湖北省枣阳某中学2023-2024学年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

湖北省枣阳一中2023-2024学年高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知F是双曲线C:Ax2+V=4|k|（A为常数）的一个焦点，则点尸到双曲线。的一条渐近线的距离为（）

A.2kB.4kC.4D.2

2.函数=-Jcosx（一4WxK乃且x/O）的图象可能为（）

3.甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四

人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

4.已知”=ln6，b=/，广，则。，b,。的大小关系为（）

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

a（a<b）

5.定义运算〃㊉八.“）’则函数〃幻=皿的图象是（）.

6.已知函数〃x)=sin(2x+°),其中0w(O,g),若VXERJ(X)W/g恒成立，则函数的单调递增区

2ko；

间为()

>7万/t\>72万..、

K7T---,k〃+—(k£z)B.K7T-—,K7T+—(kEZ)

36

.71.2乃...k兀，k兀+生

k兀+一,k冗+——(kwz)D.(ZeZ)

333

7.如图，在平面四边形48co中，满足A3=3C,CO=A。，且A3+AO=10,3O=8,沿着BO把/WO折起,

使点A到达点尸的位置，且使PC=2,则三棱锥P-BC。体积的最大值为()

8.已知复数z满足z—5=0,且zN=9,贝ijz=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

9.己知函数小)=sin(2x+1｝则函数/(*的图象的对称轴方程为()

、冗.r$71.)

A.X=K7T---,keZB.X=K7V+—.KGZ

44

I,,„1,71.„

C.x=-k九keZD.x=-k7r+—,KeZ

224

10.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面

各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至

少是()

A.8B.7C.6D.4

,ABAC、

11.0是平面上的一定点，A,优C是平面上不共线的三点，动点。满足OP=Q4+4(―---+--—

ABcos8AC?cosC

^e(0,oo),则动点尸的轨迹一定经过MBC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

12.记等差数列｛〃〃｝的公差为d,前〃项和为S〃.若与=40,缘=5,则()

A.d=3B.〃i0=12C.520=280D.《=-4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+y-2<0

13.设x、>满足约束条件,x—y+220,若z=2x+y的最小值是一1,则〃?的值为.

y+727>0

14.满足约束条件IxI+21)，|W2的目标函数z=y-R的最小值是.

15.已知实数且/—。二8一/由土的最大值是________

2ab

16.若曲线/(九)=。/一Inx(其中常数。。0)在点(l,,f(D)处的切线的斜率为1,则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

222

17.(12分)己知x>0,y>0,z>0,.r+y+z=\f证明：

⑴(x+y)2+()，+z)2+&+z)2,,4；

(2)—H—I—>1+2Jxy+2Jxz+2Jyz.

xyz

18.(12分)已知函数f(x)=|x+a|+|2x-l|(aeR).

(1)a=—1时，求不等式/(x)工2解集;

(2)若f(x)<2x的解集包含于g,3,求。的取值范围.

22

19.(12分)如图，设椭圆G：^+4=1(«>^>0)^长轴的右端点与抛物线。2：丁=84的焦点尸重合，且椭

a"b~

(II)过/作直线/交抛物线G于A，B两点,过尸且与直线/垂直的直线交椭圆G于另一点C，求AABC面积的

最小值，以及取到最小值时直线/的方程.

20.(12分)已知/(x)=e'-〃a.

(1)若曲线>=lnx在点(/,2)处的切线也与曲线y=/(x)相切，求实数〃?的值；

(2)试讨论函数/a)零点的个数.

21.(12分)已知集合4={1,2,・•,,〃},〃£N*，n>2f将4的所有子集任意排列，得到一个有序集合组

(加|,加2，-，加,〃)，其中m=2”.记集合中元素的个数为4,keN*,k<m,规定空集中元素的个数为0.

(1)当〃=2时，求<+生+…+品的值；

(2)利用数学归纳法证明：不论〃(〃之2)为何值，总存在有序集合组(陷,满足任意注M,区〃L1,

都有㈤一a+J=i.

22.(10分)在平面直角坐标系xQv中，直线4的倾斜角为30°,且经过点4(2,1).以坐标原点O为极点，x轴正半

轴为极轴建立极坐标系，直线，2：pcose=3,从原点O作射线交于点M,点N为射线OM上的点，满足

\OM\]ON\=\2f记点N的轨迹为曲线C.

(I)求出直线4的参数方程和曲线c的直角坐标方程；

(II)设直线4与曲线C交于P,Q两点，求的值.

