2024学年上海市曹杨二中高一数学上学期12月考试卷附答案解析

学年上海市曹杨二中高一数学上学期12月考试卷（2024年12月9日）一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1.用有理指数幂形式表示：_______．2.函数的定义域为______．3.若幂函数为偶函数，则________.4.已知且，若无论为何值，函数的图象恒过一定点，则该点的坐标为______．5.已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，______.6.函数的最大值为______.7.已知，若函数的值域为，则的取值范围是______．8.已知，若函数的值域为，则的取值范围是______.9.已知，函数在区间上有零点，则的取值范围是______.10.已知是定义在上的偶函数，若，且对任意，恒成立，则不等式的解集为______．11.已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为__________12.已知a>0,b>0,c>1,fx=bx3+a+2b二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）13.下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（）.A.B.C. D.14.若函数一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.4 C.1.3 D.1.515.已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16.设正数不全相等，，函数．关于说法①对任意都偶函数，②对任意在上严格单调递增，以下判断正确的是（）A.①、②都正确 B.①正确、②错误 C.①错误、②正确 D.①、②都错误三、解答题（本大题共有4题，满分44分）17.已知.（1）判断函数的奇偶性并予以证明；（2）求不等式的解集.18.某学校为了开展劳动教育，计划修建一个如图所示总面积为750m2的矩形种植园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植辣椒、茄子、小白菜（其中区域的形状、大小完全相同）.设矩形种植园的一条边长为m，蔬菜种植的总面积为.（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；（2）当的值为多少时，才能使蔬菜种植的总面积最大?最大面积是多少?19.已知函数（1）当时，解关于x的方程（2）若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；（3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.20.已知函数的定义域为，若存在区间，满足，则称是函数的“保值区间”．（1）已知，若是函数的“保值区间”，求实数的值；（2）证明：函数在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”；（3）已知，设，若存在使得均为函数的“保值区间”，求的取值范围．高一数学练习（2024年12月9日）一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1.用有理指数幂的形式表示：_______．【答案】【分析】由根式转化为指数幂形式，利用指数幂的运算化简即可.【详解】，故答案为：.2.函数的定义域为______．【答案】【分析】利用函数有意义，列出不等式求出定义域.【详解】函数有意义，则，解得，所以所求定义域为.故答案为：3.若幂函数为偶函数，则________.【答案】【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.【详解】∵函数为幂函数，∴，解得或，又∵为偶函数，∴，故答案为：.4.已知且，若无论为何值，函数的图象恒过一定点，则该点的坐标为______．【答案】【分析】利用对数函数图象恒过定点问题求出坐标.【详解】由，即，得恒成立，所以函数图象恒过定点.故答案为：5.已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，______.【答案】【分析】利用奇函数的性质求的解析式，从而得解.【详解】因为当时，，所以当时，则，则，又函数是定义在上的奇函数，所以.故答案为：.6.函数的最大值为______.【答案】【分析】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解.【详解】对于，有，解得，所以的定义域为，又在上都是单调递增函数，所以在上单调递增，所以当时，取得最大值，为.故答案为：.7.已知，若函数的值域为，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可.【详解】由函数的值域为，得函数值域包含，则，解得，所以的取值范围是.故答案为：8.已知，若函数的值域为，则的取值范围是______.【答案】【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解.【详解】依题意，令，解得；令，解得；当时，，则，由指数函数的性质作出的大致图象，如图，因为的值域为0,4，所以，，则，所以，即的取值范围为.故答案为：.9.已知，函数在区间上有零点，则的取值范围是______.【答案】【分析】利用参变分离法，将问题转化为的值域是在上的值域的子集，从而利用二次函数的性质即可得解.【详解】因为在区间上有零点，所以在上有解，令，则的值域是在上的值域的子集，因为，其图象开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，即在上的值域为，所以.故答案为：.10.已知是定义在上的偶函数，若，且对任意，恒成立，则不等式的解集为______．【答案】【分析】根据给定条件，求出函数在上的单调性，再结合偶函数的性质分段解不等式.【详解】由对任意，恒成立，得函数在上单调递减，而函数是上的偶函数，则函数在上单调递增，又，则不等式化为：或，即或，解得或，则或，即或，所以不等式的解集为.故答案为：11.已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为__________【答案】或【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值.