甘肃省秦安县2024年中考数学模拟预测题含解析

甘肃省秦安县2024年中考数学模拟预测题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%,现售价为。元，则原售价为（）

A.（4-20%）元B.（。+20%）元C.£元D./。元

2.按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）

①N2=90。；②N1=NAEC；③△ABES^ECF；④NR4E=N1.

D

r--------?------?太口［恢氯就表------二F

BECECEBEC

A.1个B.2个C.1个D.4个

3.如图，已知ABHCDHEF,那么下列结论正确的是（）

大

ADBCBCDF八CDBC-CDAD

A.—Bn.—C.—D

DFCECEADEFBE•~EF~~AF

4.如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）

上

b4/5人

A.N1=N2B.N2=N3C.N3=N5D.Z3+Z4=180°

5.下列运算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.（a+b）2=a2+b2C.a6-i-a2=a3I）.(-2a3)2=4a6

6.下列说法正确的是（）

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.对角线互相平分的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

7.下列说法正确的是（）

A.负数没有倒数B.-1的倒数是・1

C.任何有理数都有倒数D.正数的倒数比自身小

8.对于一组统计数据1,1,6,5,1.下列说法错误的是（）

A.众数是1B.平均数是4C.方差是1.6I）.中位数是6

9.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点M是AB的中点，若OM=4,AB=6,则BD的长为（)

A.4B・5C.8D.10

10.不等式5+2xVI的解集在数轴上表示正确的是（）.

A.-LIAB.IjC.I--------D.J------------

-2003-20-20

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.函数+的自变量x的取值范围是___.

12.己知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面展开图的面积等于

13.若代数式一二的值不小于代数式的值，则x的取值范围是___.

56

14.如图，已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点，联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设D4=b，

那么向量£）厂用向量。、〃表示为

15.关于”的分式方程々+5=网?有增根，则m的值为.

x-lX-1

16.如图，。。的半径。。_1弦45于点C,连结A。并延长交。。于点E,连结EC.若A3=8,CD=2f则EC的长

为.

17.如瓯正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=1DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边

BC于点G,连接AG、CF.下列结论：①△ABG^ZXAFG；@BG=GC；③AG〃CF；®SAFGC=1.其中正确结论的

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）已知如图，直线X+473与X轴相交于点A,与直线y=@x相交于点P.

3

（1）求点P的坐标；

（2）动点E从原点O出发，沿着O-PTA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF_Lx

轴于F,EBJ_y轴于B.设运动t秒时，F的坐标为（a,0）,矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.直接写出：

S与a之间的函数关系式

（3）若点M在直线OP上，在平面内是否存在一点Q,使以A,P,M,Q为顶点的四边形为矩形且满足矩形两边AP:PM

之比为1：G若存在直接写出Q点坐标。若不存在请说明理由。

rX

19.（5分）有这样一个问题：探究函数），=」的图象与性质.小怀根据学习函数的经验，对函数y='一的图象

x+1x+1

与性质进行了探究.下面是小怀的探究过程，请补充完成：

（1）函数），=--Y的自变量X的取值范围是_______；

A+1

（2）列出y与x的几组对应值.请直接写出m的值，m=；

(3)请在平面直角坐标系xOy中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象;

X

(4)结合函数的图象'写出函数>:有的一条性质.

・5-4-3-2.1012tn4S

22

t1123-101234r

4322345-

6

1y0个-

9-

8-

7-

6-

5-

4-

3-

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678、

-1

-2

39

2d(8分)已知'如图L直线产“+3与,轴、，轴分别交于A、C两点，点B在x轴上，点B的横坐标为“抛

物线经过A、R、C三点.点D是直线AC上方抛物线上任意一点.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)若P为线段AC上一点，且SAPCD=2SAPAD,求点P的坐标；

(3)如图2,连接OD,过点A、C分别作AM_LOD,CN±OD,垂足分别为M、N.当AM+CN的值最大时，求点

21.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O与BC交于点D,过点D作NABD=NADE,交AC

于点E.