参考答案

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

分析可得k<0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

22

当220时,等式"2+丫2=4伏|不是双曲线的方程；当k<0时，依2+尸=4|攵|=-4七可化为上——工二1,可得虚

-4fc4

半轴长〃=2，所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

2、D

【解析】

因为/(—x)=(—x+')cosx=—(x—')cosx=—/(x),故函数是奇函数，所以排除A,B；取，贝IJ

XX

f(乃)=(乃——)cos^=-(^--—)<0,故选D.

7171

考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

3、C

【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答

案.

【详解】

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话,

故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故

乙说谎，年纪最大的也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，

故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大

的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年

纪最大的是丙.

综上所述，年纪最大的是丙

故选：C.

【点睛】

本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理

能力，属于中档题.

4、D

【解析】

构造函数/(工)=叱，利用导数求得f(x)的单调区间，由此判断出的大小关系.

【详解】

依题意，得。=lng=孚，人=/=匣，。=等2=增.令/(工)=叱，所以/")=匕少.所以函数了⑴

3e88xx"

在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减.所以"*)].=f(e)=,=心且f(3)>/(8)，即所以〃>a>c.

e

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.

5、A

【解析】

由已知新运算a㊉b的意义就是取得a,b中的最小值，

/、、fl,x>0

因此函数/x=1㊉2]={,

[2,x<0

只有选项A中的图象符合要求，故选A.

6、A

【解析】

VU小/图=2濡兀f(x)=sin(2xq,再解不等式

=f\~=1，从而可得夕=

6

2k7r-—<2x+—<2k7r+—(kez)即可.

262

【详解】

由已知，/(x)niax=/氐=sin+^|=1

sin(e+?)=±l，e£(O,],所以8二弓，

/(x)=sin(2x+g,由2攵万一工《2工+巳二2攵乃+2(々£z),

V6J262

解得，k/r--<x<k;r+—(kez),

36

故选：A.

【点睛】

本题考查求正弦型函数的单调区间,涉及到恒成立问题,考查学生转化与化归的思想.是一道中档题.

7、C

【解析】

过P作PELBD于E,连接CE,易知CE_L3O,PE=CE,从而可证8。_1_平面PCE,进而可知

|Q

Vp_BCD=VB-PCE+VD_PCE=qSPCE,BD=qSPCE,当SpcE最大时，匕»_*/)取得最大值，取PC的中点尸，可得

EFVPC,再由spcE=gpCEF=dPE2-l,求出庄■的最大值即可.

【详解】

PB=BC

在和BCD中,\PD=CDf所以一BPDMBCD,则NPBD=NCBD,

BD=BD

过产作在:JLBD于E,连接CE,显然BPE%BCE,则CE_LBD,且PE=CE,

又因为PE'CE=Ef所以BO_L平面PCE,

।8

所以Vp-BCD=^B-PCE+VD-PCE=qS”cE'BD=—SJCE»

当S”E最大时，V$那°取得最大值，取PC的中点尸，则£F_LPC,

2

所以SPCE=^PCEF=>JPE-[,

因为04+。。=10,3。=8,所以点尸在以民。为焦点的椭圆上(不在左右顶点)，其中长轴长为10,焦距长为8,

所以77?的最大值为椭圆的短轴长的一半，故也最大值为庐方=3，

所以s”久最大值为2五，故匕一的最大值为?'2&=电1.

33

故选：C.

【点睛】

本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

8、C

【解析】

设2=。+〃,则5=。一勿•，利用z-5=0和2-5=9求得。，/?即可.

【详解】

设z=a+〃，则z=a-bi,

因为z—彳=0,贝ij（a+罚）一（〃一次）=2/»=（）,所以人二0,

又z•乞=9,即/=9,所以。=±3,

所以z=±3,

故选:C

【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用，考查共扼复数的应用.

9、C

【解析】

/（X）=COS2A-,将2x看成一个整体，结合）'=cosx的对称性即可得到答案.

【详解】

由已知，/（X）=cos2x,令2x=kjv,keZ,得工二,左肛左£2.

故选：C.

【点睛】

本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cos工的性质，是

一道容易题.

10、A

【解析】

则从下往上第二层正方体的楼长为：炉工=4公，从下往上第三层正方体的棱长为：J(2可+(2可=4,

从下往上第四层正方体的棱长为："百=2加，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形

中正方体的个数的最小值的求法.

【详解】

最底层正方体的棱长为8,

则从下往上第二层正方体的棱长为：巧不=4上，

从下往上第三层正方体的棱长为：J(2何+(2扃=4,

从下往上第四层正方体的棱长为：百=20，

从下往上第五层正方体的棱长为：J曲十曲=2,

从下往上第六层正方体的棱长为：肝丁二亚,

从下往上第七层正方体的棱长为：+(交］=1，

K2Jl2J

从下往上第八层正方体的棱长为：.『，［+(，丫=走，

丫⑴⑶2

・•・改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.