【详解】因为，则只需考虑下列三种情况：①当时，因为，则，且，可得，又因为，则且，可得：，则，解得；②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去；③当，即时，可得：且，可得，解得；综上所述：或.故答案为：或.【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类.12.已知，若，则的最小值为______.【答案】【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解.【详解】因为，则方程与有相同的解，不妨设为，则，故，即，整理得，因为，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解.二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）13.下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.选项D的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.故选：D14.若函数一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.4 C.1.3 D.1.5【答案】B【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B.故选：B15.已知为定义在R上的函数，则“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】B【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用奇偶性的定义说明必要性成立，从而得解.【详解】当既不是奇函数也不是偶函数时，取，满足条件，当时，，则，当或时，或，则，此时对于任意，均有，即充分性不成立；当存在，使得，则，则既不是奇函数也不是偶函数，即必要性成立；所以“既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的必要非充分条件.故选：B.16.设正数不全相等，，函数．关于说法①对任意都为偶函数，②对任意在上严格单调递增，以下判断正确的是（）A.①、②都正确 B.①正确、②错误 C.①错误、②正确 D.①、②都错误【答案】A【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②.【详解】函数的定义域为R，而，对于①，，因此函数是偶函数，①正确；对于②，，当时，令，求导得，当时，，函数在上递减，则，因此，当时，，函数在上递增，则，因此，从而函数在上递增，同理在上都递增，于是在上严格单调增，②正确，故选：A【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式．三、解答题（本大题共有4题，满分44分）17.已知.（1）判断函数的奇偶性并予以证明；（2）求不等式的解集.【答案】（1）是奇函数，证明见解析（2）【分析】（1）利用函数奇偶性的判定方法判断并证明即可得解；（2）利用对数函数的单调性解不等式即可得解.【小问1详解】是奇函数，证明如下：对于，有，解得，即的定义域为−1,1，关于原点对称，又，所以为奇函数；【小问2详解】因为，又在其定义域内单调递增，所以由fx>1=lg10，得经检验，该解集满足的定义域，所以不等式的解集为.18.某学校为了开展劳动教育，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形种植园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植辣椒、茄子、小白菜（其中区域的形状、大小完全相同）.设矩形种植园的一条边长为m，蔬菜种植的总面积为.（1）用含有的代数式表示，并写出的取值范围；（2）当的值为多少时，才能使蔬菜种植的总面积最大?最大面积是多少?【答案】（1）（2）当时，种植蔬菜的总面积最大，最大面积为：【分析】（1）由矩形面积得出关系式以及取值范围；（2）根据面积公式列出关系式，借助基本不等式得出最大值.小问1详解】矩形面积：∴∵∴∴【小问2详解】由（1）可知；，则当且仅当，即时取等号，∴当时，种植蔬菜的总面积最大，最大面积为：.19.已知函数（1）当时，解关于x的方程（2）若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式；（3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）直接将代入解方程即可；（2）先通过，求出，再代入证明其为奇函数即可；（3）先将带入条件求出，再将带入不等式，参变分离得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可.【小问1详解】当时，，即，整理得，即，得或（舍去）；【小问2详解】因为函数是定义在R上的奇函数，则且，，解得，即，证明：，故是定义在R上的奇函数，【小问3详解】在(2)的前提下，整理得，代入得，即恒成立，，又，当且仅当，即时等号成立，即实数的最大值为.20.已知函数的定义域为，若存在区间，满足，则称是函数的“保值区间”．（1）已知，若是函数的“保值区间”，求实数的值；（2）证明：函数在其定义域上是严格减函数，且该函数不存在“保值区间”；（3）已知，设，若存在使得均为函数的“保值区间”，求的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用题中的概念求参数即可；（2）先判断奇偶性，然后再利用复合函数的单调性判断单调性，然后假设存在“保值区间”存在来求保值区间，最后发现无解，就证得结果；（3）利用二次函数的单调性和开口方向讨论两个函数在的最值，然后根据题中的概念求解即可.【小问1详解】由题可知函数开口向上，且对称轴为，所以在单调递减，根据题意可知，【小问2详解】设，所以为奇函数，当时，显然此时ℎx利用奇函数的性质可知，在定义域内严格单调递减；假设存在“保值区间”为则又因，故，所以有解得，显然与已知矛盾，故不存在“保值区间”.【小问3详解】①当时，此时，若，因为存在使得为函数y=fx的“保值区间”，所以有，此时，显然，此时是y=gx的“保值区间”，故满足题意；②当时，函数fx=ax若，即，函数在上单调递增，所以有，因为，得，此时图像开口向下，对称轴为，所以在单调递减，所以有，故是y=gx的“保值区间”；若，此时的“保值区间”为，所以有，且f−1>−1由易知，因为均为函数的“保值区间”，所以有g−1=a+b+c=1,g1所以有，不满足，故此时无解；若，易知，同上可知，，不满