(1)求证：DE为。O的切线.

(2)若。O的半径为十，AD=—,求CE的长.

63

22.(10分)某服装店用4-000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进笫二批这种文

化衫，所进的件数比第一批多40%,每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题：

(1)求购进的第一批文化衫的件数；

(2)为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致.若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100

元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？

23.(12分)如图1,在直角梯形ABCD中，AB±BC,AD/7BC,点P为DC上一点，且AP=AB,过点C作CE1BP

交直线UP于E.

(1)若「.，求证：.;

HUIcorn?=>；nrmc

(2)若AB=BC.

①如图2,当点P与E重合时，求的值;

②如图3,设NDAP的平分线AF交直线BP于明当CE=L2时,直接写出线段AF的长.

304

图1

图2S3

24.(14分)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网

格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出AABC向下平移4个单位长度得到的AAIBIG,点CI的坐标是；

(2)以点B为位似中心，在网格内画出乙AzB2c2,使乙AzB2c2与△ABC位似，且位似比为2：1,点C2的坐标是;

(3)△AzB2c2的面积是平方单位.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

根据题意列出代数式，化简即可得到结果.

【详解】

根据题意得：a+（l-20%）=a+/，a（元），

J4

故答案选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.

2、C

【解析】

VZ1+Z1=Z2,Zl+Zl+Z2=180°,

/.Z1+Z1=Z2=9O°,故①正确；

VZ1+Z1=Z2,・・・N1HNAEC故②不正确；

VZ1+Z1=9O°,Zl+ZBAE=90°,

；.N1=NBAE,

又・・・/B=NC,

•♦・△/AVEsAKCF.故③，④正确;

故选C.

3、A

【解析】

已知AB〃CD〃EF,根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可.

【详解】

VAB/7CD/7EF,

.ADBC

**DF~CE*

故选A.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案.

4、C

【解析】

解：A.・・・/1与N2是直线a,b被c所截的一组同位角，・・・N1=N2,可以得到2〃1),・••不符合题意

B.,・・N2与N3是直线a,b被c所截的一组内错角，・・.N2=N3,可以得到a〃b,・,•不符合题意，

C・・・・N3与N5既不是直线a,b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，・・.N3=N5,不能得到2〃包・••符合

题意，

D.・・・N3与N4是直线a,b被c所截的一组同旁内角，・・.N3+N4=180。，可以得到/〃山二不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查平行线的判定，难度不大.

5、D

【解析】

根据完全平方公式、合并同类项、同底数基的除法、积的乘方，即可解答.

【详解】

A、a2+a2=2a2,故错误；

B、(a+b)2=a2+2ab+b2,故错误；

C、a6va2=a4,故错误；

D、(-2a3)2=4a6,正确；

故选D.

【点睛】

本题考查了完全平方公式、同底数幕的除法、积的乘方以及合并同类项，解决本题的关键是熟记公式和法则.

6、D

【解析】

分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.

详解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；

B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；

C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；

D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；

故选D.

点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理.

7、B

【解析】

根据倒数的定义解答即可.

【详解】

A、只有。没有倒数，该项错误；B、・1的倒数是-1,该项正确；C、0没有倒数，该项错误；D、小于1的正分数

的倒数大于1,1的倒数等于1,该项错误,故选B.

【点睛】

本题主要考查倒数的定义：两个实数的乘积是L则这两个数互为倒数，熟练掌握这个知识点是解答本题的关键.

8、D

【解析】

根据中位数、众数、方差等的概念计算即可得解.

【详解】

A、这组数据中1都出现了1次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为1,此选项正确；

B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4,故此选项正确；

C、S2=-[(1-4)2+(1-4)2+(6-4)2+(5-4)2+(1-4)2]=1.6,故此选项正确；

D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第1个数是1,故中位数为1,故此选项错误；

故选D.

考点：1.众数；2.平均数；1.方差；4.中位数.

9、D

【解析】

利用三角形中位线定理求得AD的长度，然后由勾股定理来求BD的长度.

