第16讲 从算式到方程（人教版）（原卷版）

第16讲从算式到方程

【人教版】

·模块一一元一次方程

·模块二等式的性质

·模块三课后作业

模块一一元一次方程

1.方程及方程的解：

（1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）；

（2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”.

2.一元一次方程：

（1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零

的整式方程是一元一次方程.

（2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.

【考点1方程的概念】

【例1.1】（2023七年级·吉林长春·期中）下列各式中，是方程的是（）

A．푥−3=0B．푦−5C．3+(−2)=1D．7푥>5

【例1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）已知式子：①3−4=−1；②2푥−5푦；③1+2푥=0；

④6푥+4푦=2；⑤3푥2−2푥+1=0．其中的等式是，其中含有未知数的等式是，

所以其中的方程是．（填序号）

푥

【例】（六年级下全国假期作业）已知下列式子：

1.32023··3+8=3；12−푥；푥−푦=3；푥+1=2푥+1；3

1

푎2=；+5=；≠；=1．其中方程的个数为（）

1027푥−10푥

A．3B．4C．5D．6

【变式1.1】（2023七年级·安徽蚌埠·期中）下列各式中，不是方程的是（）

A．푎=0B．2푥+3C．2푥+1=5D．2(푥+1)=2푥+2

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【变式1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．

(1)4×5=3×7−1；

(2)2푥+5푦=3；

(3)9−4푥>0；

(4)푥+5；

(5)푥−10=3；

(6)5+6=11．

【变式1.3】（2023七年级·山东德州·期末）在①2−5；②1+7푥=−8푦+3；③푥=6；④3푥=2푥−9；

⑤2푥>7中，方程共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点2一元一次方程的概念】

【例2.1】（2023六年级下·上海·期中）式子①2푥2+푥=0，②2푥+푦=0，③2푥+1，④4푧−(3푧+2)

=−2，⑤2푥+1=0中，是一元一次方程有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例2.2】（2023六年级下·上海·期中）如果关于x的方程푘푥+5=2푥−1是一元一次方程，那么k的值

为．

【例2.3】（2023七年级·湖南衡阳·期中）已知关于푥的方程(2푘−1)푥2−(2푘+1)푥+3=0是一元一次方程，

则푘的值为（）

1

A．B．1C．0D．2

2

【变式2.1】（2023七年级·吉林长春·期中）下列方程是一元一次方程的是（）

1

．푥−4푦=8．−1=8．푥2−3=푥．푦=0

AB푥CD

【变式2.2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若关于푥的方程2푥푛+1+3=0是一元一次方程，则푛的值

是．

【变式2.3】（2023七年级·四川南充·期末）关于x的方程푥|푘|−3=0是一元一次方程，则푘=．

【考点3方程的解】

【例3.1】（2023七年级·湖北孝感·期末）若关于푥的方程푥+3푎=3−2푥的解为푥=2，则푎=

【例3.2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若关于푥的方程2푥+푎+푏=0的解是푥=−1，则代数式2024−푎−푏

的值为．

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【例3.3】（2023七年级·四川宜宾·期中）整式푎푥+푏的值随着푥的取值的变化而变化，下表是当푥取不同的

值时对应的整式的值：

푥−10123

푎푥+푏−8−4048

则关于푥的方程푎푥+푏=8的解是．

【变式3.1】（2023七年级·福建泉州·期中）写出一个解为3的一元一次方程．

【变式3.2】（2023·广西河池·七年级期末）关于x的方程2푥+푎=4的解是푥=1，则a的值为（）

A．−8B．0C．2D．8

【变式3.3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）如果푥=1是关于푥的方程3푎2푥−2푏=5的解，则代数式6푎2

−4푏−9=．

【考点4根据问题中的相等关系列方程】

【例4.1】（2023七年级·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为160米，长比宽的2倍少1米．如果

