9.4.2 矩形的判定 习题练

第9章中心对称图形——平行四边形矩形的判定9.4.2C12345B67答案呈现温馨提示：点击进入讲评C8DC97或171011C1213[2023·安徽六安叶集区月考]如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是(

)A．AB＝BC

B．AC⊥BDC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠21C如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为(

)A．3B．4C．5D．122B如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_____________________．3∠A＝90°(答案不唯一)【点拨】由题意可知四边形ABCD为平行四边形，结合图形可知需添加的条件为∠A＝90°或AB⊥BC等．[2023·岳阳]如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．(1)你添加的条件是_______________(填序号)；4①(答案不唯一)(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BM＝CM，∴∠3＝∠4.∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠DCB.∵∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝90°.∴▱ABCD为矩形．5[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(

)A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等【点拨】A.根据两条对角线相等不能判定四边形为平行四边形，更不可能判定其为矩形；B.根据两个角为直角不能判定四边形为矩形；C.根据两条对角线相等且互相平分可以判定四边形为矩形；D.根据两组对边分别相等可以判定四边形为平行四边形，但不能判定其为矩形．故选C.【答案】C[2022·陕西]在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是(

)A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AB＝ACD．AC＝BD6【点拨】∵在▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴D选项符合题意．【答案】D如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，下列说法错误的是(

)A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度B．CE＝FGC．线段CD的长度就是l1与l2之间的距离D．AC＝BD7C设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于________cm.87或17[2023·上海]在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(

)A．AB∥CD

B．AD＝BCC．∠A＝∠B

D．∠A＝∠D9【点拨】∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°.∴AB⊥AD，AB⊥BC.∴AB的长为AD与BC间的距离．∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC.∴∠C＝∠D＝90°.∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意．【答案】C[2023·内江]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.10(1)求证：FA＝BD；【证明】∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝BD.(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．【证明】∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形ADBF是矩形．[2022·巴中]如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG，DE，FG.11(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【证明】∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∴DC＝CF.又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形．∵BE＝CE＝CG，∴BC＝EG.又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴四边形DEFG是矩形．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．12(1)求证：BE＝DF；如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.13(1)求证：OE＝OF；【证明】如图所示．∵MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当点O运动到AC的中点时，A