2023-2024学年福州市高二数学上学期期末联考试卷附答案解析

-2024学年福州市高二数学上学期期末联考试卷2024.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在正项等比数列中，，则数列的公比为（）A. B.4 C. D.22.抛物线的准线方程为（）A.B.C. D.3.已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.4.直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（）A.1 B.3 C.4 D.25.在等差数列中，若，则=（）A.100 B.120 C.57 D.186.在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（）A. B. C. D..7.已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（）A. B. C. D.8.已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（）A.3 B. C. D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（）A.若，则椭圆B.若椭圆，且焦点在轴上，则C.曲线可能是圆D.若为双曲线，则10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.11.设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.的最小值为12.已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A.若直线的斜率为，则B.最小值为C.若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D.若点，则的周长最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列的前项之和，则数列的通项公式__________．14.已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为__________.15.如图，四棱锥中，底面，底面是边长为6的正方形，且四棱锥的外接球的表面积为，点在线段上，且为线段的中点，则点到直线上任意点的距离的最小值为_____________．16.瑞典数家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边数为，面积为，若正三角形的边长为，则=________；=________.图1图2图3四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17.已知等差数列的前项和为，；（1）求等差数列的前项和及的最大值；（2）求数列的前项和.18.已知圆，直线过点.（1）若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围；（2）以线段为直径圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积.19.已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点，的面积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.20.在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．21.已知数列的首项，且满足．（1）判断数列是否为等比数列；（2）若，记数列的前n项和为，求．22.已知点，是圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹曲线为；（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率不为0的直线交曲线于两点，交直线于．过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点M的坐标．2023～2024学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学科试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在正项等比数列中，，则数列的公比为（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，然后将已知条件结合等比数列通项公式化简计算可得结果.【详解】设等比数列的公比为，由，得，，所以，所以，解得或（舍去），故选：D2.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线.【详解】由得，故抛物线的准线方程为.故选：D3.已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解.【详解】依题意得，，，，而在和上单调递增，且在上，，在上，所以，即.故选：D4.直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（）A1 B.3 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为2，所以到圆心的距离为，则在圆内，则的最大值为，故选：B5.在等差数列中，若，则=（）A.100 B.120 C.57 D.18【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前项和性质求解．【详解】是等差数列，则仍成等差数列，又，，所以，，，所以，故选：B．6.在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（）A. B. C. D..【答案】D【解析】【分析】A选项，根据离心率的定义得到；B选项，先得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据和得到；D选项，根据基本不等式得到，得到D错误.【详解】A选项，由题意得，，故，A正确；B选项，双曲线的一条渐近线方程为，故，故，故，B正确；C选项，由A知，故，故，C正确；D选项，因为，，，所以，又，且，由基本不等式得，故，所以，D错误.故选：D7.已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案.【详解】由题意易知，由变形为，故，所以，因为，所以，故，所以.故选：C8.已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（）A.3 B. C. D.2【答案】A【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案.【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部，又平面，故点在过且平行于平面的平面内，连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，，由是长方体，可知对角面为矩形，且，因为，，所以且，四边形为平行四边形，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为是平面内的相交直线，故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面，所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段.因为矩形中，，，可知，所以，可得中，，所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（）A.若，则为椭圆B.若为椭圆，且焦点在轴上，则C.曲线可能是圆D.若为双曲线，则【答案】BC【分析】根据椭圆标准方程的特征列不等式求解即可判断AB；根据方程为圆列式求解判断C；根据双曲线的特征判断D.【详解】当时，方程为，此时表示圆，故A错；C对；若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故B对；若为双曲线，则，解得，或，故D错；故选：BC10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可.