江苏省南通市海门中学2024-2025学年高二（上）数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏省南通市海门中学2024-2025学年高二（上）数学第16周阶段性训练模拟练习一．选择题（共5小题）1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→=a→A．−12a→+12b→2．已知线段AB的端点B在直线l：y＝﹣x+5上，端点A在圆C1：(x+1)2+y2=4上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线A．（﹣1，0） B．（1，4） C．（0，6） D．（﹣1，5）3．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如25=13+115，729=16+124+A．505 B．404 C．303 D．2024．在等差数列{an}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，…），则数列{Tn}（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项5．已知A，B为抛物线x2＝2py（p＞0）上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2π，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足D，则|CD|的最大值为（）A．2 B．2 C．22 D．

二．多选题（共6小题）（多选）6．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l与双曲线右支交于点P．若|PF1A．13−12 B．2 C．13+1（多选）7．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，AHA．CH→B．∀t∈[0，1]，都有CH→C．∃t∈[0，1]，使得DH→D．若平面α⊥CH，则直线CD与平面α所成的角大于π（多选）8．已知数列{an}满足a1=1A．当λ＝0时，数列{an}是等比数列 B．当λ＝﹣1时，数列{（﹣2）nan}是等差数列 C．当λ＝1时，数列{anD．数列{an}总存在最大项

（多选）9．已知等比数列{an}满足a1＝1，其前n项和Sn＝pan+1+r（n∈N*，p＞0）．（）A．数列{an}的公比为p B．数列{an}为递增数列 C．r＝﹣p﹣1 D．当p−14r取最小值时，an＝3（多选）10．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是（）A．d＞0 B．a1＜0 C．当n＝5时，Sn最小 D．Sn＞0时，n的最小值为8（多选）11．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段 B．A1F与BE是异面直线 C．A1F与D1E不可能平行 D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值三．填空题（共6小题）12．已知数列{an}满足an+2=an+1−an(n∈N∗)，且13．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若|AC|•|BD|≥|FC|•|FD|，则该圆的半径r的取值范围是．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为46，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交15．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则ab+1a+16．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与以坐标轴原点O为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点A（不同于点F1），与椭圆C17．定义：满足下列两个条件的有穷数列a1，a2，…，an（n＝2，3，4，…）为n阶“期待数列”．①a1+a2+a3+…+an＝0，②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝1．试写出一个3阶“期待数列”；若2021阶“期待数列”{an}是递增的等差数列，则a2021＝．四．解答题（共5小题）18．已知函数f(x)=log2x，从下列两个条件中选择一个使得数列{条件1：数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列；条件2：数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{f(an)an19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，点F为棱PD的中点，二面角D﹣FC﹣B的余弦值为66（1）求PD的长；（2）求异面直线BF与PA所成角的余弦值；（3）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值．20．已知数列{an}满足a1（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正实数a，使得不等式a1a1+1⋅21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x经过点A（1，2），直线l：y＝kx+b与抛物线C交于M，N两点．（1）若MN→=4OA（2）当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k，都有b＝mk+n（m，n为常数），求m+2n的值．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63．点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限．记△PF1F2的面积为S（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M，N，记△MF1F2和△NF1F2的面积分别为S1和S2．（ⅰ）求证：存在常数λ，使得1S（ⅱ）求S2﹣S1的最大值．

