高考理科数学总复习试卷及其答案+概率与统计+概率统计专题练习题

高考理科数学总复习

试卷及其答案+概率与统计+概率统计专题练习题

高考理科数学总复习试卷题目（附参考答案）

第一部分选择题（40分）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.已知命题p:对任意的xwR,有lnx>l,则「p是()

A.存在XoCR,有IHXQVIB.对任意的xwA,有Inxvl

C.存在XOGK，有ln%o<lD.对任意的xwR,有InxKl

2.已知外|2x-3|<1,q：x（x-3）<0,则夕是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.集合A={），|y=2',x£R},8={-2,—1,0,1,2},则下列结论正确的是（）

A.A8=(0,+oo)B.(5A)UB=(—,()]

C.(3)1B={-2,-l,0}D.(«A)I5={1,2}

4.已知角。的终边过点P(-4〃,3A)(Z<0),则2sin0+cos0的值是)

22

A.-B.--

55

C.1或D.随着A的取值不同其值不同

5.函数y=Jl-x+Jx-l是)

A.奇函数B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数I）.非奇非偶函数

6.已知/（x）是R上的减函数，则满足/（2）>/（1）的实数x的取值范围是

)

A.(—oo,l)B.(l,+oo)

c.y,o)(0,1)D.y,o)(i,+oo)

7.将函数）=以%（1-7T巴）的图象上所有点向右平T移T乙单位，所得图象对应函数是（）

36

A.y=cosxB.y=sinx

C.y=-cosxD.y=-sinx

8.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线尸f(x),一种是平均价

格曲线y=g(>)(如f(2)=3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)=4表示

开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实

线表示y=f(¥)，虚线表示其中可能正确的是

()

第二部分非选择题(110分)

二、填空题(每小题5分，共30分)

9.「|1+2欧=___*_____.

J-4

10.已知a>人>0,全集I=R,M={x\b<x<a^］»N={x|Vx«a},

贝ljMAN=*

兀3

11.已知sin(——x)=-,则sin2x的值为*.

45

12.若XNO,y>0,且x+2y=l,则2x+3y?的最小值是*.

13.在A4BC中，乙4、/B、NC所对的边分别为。、b、c,若A=60°,b、c分别

是方程/-71+11=0的两个根，则。等于

14.已知定义在区间［0,1］上的函数y=/(x)的图像如图所示，对于满足的任

三、解答题(共6大题，共80分)

15.(本题满分12分)

52，、x<\

设函数/(x)=(-----

4-7^1x>\

(1)求/"(0)］；

(2)若/'(x)=1,求x值.

16.(本题满分12分)

XX

函数/(x)=cos(-5)+sin(;r-：),xeR。

(1)求f(x)的周期：

(2)若/(a)=2^^,a€(0,,求tan(a+；)的值。

17.(本题满分14分)

已知函数/(x)=4sin2®x+(p)(J>0,(o>0,0<(p<y)，且y=/(x)的最大值为

2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).

(1)求(p；

⑵计算〃1)+/(2)+...+/(2011).

18.(本题满分14分)

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)

示意图，其中四边形力仍9是矩形，弧07〃是半圆，凹槽的横截面的周长为4.

已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为G,设AB=2x,BC=y。

(1)写出y关于工函数表达式，并指出x的取值范围；

(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.

19.（本题满分14分）

已知命题p：方程//+or-2=0在上有■解；

命题夕：只有一个实数x满足不等式V+W+ZaWO；

若命题“〃或夕”是真命题，而命题“p且q”是假命题，且F是真命题,

求。的取值范围.

20.（本题满分14分）

x+2a+l

已知函数/（X）=1Og2

x-3a+l

（1）求函数f（x）的定义域;

（2）若函数f（x）的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性;

（3）在（2）的条件下，记广U）为了（X）的反函数，若关于x的方程

/一|。）=5h2'-5%有解，求左的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.C解析：答案：C

2.A解析：,:p：Kx<2,q：0<x<3:.p=>g选儿

3.C解析：4=（0,+8）=>（。418={-2,-1,0}。故选C.