11、B

【解析】

解出人尸，计算AP3c并化简可得出结论.

【详解】

ABAC

----:---------+---------------

AP=OP-OA=^AB-cosBAC-cosC

AB.BCAC.BC

：.AP.BC=Z------------------d-----------------------=/1(-|BC|4-|BC|)=O,

AB-cosBAC-cosC

**•APIBC^即点P在4C边的岛上，即点尸的轨迹经过△A4C的垂心•

故选反

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP.BC是关键.

12、C

【解析】

由Ho=也吆业9=5（%+。6）=40,和4=5,可求得％=3,从而求得d和卬，再验证选项.

【详解】

因为九二（"+："）"°=5（%+4）=40,4=5,

所以解得出=3,

所以d二4一出二2,

所以=&+4"=5+8=13,4=iz5-4f/=3-8=—5,520=20q+190c/=-100+380-280,

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、前“项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>-1

【解析】

画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由z=2x+y得y=-2x+z,显然直线过A（-m—2T72）时，z最小,

代入求出〃2的值即可.

【详解】

x+y-2<0

作出不等式组<x-y+220所表示的可行域如下图所示：

y+/«>（）

2v+y'

v+m=O

-y+2=0\x=-m-2/、

联立•八,解得，则点A(-

y+〃z=O[y=-m

由z=24+)得y=—2x+z,显然当直线y=-2x+z过A(-加一2,-m)时，该直线V轴上的截距最小，此时z最小,

=,解得加=-1・

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题.

14、-2

【解析】

可行域|x|+21y区2是如图的菱形ABCD,

知4=0-2=_2为最小.

【解析】

将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值

【详解】

1又实数。力之］,图形为［圆,

由a2一〃=化简得a——

2+6224

a=b-b2,可得。2=。+人一〃2,b2=a-^-b-a2

mii..b~ci~ci+b—(i~a+b—b.a,ba,

Q+14-------b=---------a-b+2

abahabab

由几何意义得2£,则夫［及-1,1+收］

—1,1+,为求最大值则当过点A或点月时。+〃取最小值，可得

a

M=72-1+1+V2-----—+2=-^+l

2222

所以M二生卜£1的最大值是述+1

b2

【点睛】

本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然

后求出最值问题，本题有一定难度。

2

16、­

【解析】

利用导数的几何意义，由/⑴=1解方程即可.

【详解】

2

由已知，f(x)=rzev,所以/⑴一1=1,解得“

xe

故答案为：一

e

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得"+yz+K,1,而(x+yl+U+zF+Cr+zf=2+2(Ay+)2+zx),,4,即得证;

(2)首先推导出x+y+z>1,再利用—।---H—=[—I---1■—(x2+y2+z2),展开即可得证.

xyz\xyzjx7

【详解】

222

证明：(1)•/x+y+z=\t

2xy+2yz+2.口，.I?+y2+y2+z2+z2+.r2=2(.r2+y2+z2)=2,

/.xy+yz+zx,,\t

(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=2(x：+y2+z?)+2(xy+yz+zx)=2+2(xy+yz+zr)„4(当且仅当x=y=z时

取等号).

(2)VX>0,y>0,Z>o,X24-/+z2=1,

(x+y+z)2=/+y2+z?+2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz+2yz>1,

/.x+y+z>1,

(x2+y2+z2)

xyz"yzj

)，2)，。

y~z~x~z~x~y~

=x+—+—+—+y+—+—+—+z

xxyyzz

/22\(z2X2

VX

=(x+)'+z)+-——I---+—十—>1+2yfxy+2\[xz+2yfyz,

Ixy)【XZ

—i--1—>1+2dxy+25/xz+2Jyz.

xyz

【点睛】

本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.

一4、「3一

18、(1)(―co,0](J—,+oo(2)—2,——

_5)L

【解析】

(1)代入。=-1可得11-1|+|2工一1|22对工分类讨论即可得不等式的解集；

⑵根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得lx+041再去绝对值即可得关于a的不等式组解不等式组即可

求得〃的取值范围

【详解】

（1）当〃=一1时，不等式/（幻之2可化为|工一1|十|2工一1|22,

①当xW，时，不等式为l—x+l—2x22,解得xWO；

2

②当!vx<l时，不等式为1—x+2x—1N2,无解；

2

4

③当时，不等式为x—l+2x—122,解得上2],

~4、

综上，原不等式的解集为（-8,0]11?+8.

（2）因为/"）42x的解集包含于1,3,

则不等式可化为1戈+。1+2工一142工，

即|x+a区1.解得一〃一1WxW—。+1,

由题意知〈2,解得—,

2

-«+1<3乙

3

所以实数。的取值范围是-2,一5.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.