【详解】

解：•・•矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

/.ZBAD=90°,点O是线段BD的中点，

,・,点M是AB的中点，

・・・0、1是4ABD的中位线，

AAD=2OM=1.

，在直角△ABD中，由勾股定理知：BD=VAD2+AB2=V82+62=10-

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，利用三角形中位线定理求得AD的长度是解题的关键.

10、C

【解析】

先解不等式得到xV・L根据数轴表示数的方法得到解集在・1的左边.

【详解】

5+lx<L

移项得lx<-4,

系数化为1得xV・l.

故选C.

【点睛】

本题考杳了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值

范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、xNl且对3

【解析】

根据二次根式的有意义和分式有意义的条件，列出不等式求解即可.

【详解】

根据二次根式和分式有意义的条件可得：

fx-l>0

［戈-3w0,

解得：xNl且xw3.

故答案为：x=1且XW3.

【点睛】

考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.

12、2471cm2

【解析】

解：它的侧面展开图的面积=1・1n・4又6=14n(cw1).故答案为14ncw'.

2

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.

C11

13、x>—

43

【解析】

根据题意列出不等式，依据解不等式得基本步骤求解可得.

【详解】

3r—11—5V

解：根据题意，得：-->—,

56

6(3x-1)>5(1-5x),

18x-6>5-25x,

18x+25x>5+6>

43x>ll,

11

x>—,

43

故答案为x>—.

43

【点睛】

本题主要考查解不等式得基本技能，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.

14、a+2b

【解析】

根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF,故AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行

解答.

【详解】

如图，连接BD,FC,

D

,:四边形ABCD是平行四边形，

ADC/ZAB,DC=AB.

/.ADCE^AFBE.

又E是边BC的中点，

,DEEC\

••~,

EFEB1

AEC=BE,即点E是DF的中点，

・•・四边形DBFC是平行四边形，

ADC=BF,故AF=2AB=2DC,

•*-DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b.

故答案是：a+2b.

【点睛】

此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.注意掌握三角形法则的应用是关键.

15、1.

【解析】

去分母得：7x+5(x-l)=2m-l,

因为分式方程有增根，所以x・l=O,所以x=l,

把x=1代入7x+5(x-l)=2m-l,得：7=2m-l,

解得：m=l,

故答案为1.

16、2而

【解析】

设。O半径为r,根据勾股定理列方程求出半径r,由勾股定理依次求BE和EC的长.

【详解】

连接BE,

设。O半径为r,则OA=OD=r,OC=r-2,

VOD1AB,

AZACO=90°,

1

AC=BC=-AB=4,

2

在R3ACO中，由勾股定理得：r2=42+(r-2)2,

r=5,

/.AE=2r=10,

•・・AE为。O的直径，

:.ZABE=90°,

由勾股定理得：BE=6,

在RSECB中，EC=VZ?E2+BC2=V62+42=2V13•

故答案是：2屈.

【点睛】

考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

17、

【解析】

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtAABGgRSAFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG二GC；通

过证明NAGB=NAGF=NGFC=NGCF,由平行线的判定可得AG〃CF；由于SAFGC=SAGCE-SAFEC,求得面积比较即

可.

【详解】

①正确.

理由：

VAB=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,

Z.RtAABG^RtAAFG(HL)；

②正确.

理由：

EF=DE=-CD=2,设BG=FG=x,贝!]CG=6・x.

3

在直角△ECG中，根据勾股定理，得(6-x)2+42=(x+2)2,

解得x=l.

.\BG=1=6-1=GC；

③正确.

理由：

VCG=BG,BG=GF,

/.CG=GF,

1.△FGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

XVRtAABG^RtAAFG；

:.ZAGB=ZAGF,ZAGB+ZAGF=2ZAGB=1800-ZFGC=ZGFC+ZGCF=2ZGFC=2ZGCF,

:.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,

④错误.

理由：

11

VSGCE=-GC*CE=-x1x4=6

A22

VGF=bEF=2,AGFC和AFCE等高,

***SAGFC：SAFCE=1：2,

318

■•SAGFC=—x6=—r1.