4.B解析:

k<0,2sin0+cos0=2x---------+---------=--------=——，

敢-4幻2+(3幻2J/(_4&)2+(3&)25|々|5

答案：B

5.D解析：函数f(x)=O,x£{l}不是奇函数也不是偶函数，选D

|1

6.D解析：/(—)>/(I)=一<1=--->0<=>x>l或x<0.选

XXX

71TT71

7.B解析：y=cos(x-§)=sin(x+%•)的图象向右平移,单位后得到的函数是y=sinx

的图象，选B

8.C解析：本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际

的能力.刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，/错误；开始交易后，平均价

格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，氏D

均错误.

答案：C

9.解析：x+2kZv=-(x+

=-(；/+2x)|1+(g%2+2x)1、二号

10.{x\y[abWx<.："}解析：,:a>b>0,:.a>">yfab>b,

/..l/nN={x\y^abWx<"}

乙

7兀n1_

11.云解析：sin2x=cos(--x)=1-2sin2(--x)=25

0.75解析：x=l-2y,2x+3y2=3丁2-4)，+2,0工丁£工答案：0.75

12.

2

.222

13.4.解析：cos4=+''—,且b+c=7,bc=ll,可得。=±4,a>0,则行4.

2bc

14.②③解析：利用斜率的集合意义及凸函数概念.

三、解答题(共6大题，共80分)

15.解析：(1)1,/(0)=1------------3'

・•・/[/(0)]=4----------------------5'

(2)当xVl时，F(x)=l=(田1)2=10尸一2或尸0,

/•x=0.8

当才21时，f(x)=1^4-Vx-l=l<=>7X-1=3<=>A=10.-----------11'

综上，知自变量产1或产10--------12'

16.解析：(1)/(x)=cos^—)+sin(^--—)=sin—+cos—=V2sin(—+—)-----2

/(幻的周期丁=7=4；1.............4分

2

小，/、2M出•aa2M

(2)由/(a)=-------,得sin—Feos—=--------,

5225

14-sintz=—,Asina=----------------------6

55

XaG(0,—),cosa=71-sin2a=Jl------=-,---------------8

2V255

,sina3,八、

..tana-------=—,-------------------1o

cosa4

兀3

tana+tan——+1

/.tan(a+—)=--------------=4=7.............12分

4i兀।3

1-tanatan—1——

44

AA

17.解：(1)j=Asin2(^yx+^)=---cos(2(wx+2^).

AA

y=f(x)的最大值为2,A>0..-.y+y=2M=2............................2分

1o

又其图象相邻两对称轴间的距离为2,6?>0,)=2,6；=-...........4分

2234

22Ji

「・f(x)=-----cos(—x+29)—1—cos(—x+2。).

>=/(工)过(1,2)点，/.85(/+2/)=-1.

:.—+2(p=2k冗+冗、keZ、：.2(p=2k7r+—,keZ,:.(p=k7t——,kwZ、

224

CC兀兀c八

又()<9<］，,*=不..............................................8分

7T

(2)v/(x)=l+sin-x

,-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=2+1+0+1=4.--------10'

又y=f(x)的周期为4,2011=502x4+3,----------12'

/./(I)+/(2)+...+/(2011)=4x502+2+1+0=2011-----------……14分

18.解析：（1）易知半圆。7。的半径为X,故半圆的弧长为乃X.

