//平面CDE，又AB∩AF=A，

∴平面ABF/​/平面CDE，又BF⊂平面ABF，

∴BF/​/平面CDE；

(2)如图，连接BD，

∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，

∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DB，又DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，

∴AD⊥平面BDE，∴AD⊥BD，

∴DA，DB，DE两两垂直，

∴以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建系如图，则根据题意可得：

D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，

C(−1,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，

∴BE=(0,−1,2)，EF=(1,0,−1)，

设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅BE=−y+2z=0m⋅EF=x