设这个场地的宽为푥米，那么可以列出方程为．

【例4.2】（2023七年级·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如

果每人分4本，则缺25本．设有푥名学生，则可列方程为（）

A．3푥+20=4푥−25B．3푥+20=4푥+25

푥+20푥−25푥−20푥+25

C．=D．=

3434

【例4.3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）据市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属12个

景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去

年同期这12个景点接待市民游客푥万人，则可列方程为．

【变式】（七年级河南新乡阶段练习）根据与的和的倍比的1少列出的方程是（）

4.12023··“x53x32”

푥푥

．．

A3푥+5=3−2B3푥+5=3+2

푥푥

．．

C3(푥+5)=3−2D3(푥+5)=3+2

【变式4.2】（2023七年级·安徽安庆·期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八

折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品

的原售价为x元，则列方程为．

【变式4.3】（2023七年级·江苏泰州·期末）某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6

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人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·陕西渭南·期末）若푥=−1是关于푥的一元一次方程2(푥2−푚−1)=3(푛+2)的解，求

푚，푛的值．

【题型2】（2023七年级·河北石家庄·期末）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设

“口”内的数字为푦，则可列出方程．

【题型3】（2017七年级·全国·专题练习）先列方程，再估算出方程解．

甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，用40元钱买了两种钢笔共10支，还多2元，问两种钢笔各买了

多少支？

解：设买了甲型钢笔x支，则乙型钢笔_________支，依题意得方程：_____________________．

这里x＞0，列表计算：

从表中看出

x(支)12345678

3x＋5(10－x)(元)4846444240383634

x＝____是原方程的解．

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·全国·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多20%，乙班植树的

棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树푥棵．

(1)列两个不同的含푥的式子来表示甲班植树的棵数；

(2)根据题意列出含未知数푥的方程；

(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．

【题型2】（2023七年级·全国·单元测试）根据实际问题的意义列出方程：

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（1）好马走15天的路程，劣马要走30天，已知劣马每天走150千米，则好马每天走多少千米？

（2）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位，问有多少间宿舍？

【题型3】（2012·江苏盐城·七年级期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（）

82628262

A．휋×()푥=휋×()×(푥+5)B．휋×()푥=휋×()×(푥−5)

2222

C．휋×82푥=휋×62×(푥+5)D．휋×82푥=휋×62×5

模块二等式的性质

等式及其性质

（1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式；

（2）等式的性质：

等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.

【考点1等式的性质】

【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）已知푚+푎=푛+푏，若根据等式的性质可变形为푚=푛，则푎,푏满

