湖南省长沙市华益中学2023-2024学年八上期末数学试题（解析版）

长沙市华益中学2023-2024学年度第一学期期末考试试卷八年级数学分值：120分时量：120分钟一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数据用科学记数法表示为．故选：A．3.下列各运算中，正确的运算是（）A. B.（2a）3＝8a3C.a8÷a4＝a2 D.（a﹣b）2＝a2﹣b2【答案】B【解析】【分析】分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式分析即可．【详解】解：A、∵与不是同类二次根式，∴与不能合并，故A错误；B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；C、按照同底数幂除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故D错误．综上，只有B正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加法运算及整式乘除法的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4.下列各式中是分式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分式的定义：一般的，如果，表示两个整式，并且F中含有字母，那么式子叫做分式，逐一判断即可解答．【详解】解：、是整式，不是分式，故不符合题意；、是整式，不是分式，故不符合题意；是整式，不是分式，故不符合题意；是分式，故符合题意；故选：．【点睛】本题考查了分式定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A.，不是最简二次根式，不合题意；B.，不是最简二次根式，不合题意；C.，不是最简二次根式，不合题意；D.，是最简二次根式，符合题意；故选择：D【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键．6.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A.等边对等角 B.等角对等边C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”【答案】D【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵，∴是等腰三角形，∵，∴，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．7.如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键．由尺规作图可知，，则，由，可得，即可得，在中，结合三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：由尺规作图可知，，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．8.满足下列条件的不是直角三角形的是（）A. B.C. D.，，【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的定义；根据勾股定理的逆定理、直角三角形的定义逐项判断即可．【详解】解：∵，∴最大，且，∴此三角形不是直角三角形；即选项A符合题意；∵，，∴，即；故选项B不符合题意；∵，∴设，∵，∴是直角三角形，且；故选项C不符合题意；∵，∴是直角三角形，且；故选项D不符合题意；故选：A．9.如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行和角平分线，推出均为等腰三角形，得到，进而得到，即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴；故选B．10.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解．【详解】解：连接，如图所示：点、、分别是、、的中点，，，为等边三角形，也是等边三角形，，，是的一个外角，，是的一个外角，，，在和中，，，同理，可得，，，，，，解得，故选：B．【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.比较大小：______3.【答案】＜【解析】【详解】∵0<7<9，∴，即<3，故答案为：<.12.要使二次根式有意义，则的取值范围是________．【答案】##【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．【详解】解：要使二次根式有意义，，解得，故答案为：．13.若，则______．【答案】4【解析】【分析】本题考查了同底数幂除法；由条件得，再由同底数幂的除法即可求解．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：4．14.若且，则分式的值为___________．【答案】1【解析】【分析】利用分式的减法运算将原式写成，即可得到结果．【详解】解：且，，，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．15.在中，，，，则___________．【答案】8【解析】【分析】根据直角三角形30度角的性质得到，再利用，得到，求出即可．【详解】解：在中，，，∴，∵，∴，解得，∴，故答案为：8．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．16.已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为______．【答案】24【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用．设直角三角形的两直角边分别是a、b（，且a、b均为正数），利用勾股定理和三角形的面积公式求得两直角边是6和8．然后由三角形的周长公式求得该直角三角形的周长．【详解】解：设直角三角形的两直角边分别是a、b（，且a、b均为正数），则，解得：，所以该直角三角形的周长是：．故答案为：24．三、解答题（本大题共9个大题，共72分）17.计算：【答案】【解析】【分析】根据绝对值的性质，负整数指数幂和零指数幂的运算法则，算术平方根的定义先化简，然后计算加减即可详解】解：==【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟记运算法则并灵活运用．18.先化简，再求值，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．详解】解：原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．19.如图，，分别是的中线和角平分线，．（1）若的面积是20，且，求的长．（2）若，求的度数．【答案】（1）10（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解；（2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出．【小问1详解】解：是的中线，．，的面积是20，且，，，；【小问2详解】是的中线，，，，．是的角平分线，．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．20.设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了______名学生，______%；（2）补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为______度；（3）若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？【答案】（1）（2）72（3）估计该校D级学生有320名【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，涉及求扇形统计图中相关量，补全条形统计图，及样本估计总体数量等知识．（1）根据B级的人数及占比即可求解一共抽取的学生数；根据A级的学生数与抽取的学生数的比即可求得的值；（2）由抽取的学生数及已知的A、B、D级人数可求得C级的人数，从而补全条形统计图；由C级的占比与周角度数之积即可求解；（3）由D级的占比与全校学生数之积即可求解．【小问1详解】解：（名），，故答案为：；【小问2详解】解：C级的学生数为：（名），补充的条形统计图如下：扇形统计图中C级对应的圆心角为，故答案为：72；【小问3详解】解：（名），即4000名学生中，估计该校D级学生有320名．21.如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．（1）连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）．①；②；③；④（2）当，______；（3）若，，P为上一动点，求的最小值．【答案】（1）④；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质：（1）连接、，证明，即可得出答案；（2）先求出，再根据全等三角形的性质得出，得出，进而得出答案；（3）过点G作于H，即为的最小值，先根据勾股定理求出，再根据角平分线的性质得出，设，则，求出，即可得出答案．【小问1详解】解：连接、，在和中，，∴，故选：④；【小问2详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴；【小问3详解】解：过点G作于H，即为的最小值，∵，，，∴，∵，，是的平分线，∴，设，则，∴，∴，∵P为上一动点，∴的最小值．22.在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元（2）购买吊兰的数量最多为17盆【解析】【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可；（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解．【小问1详解】解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：，解得：，经检验：当时，则，∴是原方程的解，∴，答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；【小问2详解】解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：，解得：，∵m是整数，∴m取最大值为17；答：购买吊兰的数量最多为17盆．【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键．23.如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，，求．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质及等角的补角相等即可证明；（2）由平行四边形的性质得，由（1）所证及，即可证明；（3）由（2）及已知得，，进而得；即可得；证明，则；过E作于G，分别在中由勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴；∵，，∴；【小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形∴，∴，由（1）知：，∵，∴；【小问3详解】解：∵，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴，∴；∵四边形是平行四边形∴，∴，∴；∵，∴，∴；如图，过E作于G，则，∴，；在中，，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，题目不难，灵活运用这些知识是关键．24.若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．（1）下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）；①3，4，5；②，，；③，1，；（2）若关于x的分式方程的解与关于y的方程的解与1构成“快乐三数组”，求m的值；（3）如图，在四边形中，，，连接对角线，若的长为c，的两条邻边长分别为a，b，若，b，构成“快乐三数组”，且，求的长．【答案】（1）②③（2）或或（3）【解析】【分析】本题以新定义题型为背景，考查了分式方程、一元一次方程的求解，以及三角形的三边关系和勾股定理，准确的计算是解题关键；（1）利用定义进行验证即可判断；（2）分别求解分式方程和方程，分类讨论，三种情况即可求解；（3）由题意得，根据可得,；结合即可求解．小问1详解】解：∵，，，∴②③是“快乐三数组”，故答案为：②③；【小问2详解】解：解分式方程：，解得：，解方程：