【详解】因为数列满足，，所以，所以，所以AB正确，C错误，因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而，所以，所以D正确，故选：ABD11.设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.的最小值为【答案】AC【分析】根据题意，由，得的范围，由变形得，因此可得，由此分析选项是否正确，即可得答案【详解】根据题意，等比数列的公比为，由，所以，若，得，变形得，又且，则，故，故A对；由，故B错；，故C对；因为又且，所以等比数列递增数列，而，则的最小值为，故D错；故选：AC12.已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A.若直线的斜率为，则B.的最小值为C.若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D.若点，则周长最小值为【答案】BCD【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D．【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即，所以，，即抛物线方程为，焦点为，对选项A，设直线方程为，由得，设，则，，，直线的斜率为时，，所以，A错误；对选项B，由抛物线定义得，所以，当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，B正确；对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线定义可得，所以，所以以为直径的圆与轴相切，因此为切点，所以点纵坐标为1，又是中点，所以点纵坐标为2，而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列的前项之和，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】【详解】分析：根据和项与通项得关系求结果.详解：因为当时，，当时，，因，所以.点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.14.已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果.【详解】因为双曲线方程为（），所以双曲线的渐近线方程为，因为直线与双曲线左右两支各交一点，所以，解得，即实数的取值范围为，故答案为：15.如图，四棱锥中，底面，底面是边长为6的正方形，且四棱锥的外接球的表面积为，点在线段上，且为线段的中点，则点到直线上任意点的距离的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】以D为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立坐标系，由外接球的表面积为，求出，由求得，为线段的中点，求出，然后几根据两点间的距离公式结合二次函数求最值可得.【详解】由底面，所以由底面是正方形，所以，以D为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立坐标系，设四棱锥的外接球的半径为r，由外接球的表面积为，即，所以，，所以，所以，又，即，设，所以，所以，所以，又，因为为线段的中点，所以，设直线上一点，所以当时，点到直线上任意点的距离的最小，其最小值为.故答案为：16.瑞典数家科赫在1904年构造能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边数为，面积为，若正三角形的边长为，则=________；=________.图1图2图3【答案】①.②.【解析】【分析】根据图形，得出成等比数列，从而可得通项公式，再由图形的形成过程得出边长也成等比数列，而是在的基础上每条边向外增加一个小正三角形，由此可得面积间的关系，利用累加法求得通项公式．【详解】由题意，，，即是等比数列，公比是4，所以，设雪花曲线的边长为，则，，所以，因为，当时，，所以．故答案为：；.【点睛】方法点睛：本题考查归纳猜想，考查数列的应用，解题方法是观察图形，通过图形的形成归纳总结出与的关系：边数间的关系，边长的关系，面积的关系，从而利用数列的知识求得结论．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17.已知等差数列的前项和为，；（1）求等差数列的前项和及的最大值；（2）求数列的前项和.【答案】（1），210；（2）212.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合性质求出公差及首项即可得解.（2）由（1）求出数列的通项公式，判断项的正负，再结合（1）的结论求解即得.【小问1详解】等差数列的前项和为，由，得，解得，由，得，解得，则，公差，因此，对称轴为，因为，则当或时，，所以，的最大值为210.【小问2详解】由（1）知，，则，所以.18.已知圆，直线过点.（1）若直线与圆相交，求直线的斜率的取值范围；（2）以线段为直径的圆与圆相交于两点，求直线的方程及的面积.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径或联立直线方程、圆的方程结合判别式均可以求出斜率的范围.（2）求出弦长和圆心到直线的距离后可求三角形的面积，或者求出两个交点的坐标后可求三角形的面积.【小问1详解】法一：由已知可得圆，直线即，∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径，即，解得，故直线的斜率的取值范围为.法二：设直线的方程,联立方程得,故，解得.故直线的斜率的取值范围.【小问2详解】以为直径的圆，且半径，圆的方程为，由圆和圆：可得：的方程为：，整理得直线的方程为.法一：因为圆心到直线的距离即,，，所以的面积.法二：联立方程，得，解得或，所以的面积.19.已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点，的面积为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，表示出，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解；（2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解.【小问1详解】由题设双曲线，直线的方程为联立方程解得，又，，则而所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，可知，直线的方程不是，设直线的方程为即联立方程得①解得将代入①，得故直线的方程为.法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点，可知，直线的方程不是，设得，,直线的方程为，即，联立方程得，故直线的方程为.20.在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）法一：利用构造平行四边形，结合线面平行的判定定理即可得证；法二：利用面面平行的判定定理与性质定理即可得证；（2）依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解.【小问1详解】法一：取中点，连接，为的中点，，又，，四边形为平行四边形，，平面平面，平面.法二：取中点，连接，为的中点，，平面平面，平面，又，，四边形为平行四边形，，平面平面，平面又，平面，平面平面，又平面，平面.【小问2详解】因为平面平面，平面平面平面，，平面，取中点，连接，则平面，所以是直线与平面所成的角，即，又，，又，又，则，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，，，设平面的一个法向量，，则，取，则，易得平面的一个法向量可取，设平面与平面所成的夹角为，，故平面与平面所成的夹角的余弦为.21.已知数列的首项，且满足．（1）判断数列是否为等比数列；（2）若，记数列的前n项和为，求．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列定义及构造法求通项可判断；（2）根据等比数列求和公式、等差数列求和公式，利用数列分组求和及错位相减法求和可得结果.小问1详解】法一：若解得，则数列不是等比数列；若即，因为