55

故④不正确.

…D

尸X…H

BG

・・・正确的个数有1个:①②③.

故答案为①©③

【点睛】

本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三

角形的面积计算，有一定的难度.

三、解答题（共7小题，满分69分）

乎a?(0<a<3)

18、(1)P(3,V3)；⑵S=<；(3)Q(l-V3)；e2(7,>/3)

-|>/3d2+165i-246(3<a<4)

【解析】

（1）联立两直线解析式，求出交点P坐标即可；

（2）由F坐标确定出OF的长，得到E的横坐标为a.代入直线OP解析式表示出E纵坐标.即为EF的长，分两种

情况考虑：当0<4,3时，矩形EBOF与三角形OPA重叠部分为直角三角形OEF,表示出三角形OEF面积S与a

的函数关系式；当3<4,4时，重合部分为直角梯形面积，求出S与a函数关系式.

（3）根据（1）所求，先求得A点坐标，再确定AP和PM的长度分别是2和2g,又由OP=2Q,得到P怎么平移

会得到M,按同样的方法平移A即可得到Q.

【详解】

y——y/3x+4A/3（X=3

解：⑴联立得：,解得：'；

y=-xy=、3

V3

・・・P的坐标为P（3,g）；

（2）分两种情况考虑：

当。<“,3时，由F坐标为（a,0）,得到OF=a,

把E横坐标为a,代入），=与得：y=B。即Eb=立。

3"33

此时S=，0/=@/（o<3）

26

当3<4,4时，重合的面积就是梯形面积，

F点的横坐标为a,所以E点纵坐标为+

M点横坐标为：・3a+12,

・・・s=(-y/3a+40)a--(一岛+4我(一3。+12)=--«2+16&-246

22

^-a2(0<^<3)

所以S二

2

--43a+16®L24G(3<a<4)

2

(3)令y=-61+46中的y=0,解得：x=4,则A的坐标为(4,0)

则AP=J(3_41+(G—Of=2，贝lJPM=26

又：OP=旧Sf7=2x/3

・••点P向左平移3个单位在向下平移后可以得到M.

点P向右平移3个单位在向上平移V3可以得到Mi

・••A向左平移3个单位在向下平移可以得到Qi(l,-V3)

A向右平移3个单位在向上平移G可以得到Qi(7,石)

所以，存在Q点，且坐标是21-6)，。2(7,6)

【点睛】

本题考查一次函数综合题、勾股定理以及逆定理、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解

题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

19、(1)x±-l；(2)2；(2)见解析；(4)在xV-1和x>-l上均单调递增；

【解析】

(1)根据分母非零即可得出"1和，解之即可得出自变量x的取值范围；

3

(2)将产：代入函数解析式中求出x值即可；

(2)描点、连线画出函数图象；

(4)观察函数图象，写出函数的一条性质即可.

【详解】

解：⑴・・"+"0,-1.

故答案为年-1.

x3

(2)当产---=丁时，解得：x=2.

x+14

故答案为2.

（2）描点、连线画出图象如图所示.

和x>・1上均单调递增.

本题考查了反比例函数的性质以及函数图象，根据给定数据描点、连线圆出函数图象是解题的关键.

20>（1）y=-1x2--j^x+3；（2）点P的坐标为（-g,1）；（3）当AM+CN的值最大时，点D的坐标为（二一j历

-3+5/73、

--------------------）•

2

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，由点B所在的位置结合点B的横坐标可得出点B的

坐标，根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的函数关系式；

（2）过点P作PE_Lx轴，垂足为点E,MAAPE^AACO,由△PCD、△PAD有相同的高且SAPCD=2SAPAD,可得

出CP=2AP,利用相似三角形的性质即可求出AE、PE的长度，进而可得出点P的坐标；

（3）连接AC交OD于点F,由点到直线垂线段最短可找出当AC_LOD时AM+CN取最大值，过点D作DQ_Lx轴,

垂足为点Q,则ADOOsaAOC,根据相似三角形的性质可设点D的坐标为（・3t,4t）,利用二次函数图象上点的

坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其负值即可得出t值，再将其代入点D的坐标即可得出结论.