足的条件是（）

A．푎=2푏B．−푎=푏C．푎=푏D．푎,푏可以是任意数或式子

【例1.2】（2023·云南·七年级期末）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（）

푎푏

A．若푎=푏，则=B．若푎=푏，则푎푐=푏푐

푐푐

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1

．若푎2=푏2，则푎=푏．若−푥=9，则푥=−3

CD3

【例1.3】（2023六年级下·全国·假期作业）若等式푎푐=푏푐成立，则下列等式不一定成立的是（）

A．푎=푏B．푎푏푐=푏2푐C．푎푐+푎=푏푐+푎D．푎푐−푏=푏푐−푏

【变式1.1】（2023七年级·湖北武汉·期末）已知等式3푦+4=2푥−2，依据等式的性质进行变形，可以得到

的是（）

3푦2

A．2푥=3푦−6B．3푦=2푥+6C．푥=+3D．푦=푥−3

23

【变式1.2】（2023七年级·全国·假期作业）如果푎=푏，根据等式的性质填空．

푎+5=푏+푎−=푏−푚

1

푎×=푏×푎÷=푏÷0.5

5

31

【变式1.3】（2023七年级·全国·假期作业）若3푎+2푏=24，则푎−5+푏的值是．

42

【考点2利用等式的性质解方程】

1

【例2.1】（2023七年级·吉林·期中）利用等式的性质解方程：−푥+6=9．

4

2

【例】（七年级全国课后作业）将方程−푥=1的系数化为时，下列做法正确的是（）

2.22023··31

．方程两边同时加上1．方程两边同时减去2

A3B3

22

．方程两边同时除以−．方程两边同时乘以−

C3D3

【例2.3】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）小红做了四道方程变形题，出现错误的有（）

71

下列方程变形为：（1）푥−2=3，푥=3+2；（2）7푥=4，푥=；（3）3+푥=5，푥=5+3；（4）푦=

44

11

，푦=．

28

A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）

（4）

4

【变式】（六年级下上海阶段练习）把方程−푦=8变形为푦=−6，是在方程两边都（）

2.12023··3

4343

A．乘以−B．乘以−C．除以−D．除以−

3434

【变式2.2】（2023七年级·全国·专题练习）利用等式的性质解方程．

(1)4푥−6=−10；

(2)−5푥=−15；

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(3)10푥=5푥−3；

(4)7푥−6=8푥．

5푦+4푦−15푦−5

【变式2.3】（2023七年级·北京延庆·期末）下面的框图是解方程+=2−的流程：

3412

在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有．（只填序号）

【规律方法综合练】

△□

【题型】（七年级四川南充期末）已知=，其中，分别表示两个不同的数，则下列式子

12023··34“△”“□”

一定成立的是（）

A．△×□=12B．4+△=3+□C．3×△=4×□D．4×△=3×□

【题型2】（2023七年级·福建泉州·阶段练习）若4푎−3푏=7，3푎+2푏=19，则14푎−2푏是（）

A．48B．52C．58D．60

【题型3】（2023七年级·全国·假期作业）如果△+△+△+△+□=270，□+△+△+△+□=290，那么，

□+△=．

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023·安徽·七年级期末）已知三个实数a，b，c，满足푎+푏+푐≠0，푎2+푏2=푐2，푎2=푏2+

푐2，则下列结论正确的是（）

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A．푎=0B．푐=0C．푎=−푐D．푎=푐

【题型2】（2023七年级·广西钦州·阶段练习）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天

平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是个．

31

【题型】（安徽亳州七年级期末）设푎,푏,푐为互不相等的实数，且푎=푏+푐，则下列结论正确的是

32023··77

（）

A．푎>푏>푐B．푐>푏>푎C．푎−푏=6(푏−푐)D．푎−푐=3(푏−2푎)

模块三课后作业

1．（2023七年级·河南周口·期中）下列式子中，是一元一次方程的有（）

A．푥+6=3푥B．푥2−9=푥2+8

C．5푥−3D．푥−푦=7

2．（2023七年级·全国·假期作业）푥=6是下列（）方程的解．

A．12−푥=0B．푥+3=9C．0.2푥=6D．푥÷10=1.5

3．（2023七年级·全国·专题练习）已知方程3푥−4푦=6，用含y的式子表示x为（）

6−4푦6+4푦6−3푥6+3푥

A．푥=B．푥=C．푦=D．푦=

3344

4．（2023七年级·河北·阶段练习）“푥的4倍与3的差比푥的2倍多5”可列等式表示为（）

A．4푥−3=2(푥+5)B．4푥−3=2푥+5C．4(푥−3)=2(푥+5)D．4(푥−3)

=2푥+5

5．（2023七年级·湖南湘潭·期末）若(푚−3)푥|푚|−2=5是一元一次方程，则푚的值是（）

A．3B．−3C．3或−3D．1

6．（2023六年级下·上海浦东新·期中）若푥=−1是方程푏푥+2=9的解，则푏=．

7．（2023七年级·河南新乡·期中）写出一个解为푥=−2，且未知数的系数为2的一元一次方程．

8．（15-16七年级·河南·阶段练习）下列各式中，①-2+5=5；②③；④；

⑤；⑥⑦⑧哪些是方程，哪些是一元一次方

程．（将序号写到横线上）

9．（2023七年级·河北保定·期末