19、（I）—+/=1；（II）AA8C面积的最小值为9,工=±且v+2.

4-2，

【解析】

（I）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的。，再由离心率可求得。，从而得〃值，得标准方程；

（II）设直线/方程为1=加丁+2,设A（为,％）,8（乙,），2），把直线方程代入抛物线方程，化为）'的一元二次方程，由

韦达定理得%十为，,）’2,由弦长公式得|A8|,同理求得C点的横坐标，于是可得|产将面积表示为参数的函数,

利用导数可求得最大值.

【详解】

三十二

（I）•・♦椭圆G；=1((7>〃>()),

a2b2

长轴的右端点与抛物线G：尸=8女的焦点尸重合,

••a=2^

又・・,椭圆G的离心率是立，・・・c=G，b=\f

2

工椭圆C1的标准方程为—+/=1.

4,

（II）过点尸（2,0）的直线/的方程设为工=①+2,设A&,y）,3（孙%），

x=my+2、

联立4、;得丁一8〃7)，-16=0,

y-8x

・••)'|+%=8"7，=-16,

：•|AB|=Jl+"＞小(1+%)2-4凶%=8(1+m2).

过/且与直线/垂直的直线设为y=-w(x-2),

y=-77i(x-2)

2

联立＜x,得(1+4＞卜2一]$加，+]6〃?2-4=0,

.o16〃r4，2(4"-1)

・・%+2=；与，故％__L,

1+4"04m2+1

22

/.ICFI=71+m1xc-xF\=-y——yj\+tn,

14〃广+1

A/WC面积S=占.|C/|=.(丁).Ji+m2.

21111W+l

.____i以3/16(4/-9产)

令J+济=f,则S=〃f)=72，/(。二(4产—3)2'

g9

令尸")=0,则“=一，即1+〃，=一时，AA5C面积最小，

44

即当加=±好时，AA8C面积的最小值为9,

2

此时直线/的方程为1=±告），+2.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困

难题.

20、(1)m=\-e~2(2)答案不唯一具体见解析

【解析】

(1)利用导数的几何意义，设切点的坐标(公，淖-"及。)，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一

条，从而得到方程组一"：''」再构造函数研究其最大值，进而求得〃?=1-"2；

[e^-x^=1

(2)对函数进行求导后得对〃2分三种情况进行一级讨论，即m<0,加=0,

〃7>0,结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.

【详解】

解：(1)曲线y=lnx在点々2,2)处的切线方程为y-2=-57cr-e?),即)，=[工+1.

夕e2

x

令切线与曲线/(x)=e-mx相切于点(王),*一〃/),则切线方程为y=(1一〃e"(x0-l),

eX|>-m=e~2

=1，

:.(机+"2)[[-m(机+e")]=[,

令加+«-2=z，则《l-lnE)=l,

记g")=r(l-lnr),g'Q)=l-(l+lnr)=-lnr

于是，g(力在OU)上单调递增，在上单调递减，

:.g。)1[1僦=g(l)=l,于是/=加+e2=1,m=1—e2•

(2)八幻="-〃?，

11

①当机<0时，(")>0恒成立，/。)在R上单调递增，且/(0)=1-相>0,〃_1)二”一1<0

m

:.函数fM在R上有且仅有一个零点；

②当〃?=()时，/(x)="在R上没有零点；

③当机>0时，令尸(x)>。，则即函数/*)的增区间是(In根,+8),

同理，减区间是，

:./(X)irin="7(1-Inm).

i)若0<〃2<e,则/(x)min=，〃(ITnm)>0,/(x)在R上没有零点；

ii)若巾=e,则/(x)=/一0有且仅有一个零点；

iii)若心e，则/“)min="z(l-】nM<0.

f(2Inin)=m~-2m\nin=m(in-21nm),

令h(ni)=m-2Inm,则"(〃?)=I-—,

m

・・・当〃时，以〃7)单调递增，h(m)>h(e)>0.

/.f(2Inm)=rn2-2mlnm=m(m-2\nm)>m(e-2)>0

又・・・/(0)=l>0,

在R上恰有两个零点，

综上所述，当OWmve时，函数没有零点；当机<0或〃?=e时，函数/(X)恰有一个零点；当〃?>e时，/(x)恰

有两个零点.

【点睛】

本题考杳导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究

函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个

端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.

21、(1)4;⑵证明见解析.

【解析】

(1)当〃=2时，集合A“共有2?=4个子集，即可求出结果；

(2)分类讨论，利用数学归纳法证明.

【详解】

(1)当〃=2时，集合