参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1=A=A1A=A1A=c→+=−1故选：A．2．【解答】解：设线段AB中点M（x，y），A（x1，y1），B（x2，﹣x2+5），由题意知：2x＝x2+x1，2y＝y1﹣x2+5，∴x1＝2x﹣x2，y1＝2y+x2﹣5，∵点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，∴（2x﹣x2+1）2+（2y+x2﹣5）2＝4，∵线段AB的中点M的轨迹方程为（x−x2−12）2+（y即曲线C2是以（x2−12若曲线C2与圆C1有两个公共点，则1＜|C1C2|＜3，即1＜(平方整理得，2＜x22﹣4x2+13＜18，即x22−4x故选：D．3．【解答】解：2=1=1=1=1=1所以x＝101，y＝202，z＝303满足题目x，y，z是以101为首项的等差数列，所以y+z＝505．故选：A．4．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d=a∴an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．由an＝2n﹣11＝0，得n=112，而n∈可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{Tn}有最大项，无最小项．故选：B．5．【解答】解：根据题意，2π=π(AB2)设|AF|＝a，|BF|＝b，过点A作AQ⊥l于Q，过点B作BP⊥l于P，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b，由勾股定理得，8＝a2+b2，∵|CD|所以|CD|≤2（当且仅当a＝b时，等号成立）．故选：A．二．多选题（共6小题）6．【解答】解：过F1的直线l与双曲线右支交于点P，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，当∠PF2F1＝120°时，由余弦定理有|PF1|2＝|PF2|2+|F2F1|2﹣2|PF2|F2F1|cos∠PF2F1，所以16a2＝4a2+4c2+4ac，可得e=c当∠F1PF2＝120°时，由余弦定理有|F2F1|2＝|PF2|2+|PF1|2﹣2|PF2|PF1|cos∠PF1F2，所以4c2＝16a2+4a2﹣2×2a×4a×（−12），整理得7a2＝c2，所以e故选：AD．7．【解答】解：由AH→=tAA1→，得CH→=CA→+AH→=CACH→•BD→=[（1﹣t）CA→+tCA1→]•BD→=（1﹣t）当H在A1点时，DH，B1C显然平行，所以DH→∥B平面α⊥CH，则CH→为平面α以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则H（1，0，t），C（0，1，0），D（0，0，0），所以CH→=（1，﹣1，t），设直线CD与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜CH→，CD→所以直线CD与平面α所成的角小于π4，故D故选：BC．8．【解答】解：数列{an}满足a1=1对于A，当λ＝0时，an=12an−1，∵∴数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列，故对于B，当λ＝﹣1时，an=12a∴2n∴数列{2nan}是等差数列，∴数列{（﹣2）nan}不是等差数列，故B错误；λ＝1时，an=12a{2nan}是等差数列，又2a1＝1，∴2n从而an−n由以上讨论知λ＝0时，{an}最大值是a1=1λ＝0时，2nan＝1+（n﹣1）×（﹣1）＝2﹣n，ann≥2时，an≤0，∴数列最大值为a1=1λ＝1时，an=n2n，an+1﹣a即an+1＜an（n≥2），a2＝a1，{an}有最大项12，故D故选：ACD．9．【解答】解：因为Sn＝pan+1+r，所以Sn﹣1＝pan+r（n≥2），所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝pan+1﹣pan，则pan+1＝（p+1）an（n≥2），所以an+1an当n＝1时，a1＝S1＝pa2+r，所以a2因为{an}为等比数列，又q=p+1p=1+1故选项A错误，选项B正确；所以q=p+1p=1−rp故选项C错误；p−1当且仅当p=14p，即p此时数列{an}的公比为q=p+1所以an＝3n﹣1，故选项D正确．故选：BD．10．【解答】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1+6d＝3（a1+4d），解得a1＝﹣3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A，B正确；因为Sn当n＝3或4时Sn最小，故C错误，令Sn=d2n2−7d2n＞0，解得n故选：ABD．11．【解答】解：如图，分别取线段BB1，B1C1的中点为M，N，连接A1M，MN，A1N，因为正方体AC1，易得MN∥AD1，MN⊄面D1AE，AD1⊂面D1AE，所以MN∥面D1AE，又A1M∥DE，A1M⊄面D1AE，D1E⊂面D1AE，所以A1M∥D1AE，又MN∩A1M＝M，所以平面A1MN∥平面D1AE，因为A1F与平面D1AE的垂线垂直，又A1F⊄D1AE，所以直线A1F与平面D1AE平行，所以A1F⊂面A1MN，点F是侧面BCC1B1内的动点，且面A1MN∩面BCC1B1＝MN，所以点F的轨迹为线段MN，故A正确；对于B，由异面直线判定可知，A1F与BE是异面直线，故B正确；对于C，当点F与点M重合时，直线A1F与直线D1E平行，故选项C错误；对于D，因为MN∥AD1，MN⊄面ABD1，AD1⊂面ABD1，所以MN∥面ABD1，则点F到平面ABD1的距离是定值，又三角形ABD1的面积是定值，所以三棱锥F﹣ABD1的体积为定值，故选项D正确；故选：ABD．三．填空题（共6小题）12．