所以4=X42

-----------------------------2分

得"4-(2+%)x

2

3分

依题意知：0<xvy

4

得0<x<-------

4+乃

所以)

----------------------------6分

(2)依题意，设凹槽的强度为T,横截面的面积为S,则有

2

T=y/3S=j3(2xy-^-)----------------------------------8分

=G(2x"(2+m_江)

22

=x/3[4x-(2+—)x2]

2

有(4+3乃)__4y।86

—'-4+3，)+4+3/

44

因为0<--------<——，

4+3乃4+4

所以，当％一时，凹槽的强度最大.----------------------13

4+3乃

分

4

答：当”=「一时，凹槽的强度最大.--------------14分

4+3%

19.解析：对于命题p：由A?/+改一2=0在上有解,

当。=0时，不符合题意；-------2'

当。工0时，方程可化为：(仆+2)(以-1)=0,

91

解得：x=一一或x=------------------5'

aa

91

*.*XG[—1,1]，—1«—W1或—1K—21,-------5

aa

解得：a>l^a<-l------------------8'

对于命题q：由只有一个实数x满足不等式f+lax+la<0,

得抛物线y=/+2ar+2a与>轴只有一个交点,

2

/.△=4々—=0./.a=0或2,------------------10

又因命题“〃或4”是真命题，而命题“〃且4”是假命题，且/是真命题,

则命题"是真命题，命题。是假命题，-----------12'

所以a的取值范围为(-00,-1]U[1,2)U12,+oo)-------------14'

20.解析：(1)--------＞0,

工一3。+1

所以当。＞00由定义域为(F,—2a-1)U(3«-l,4oo)；

当。＜0时，定义域为(一8,3。一13(一2々-1,+8)；

当。=0时，定义域为(-8,-1)11(7,+8)……4分

(2)函数/(X)的定义域关于坐标原点对称，

当且仅当-2々-1=一(3。-1)0。=2,

x+5

此时，/(x)=log2^j.6分

x-5

对于定义域2(—00,-5)1_)(5,+8)内任意“，-xeD,

f(-x)=\g-^=1g—=-1g—=f(x),所以/(x)为奇函数；……8分

-x-5x+5x-5

当%£(5,+8),在(5,+8)内单调递减；

由于7。)为奇函数，所以在(-8,-5)内单调递减；……10分

(3)尸(幻=5(1+1),/A。……12分

2'-1

7r4-1t+]

方程广匕)=522-5攵即工令2、=，，得人，

V

2-1(1)2

r+1

又e(0,-HX))，所以当左>0时方程(x)=5k-2x-5k有解.14分

("I)?

概率与统计(附参考答案)

一、考点剖析

考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(4)=丝型①=上；

card(J)n

(2)互斥事件有一个发生的概率：P/+B)=尸H)+?(8);

特例：对立事件的概率：尸(4)+尸(,)=P(4+,)=1.

(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A-B)=P(A)-P(B);

特例：独立重复试验的概率：B(k)=CpA(l-p)x.其中P为事件A在一次试验中发生

的概率，此式为二项式［(1-P)+PF展开的第k+1项.

考点2、离散型随机变量的分布列

L随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母8、n

等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的•切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地,设离散型随机变量g可能取的值为修，“2，……，七，……取每一个值再•(i=1，

（1）Pt>0，Z=l»2,…；（2）q+E+…=1.

②常见的离散型随机变量的分布列：

(1)二项分布

〃次独立重复试验中，事件A发生的次数4是一个随机变量，其所芍可能的取值为0,1,

2,…n,并且P*=Pe=2)=C：P，i，其中0“。，q=l—p，随机变量g的分布列如下：

g01•••k…n

•••C：pkq-n

pdC：Pq°

称这样随机变量4服从二项分布，记作彳〜B(〃，p)，其中〃、p为参数，并记:

C：P、i=b（k;n、p）•

(2)几何分布

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数4是一个取值为正整数的离

散型随机变量，“4=女”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.

随机变量4的概率分布为:

e123…k…

……

ppqp夕I

考点3离散型随机变量的期望与方差

随机变量的数学期望和方差

⑴离散型随机变量的数学期望：琦=%出+/2+…；期望反映随机变量取值的平均水平.