【详解】

3

（1）:直线y=：x+3与x轴、y轴分别交于A、C两点,

，点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,3）.

9

・・•点B在x轴上，点B的横坐标为二,

4

9

・••点B的坐标为（一，0）,

4

设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c(a,0),

9

将A(-4,0)、B(一，0)、C(0,3)代入v=ax2+bx+c,得:

4

1

a=—

[6a-4b+c=03

819

77。+"7h+。=°，解得:b」

16412

c=3c=3

・••抛物线的函数关系式为y=・旨+3；

（2）如图1,过点P作PE_Lx轴，垂足为点E,

••・△PCD、△PAD有相同的高，且SAPCD=2SAPAD,

ACP=2AP.

•・・PE_Lx轴，CO_Lx轴，

/.△APE^AACO,

・AEPEAP1

・•茄一而一就Y，

141

AAE=-AO=-,PE=-CO=1,

333

8

AOE=OA-AE=；,

，点P的坐标为（・g,1）;

（3）如图2,连接AC交OD于点F,

VAM±OD,CN1OD,

CF><N,

，当点M、N、F重合时，AM+CN取最大值，

过点D作DQJ_x轴，垂足为点Q,则ADQOs2\AOC,

.OQCO_3

••历一茄一"

，设点D的坐标为（・3t,4t）.

•・,点D在抛物线y=-y-g+3上，

A4t=-3t2Ft*3,

4

解得…〜三咨（不合题意，舍去“尸书

二点D的坐标为（¥’¥）,

故当AM+CN的值最大时，点D的坐标为（9-3斤,-3+用）.

本题考杳了待定系数法求二次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的

性质，解题的关键是：（D根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数关系式；（2）利用相似三角形

的性质找出AE、PE的长；（3）利用相似三角形的性质设点D的坐标为（-3t,4t）.

21、⑴证明见解析；（2）CE=1.

【解析】

（1）求出NADO+NADE=90。，推DEJLOD,根据切线的判定推出即可；

（2）求出CD,AC的长，CDE^ACAD,得出比例式，求出结果即可.

【详解】

⑴连接0D,

〈AB是直径,

AZADB=90°,

/.ZADO+ZBDO=90°,

VOB=OD,

AZBDO=ZABD,

VZABD=ZADE,

，NADO+NADE=90。,

即，OD_LDE,

VOD为半径，

・・・DE为G)O的切线；

(2)・・・。0的半径为今,

6

95

AAB=2OA=-y=AC,

VZADB=90°,

AZADC=90°,

在RtAADC中，由勾股定理得：DOJ人，2-AD&J（争）2-吟）」

VZODE=ZADC=90°,ZODB=ZABD=ZADE,

AZEDC=ZADO,

VOA=OD,

/.ZADO=ZOAD,

VAB=AC,AD±BC,

AZOAD=ZCAD,

Z.ZEDC=ZCAD,

vzc=zc,

AACDE^ACAD,

.CEDC

■■----=----，

DCAC

解得：CE=1.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质与切线的判定，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与切线的判定.

22、（1）50件；（2）120元.

【解析】

（1）设第一批购进文化衫x件，根据数量:总价+单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10

元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论：

（2）根据第二批购进的件数比第一批多40%,可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价

为y元，根据利润=俏售单价x俏售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出

结论.

【详解】

解：(1)设第一批购进文化衫x件，

40006300

根据题意得：丁+味而跖，

解得：x=5(),

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

答：第一批购进文化衫50件；

(2)第二批购进文化衫(1+40%)x50=70(件)，

设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，

根据题意得：(50+70)y-4000-6300>4100,

解得：y>120,

答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)

根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

23、(1)证明见解析；(2)①.；②3.

【解析】

(1)过点A作AF_LBP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP,易证RtZkAB