数学分析14无穷小量与无穷大量

§５无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：SKIPIF1<0.我们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：SKIPIF1<0SKIPIF1<0我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。一、无穷小量1．定义１：设SKIPIF1<0在某SKIPIF1<0内有定义。若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为当SKIPIF1<0时的无穷小量。记作：SKIPIF1<0.（类似地可以定义当SKIPIF1<0时的无穷小量）。例：SKIPIF1<0都是当SKIPIF1<0时的无穷小量；SKIPIF1<0是当SKIPIF1<0时的无穷小量；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0时的无穷小量。2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数SKIPIF1<0在某SKIPIF1<0内有界，则称SKIPIF1<0为当SKIPIF1<0时的有界量，记作：SKIPIF1<0.例如：SKIPIF1<0是当SKIPIF1<0时的有界量，即SKIPIF1<0;SKIPIF1<0是当SKIPIF1<0时的有界量，即SKIPIF1<0.注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数SKIPIF1<0是有界函数或函数SKIPIF1<0是有界的，意味着存在Ｍ>０，SKIPIF1<0在定义域内每一点SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（２）性质性质１两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质２无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。性质３SKIPIF1<0是当SKIPIF1<0时的无穷小量SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例如；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：SKIPIF1<0.引申：同为无穷小量，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别”的标志是SKIPIF1<0的“指数”，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的指数越大，它接近于０的速度越快。这样看来，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的收敛速度快于SKIPIF1<0的收敛速度。所以其变化结果以SKIPIF1<0为主。此时称SKIPIF1<0是（当SKIPIF1<0时）SKIPIF1<0的高阶无穷小量，或称SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的低阶无穷小量。一般地，有下面定义：无穷小量阶的比较（主要对SKIPIF1<0叙述，对其它类似）设当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0均为无穷小量。若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0时SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的高阶无穷小量，或称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的低阶无穷小量，记作SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.问题SKIPIF1<0，此时是可说SKIPIF1<0？引申与上述记法：SKIPIF1<0相对应有如下记法：SKIPIF1<0，这是什么意思？含义如下：若无穷小量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足关系式SKIPIF1<0，则记作SKIPIF1<0.例如，（１）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（２）若SKIPIF1<0.注等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“SKIPIF1<0”。例如：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，而上述等式表示函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0。为方便起见，记作SKIPIF1<0若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为当SKIPIF1<0时的同阶无穷小量。但需要注意：SKIPIF1<0不存在，并不意味着SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不全为同阶无穷小量。如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不存在。但SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为当SKIPIF1<0时的同阶无穷小量。由上述记号可知：若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是当SKIPIF1<0时的同阶无穷小量，则一定有：SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是当SKIPIF1<0时的等价无穷小量，记作SKIPIF1<0.例如：１）SKIPIF1<0;２）SKIPIF1<0.对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。定理设函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有定义，且有SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.求极限SKIPIF1<0.注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。３．小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。例如SKIPIF1<0.二、无穷大量１．问题“无穷小量是以０为极限的函数”。能否仿此说“无穷大量是以SKIPIF1<0为极限的函数”。答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“SKIPIF1<0”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以SKIPIF1<0为极限的函数”。但是，确实存在着这样的函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无限接近。例如：１）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0越来越接近，而且只要SKIPIF1<0与０充分接近，SKIPIF1<0就会无限增大；２）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，也具有上述特性。在分析中把这类函数SKIPIF1<0称为当SKIPIF1<0时有非正常极限SKIPIF1<0。其精确定义如下：２．非正常极限定义２（非正常极限）设函数SKIPIF1<0在某SKIPIF1<0内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时有非正常极限SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0。注：１）若“SKIPIF1<0”换成“SKIPIF1<0”，则称SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时有非正常极限SKIPIF1<0；若换成SKIPIF1<0则称SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时有非正常极限SKIPIF1<0，分别记作SKIPIF1<0.2)关于函数SKIPIF1<0在自变量SKIPIF1<0的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0;SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.３．无穷大量的定义定义３．对于自变量SKIPIF1<0的某种趋向（或SKIPIF1<0），所有以SKIPIF1<0为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。例如：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时是无穷大量；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时是无穷大量。注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时的无穷大量，则易见SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。例如；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无界，但SKIPIF1<0;３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。４．利用非正常极限定义验证极限等式例３证明SKIPIF1<0.例４证明；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0。三、无穷小量与无穷大量的关系定理（１）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有定义且不等于０，若SKIPIF1<0为当SKIPIF1<0时的无穷小量，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时的无穷大量；（２）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时的无穷大量，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0时的无穷小量。四、曲线的渐近线引言作为函数极限的一个应用。我们讨论曲线的渐近线问题。由平面解析几何知：双曲线SKIPIF1<0有两条渐近线SKIPIF1<0。那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？２．曲线的渐近线定义定义４若曲线Ｃ上的动点SKIPIF1<0沿着曲线无限地远离原点时，点SKIPIF1<0与某实直线Ｌ的距离趋于零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线。形如SKIPIF1<0的渐近线称为曲线Ｃ的斜渐近线；形如SKIPIF1<0