⑵离散型随机变量的方差：以=（%-电）”+（必一£乡2"2+…+…；

方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

⑶基本性质：E[a4+b）=aE^+b：D（a^+b）=a2D^.

（4）若§〜B（n,p）,则=np；Dg=npq（这里q=1-p）;

如果随机变量J服从几何分布，尸&=Q=g氏p）,则将=>!>，DJ=*其中q=1-p.

PP2

考点4抽样方法与总体分布的估计

抽样方法

1.简单随机抽样：设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每

次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表

法.

2.系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规

则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.

3.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分

所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.

总体分布的估计

由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，•般地，样

本容量越大，这种估计就越精确.

总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.

当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表

示，几何表示就是相应的条形图.

当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.

总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无

限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.

考点5正态分布与线性回归

1.正态分布的概念及主要性质

(1)正态分布的概念

如果连续型随机变量4的概率密度函数为/*)=1e^,xwR其中外〃为常数,

J2*

并且。>0,则称《服从正态分布，记为“N(〃，<T2).

⑵期望Eg=U,方差

(3)正态分布的性质

正态曲线具有下列性质：

①曲线在x轴卜方,并且关于直线x=u对称.

②曲线在x=u时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.

③曲线的对称轴位置由口确定；曲线的形状由。确定，o■越大，曲线越“矮胖”；反之越“高

瘦”.

(4)标准正态分布

当"=0,。=1时g服从标准的正态分布，记作V〜N(0,1)

(5)两个重要的公式

①。(一x)=1-"(x)，②P(a<^<b)=-。(.)•

(6)N(〃Q2)与N(0,l)二者联系.

①若。〜汽("。2)，则〃=IZ£~M0,1)；

b

②若J〜N3b2)，则p(a<“0)=次"£)_以伫4•

ab

2.线性回归

简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.

变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确

定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统

计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.

具体说来，对n个样本数据(%,»),(占,必)，…，(/，”)，其回归直线方程，或经验公

式为：9=瓜淇中或交二!巴Q元，其中只予分别为|w|、|巾的平均数・

储,2-〃（斤

二、例题讲解

例1（1）.在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概

率是（结果用数值表示）.

［解答过程］0.3提示:尸二C二3二3

C~；5Sxv411i0n'

F

（2）.一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5

的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为.

例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表.已知在

全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取

64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）

A.24B.18C.16D.12

分析：根据给出的概率先求出1的值，这样就

可以知道三年级的学生人生377370z数，问题就解决了.

解析：C二年级女生占全校学生总数的19%,

即1=2000x0.19=380,这样一年级和二年级学生的总数是

373+377+380+370=1500,三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是

64

----x500=16.答案C.

例3.（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了l（XXX）人,

并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、

职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在

［2500,3500）（元）月收入段应抽出人.

频率/组距

0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001月收入(元)

-------->

1000150020002500300035004000

分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可.

解析：根据图可以看出月收入在［2500,3500)的人数的频率是

(0.0005+0.0003)x500=0.4,故月收入在[2500,3500)人数是1(XX)()x().4=4000,

故抽取25人.

例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苜，至少有3人出现发

热反应的概率为.(精确到0.01)

［解答提示］至少有3人出现发热反应的概率为

•0.803.0.2()2+C0.8040.20+Cj-0.805=0.94.故填0.94.

例5(11天津，文)(本小题满分13分)

编号为A，4,…,Am的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:

运动员编号

44A3%A444

得分1535212825361834

运动员编号

4AoAiA2A3A4As

得分1726253322123138

(I)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;

区间

[10,20)[20JO)[30,40]

人数

(II)从得分在区间［20,30)内的运动员中随机抽取2人,

(i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；

(ii)求这2人得分之和大于50的概

解析(I)解：4,6,6

(ID(i)解：得分在区间［20,30)内的运动员编号为4,4,A，Ao,Ai，•从中随机

抽取2人，所有可能的抽取结果有：

{4,A4},{4,4},{A'Ao},{4,Ai},{4,A3},{,4},{ApAo}'