【解答】解：数列{an}满足an+2=an+1−an∴a3＝a2﹣a1＝3﹣2＝1，a4＝a3﹣a2＝1﹣3＝﹣2，a5＝a4﹣a3＝﹣2﹣1＝﹣3，a6＝a5﹣a4＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，a7＝a6﹣a5＝﹣1﹣（﹣3）＝2，a8＝a7﹣a6＝2﹣（﹣1）＝3，•••∴{an}是周期为6的周期数列，∵2022＝337×6，∴a2022＝a6＝﹣1．故答案为：﹣1．13．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x的焦的方程可得焦点F（2，0），设以F为圆心的圆的半径为r，可知|FC|＝|FD|＝r，|AC|＝|AF|﹣r，|BD|＝|BF|﹣r，设直线l的方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|＝x1+2，|BF|＝x2+2，联立x=my+2y2=8x，整理可得：y2可得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，x1+x2＝m（y1+y2）+4＝8m2+4，x1x2=(|AC|•|BD|≥|FC|•|FD|，即（|AF|﹣r）•（|BF|﹣r）≥r2，则r≤|AF|⋅|BF||AF|+|BF|=(x所以0＜r≤2，故答案为（0，2]．14．【解答】解：由已知可得kAB•kOD＝﹣1，所以kAB=−则直线BA的方程为：y﹣1＝﹣2（x﹣2），即y＝﹣2x+5，代入椭圆方程消去y整理可得：（b2+4a2）x2﹣20a2x+25a2﹣a2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），B（x2，y2），则x1+又由已知可得：2c＝46，所以c＝26，则a2＝b2+24，所以x1+所以y1y2＝（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）＝4x1x2﹣10（x1+x2）+25=121又由OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，所以49a2−a4+121a解得a2＝30或4（舍去），所以a2＝30，b2＝6，所以椭圆的方程为x2故答案为：x215．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝4，∴ab+1a+2b=ab+2a+b∴ab+1故答案为：4．16．【解答】解：∵F2A→=12(F2F1→∴F2A⊥F1B，∴F2A为线段F1B的垂直平分线，∴|F1F2|＝|F2B|，|F1B|＝2|F1A|，∵过F1的直线的倾斜角为30°，∴∠AF1F2＝30°，∴|F2A|＝2|F1F2|，∵F1，F2为椭圆C的焦点，∴|F1F2|＝2c，∴|F2B|＝2c且|F2A|＝c，∴|F1A|=(2c)2−∵点B在椭圆C上，∴|F1B|+|F2B|＝2a，∴|F2B|=2a−23c故答案为：3−117．【解答】解：第一空由条件①②直接构造即可．可构造12设等差数列{an}的公差为d，则a1于是a1+1010d＝0（1），即a1011＝0，由于{an}是递增的等差数列，且|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2021|＝1，则a1联立（1）（2）解得d=1因此a2021故答案为：12，0，−1四．解答题（共5小题）18．【解答】解：（1）若选择条件1：数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列，则f（an）＝4•2n﹣1＝2n+1，即log可得an=(2若选择条件2：数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列，则f（an）＝4+2（n﹣1）＝2n+2，即log可得an=(2)2n+2=(212∴数列{an}的通项公式为an（2）f(aTn12两式作差，可得1=1+1则Tn19．【解答】解：（1）取AB中点M，以D为坐标原点，分别以DM，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设FD＝a，则D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（3，1，0），A（3，﹣1，0），FC→=（0，2，﹣a），CB→设平面FBC的一个法向量为m→=（x，y，由m→⋅FC→=2y−az=0m→⋅CB取平面DFC的一个法向量为n→由题意，得|cos＜m→，n→＞|=因为点F为棱PD的中点，所以PD＝26；（2）BF→=（−3，﹣1，6），PA→=设异面直线BF与PA所成角为θ，则cosθ＝|cos＜BF→，PA→（3）由（1）知平面FBC的一个法向量为m→=（1，3，又AF→=（−3设直线AF与平面BCF所成角为α，则sinα=×20．【解答】解：（1）由an+1+an＝4n，假设其变形为an+1+λ（n+1）+μ＝﹣（an+λn+μ），则有−2λ=4−2μ−λ=0⇒λ=−2所以an+1﹣2（n+1）+1＝﹣（an﹣2n+1），又a1﹣2+1＝0．所以an﹣2n+1＝0，即an＝2n﹣1；（2）由（1）an所以a1令f(n)=1则f(n+1)=1所以f(n+1)f(n)=2n+12n+22n+3所以f(n)所以使得不等式a1a1则a2即a2因为a为正实数，所以a＞2321．【解答】解：（1）因为A（1，2），MN→=4OA→，所以kMN＝则直线l方程为y＝2x+b，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立y2=4xy=2x+b可得4x²+（4b﹣4）x则Δ＝（4b﹣4）²﹣16b²＞0，得b＜12，且x1+x2＝1﹣b，x1x因为MN→=4OA→，所以（x2﹣x1，y2所以x2﹣x1＝4，则（x2﹣x1）²＝（x2+x1）²﹣4x2x1＝16，所以（1﹣b）²﹣b²＝16，解得b=−15所以直线方程为y＝2x−152，即4x﹣2（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立y2=4xy=kx+b可得k²x²+（2kb﹣4）x则Δ＝（2kb﹣4）