{A*,A1},{Ai,A3},{4'Ao[,{A'A1},{4,A3},{Ao,A1},{4o,A3},{A",A3}‘共

15种。

（ii）解：“从得分在区间［20,30）内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”

（记为事件B）的所有可能结果有：｛a，A｝,｛4，Ao｝，｛A4，AJ,｛A，Ao｝，｛Ao，AJ，

共5种。

所以P（B）=9二L

153

例6.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：”取出的2

件产品中至多有1件是二等品”的概率P（4）=0.96.

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件8：”取出的2件产品中至少有一

件二等品”的概率P（8）.

［解答过程］（1）记4表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

A表示事件”取出的2件产品中恰有1件二等品”.

则4,A互斥，且A=4+A，故

l2

产(A)=P(4+A)=P(4)+P(A)=(1-")2+c2p(\-p)=\-p.

于是0.96=l-p2.

解得,=。2p2=-0.2(舍去).

（2）记综表示事件”取出的2件产品中无二等品”，则8=瓦.

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100x0.2=20件，故P（B）=豆=辿

°小）495

—316179

P(B)=P(BO)=1-P(BO)=1--=—

例7.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2

个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.

（I）若n=3,求取到的4个球全是红球的概率；（II）若取到的4个球中至少有2个红球的概

率为3,求n.

4

［考查目的］本题主要考行排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能

力.

［标准解答］(|)记"取到的4个球全是红球”为事件A.

以八C；C~111

P(A)=TT=-----—.

C；C161060

(II)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件8,“取到的4个球只有1个红球”为事

件印，”取到的4个球全是白球”为事件打.

由题意,得p(8)=］_3=_L.

GGc；GGC_2/

P⑻一丁五宝丁一3(〃+2)(,”‘

P(B的工=…)：

c：C365+2)5+1)

所以，P(B)=P(BJ+P(B,)=——+加7」，

'35+2)(〃+1)6(〃+2)5+1)4

化简，得加2_11〃一6=0,解得〃=2,或八=_3(舍去)，

7

故n=2.

例8.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾

客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润

200元：若顾客采用分期付款，商场获得利润250元.

(I)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

(H)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.

［解答过程］(I)记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则川表示事件:

“3位顾客中无人采用一次性付款

P(A)=(1-0.6)2=0.064，P(A)=1-P(A)=1-0.064=0.936•

(II)记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”.

为表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.

用表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.

则8=稣+4.

P（BJ=0.63=0.216＞「（与）=C；x06x0.4=0.432.

P(B)=P(B0+B,)=P(凡)+P(与)=0.216+0.432=0.648.

例9(10山东，理)(本小题满分12分)

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A氏。,。四个问题，规则如下：

①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A8,。,。分别加1分、2分、3分、

6分，答错任一题减2分；

②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当

累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足

14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一

轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.

假设甲同学对问题AB,C,。回答正确的概率依次为巳3,一1,1一1,一，且各题回答正确与否相互

4234

之间没有影响.

(I)求甲同学能进入下一轮的概率；

(II)用彳表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求J的分布列和数学的

、解：设A1,C,。分别为第一、二、三、四个问题.用加«=1,2,3,4)表示甲同学

第i个问题回答正确，用=2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则也与

M是对立事件(i=l,2,3,4).由题意得

3111

P(M,)=-,P(^2)=-,P(M3)=-,P(M4)=-,

所以

1123

P(NJ=『P(N?)=亍P(M)=1P(NJ=.....

(I)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,

则

Q=%此％+NMM3M4+弧％圾峪+弧峪

由于每题答题结果相互独立，因此二法》'

尸（°）=尸（峪%％+纵M峪峪+M超必峪+%%峪圾+%％孤峪）

=?（弧死%）+区网M2峪4+P（MIMM胫J+P（胫1%M3M）

+P（跖％区峪）

=尸（陷）尸（%）尸（%）+氏咐尸（死）尸（峪）产+p（M*（M）尸（峪）尸（圾）

+P（峪）尸（狙）尸（%）尸（峪）+P（附尸（圾）尸（忆"（峪）

317111131113121

=-X—X-4--X-X-X—+-X—X-X—+—X—X—X—

423423442344234

1121

4--X—X—X—

4234

-4

（II）由题意，随机变量J的可能取值为：2,3,4.

由于每题答题结果相互独立，

所以

尸©=2）=产（M%）=尸（网）尸（抽）=；

O

尸©=3）=F（峪％峪）+尸（峪必帆）

=尸（陷）尸（此）尸（%）+尸（陷）尸（超）尸网）

311312

=—X—X—+—XX—

423423

_3

=­•

8

P«=4）=l-P«=2）-P（i=3）

131

--=

-8-8-2

♦♦­

因此随机变量J的分布列为

234

g

p31

882

所以

ic1c3,127

F<^=2x-+3x—+4x—=—.

8828

例10.（2008高考山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A，4,&通晓口语，

与，修，用通晓俄语，G，G通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，

组成一个小组.

（I）求A被选中的概率；

（2）求用和G不全被选中的概率.

分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的

计算公式解决.

解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事

件空间

c=｛（A，弟G）,（A，G），（A，%G）,（4,用，C2）,（A，/c,）,

（A，ByC2）,（&，BpG），（4，4C2）»（A,,B2,G）,（覆层，C2）,

（A,,ByCJ,（A,,ByC）,（&B[,G）,（&CJ,

2C2）,（AJ,BV

（AJ,B?,C2）,（AJ,ByG>（4,BytG）｝

由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生

是等可能的.

用M表示“A恰被选中”这一事件，则

M=｛（A，与，C]）,（A，4，G），（A，G），

（%C2MA，Bycj,（A，/c）｝

B2,2

事件M由6个基本事件组成，因而P（M）=2=J.

183

（2）用N表示“用，£不全被选中”这一事件，则其对立事件后表示“耳£全被选中〃这

一事件，

由于W=｛（A，用，c,）,（A，旦，G）,（4,G）｝,事件后有3个基本事件组成，

—31—15

所以P（N）===一，由对立事件的概率公式得P（N）=1-P（N）=l--=y.

18666

点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”

等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力.

例11.（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的

无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列伍〃｝，则《9=

A.2014B.2034C.1432D.1430

分析：按照千位的数字寻找规律.

解析：千位是1的四位偶数有C；A；=18,故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一

个,即2014,答案A.

例12.

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需

随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

（I）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少

有1件是合格的概率：

（II）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2

件.都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收，求出该商家检验出不合格产品

数J的分布列及期望E＜，并求出该商家拒收这批产品的概率.

［解答过程］（I）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算,有尸⑷=1-P⑷=1-0.24=0.9984

（IDJ可能的取值为0,1,2.

上=0）=理=监

'）或190

尸（尸1）一誓1—4

v190

P（^=2）=-^-=—

7G,190

4012

136513

P

丽190190

51c33

E^=0x—+lx----F2x

190190----190Io

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率

尸=1一尸（8）=1—四=2・

'719095

所以商家拒收这批产品的概率为卫.

95

例13.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，

否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为3、3、2,且各

555

轮问题能否正确回答互不影响.

（I）求该选手被淘汰的概率；

（II）该选手在选拔中回答问题的个数记为求随机变量J的分布列与数学期望.

（注：本小题结果可用分数表示）

［解答过程］解法一：（I）记“该选手能正确回答第，轮的问题”的事件为A（i=123），则

432

尸（%）=鼠尸（&）=晨2⑷=整

该选手被淘汰的概率

尸=尸（4+A反+4A2否=P（A）+P（A）尸（川）+尸（A）P（&）P（4）

142433101

=—+-X—+-X—X—=