9.4 第1课时 完全平方公式 习题练

苏科版七年级下9.4.1乘法公式

完全平方公式第九章整式乘法与因式分解答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接123456781011912CAADC习题链接温馨提示：点击进入讲评13完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2的特点：1.左边是两数或式子的和(或差)的平方.2.右边是这两个数或式子的平方和，再加上(或减去)两数或

式子乘积的2倍，可简记为“首平方，尾平方，首尾2倍在

中央”.知识点1

完全平方公式的特征1.[2023·张家界]下列运算正确的是(

C

)A.(x＋2)2＝x2＋4B.a2·a4＝a8C.(2x3)2＝4x6D.2x2＋3x2＝5x4C2.[2023·长沙]下列计算正确的是(

A

)A.x2·x3＝x5B.(x3)3＝x6C.x(x＋1)＝x2＋1D.(2a－1)2＝4a2－1A3.[2022·百色]如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列

公式中与之相对应的是(

A

)A.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2D.(ab)2＝a2b2A【点拨】由题图可知，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，

由1个边长为a的正方形，2个长为a，宽为b的长方形和1个边

长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.知识点2

完全平方公式的应用4.

(2022·滨州母题·教材P90复习题T9)若m＋n＝10，mn＝

5，则m2＋n2的值为

⁠.【点拨】

熟练掌握完全平方公式(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，将mn＝5，m＋n＝10代入即可得解.90

5.[2023·凉山州]已知y2－my＋1是完全平方式，则m的值

是

⁠.【点拨】

因为y2－my＋1是完全平方式，所以－my＝±2y，所以－m＝－2或－m＝2，所以m＝±2.±2

(2)1012＋992；【解】原式＝(100＋1)2＋(100－1)2＝1002＋200＋1＋1002－200＋1＝2×1002＋2＝20002.(3)x(x＋2)＋(x＋1)2－4x.原式＝x2＋2x＋x2＋2x＋1－4x＝2x2＋1.7.(1)[2023·赤峰]已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a

－1)2的值是(

D

)A.6B.－5C.－3D.4D＝8a2－4a－9＋1＝8a2－4a－8＝4(2a2－a)－8＝4×3－8＝4.【点拨】因为2a2－a－3＝0，所以2a2－a＝3，所以原式＝(2a)2－6a＋6a－32＋(2a)2－4a＋1＝2×(2a)2－4a－32＋1

【解】原式＝a2－3ab＋3ab－(3b)2＋(a2－6ab＋9b2)＝a2－9b2＋a2－6ab＋9b2＝2a2－6ab.

(2)若a＝2022，b＝2023，c＝2024，你能很快求出a2＋b2＋

c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值.

易错点对完全平方公式的特征理解不透而致错9.(母题：教材P90复习题T9)

已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，

则ab＝(

C

)A.24B.48C.12D.以上都不正确【点拨】易忽视ab项的系数为2，导致错选A.C

利用整体思想求式子的值

【点拨】

5

【点拨】

47

利用构建完全平方公式模型求值

【点拨】

因为x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，所以(x＋2)2＋(y－4)2＝0，所以x＋2＝0，y－4＝0，

－2

(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，则x＋2y＝

⁠；【点拨】因为x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，所以(x－y)2＋(y＋1)2＝

0，所以x－y＝0，y＋1＝0，所以y＝－1，x＝－1.所以x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.－3

(3)试说明：不论x，y取什么值，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的

值总是正数；

【解】x2＋y2－2x＋2y＋3＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1.因为(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，所以(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.所以不论x，y取什么值，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是

正数.(4)已知a，b，c是不等边三角形ABC的三边长，满足a2＋

b2＝10a＋8b－41，且c是三角形ABC的最大边长，求

c的取值范围.【解】因为a2＋b2＝10a＋8b－41，所以a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0.所以(a－5)2＋(b－4)2＝0.所以a－5＝0，b－4＝0.所以a＝5，b＝4.又因为三角形ABC为不等边三角形且c是最大边长，所以c的

取值范围为5＜c＜9.

利用乘法公式验证探究结论12.[2022·河北]发现两个已知正整数之和与这两个正整数之

差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两

个正整数的平方和.验证如(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示

为两个正整数的平方和.【解】10的一半为5，5＝1＋4＝12＋22.【解】(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2m2＋2n2＝2(m2＋n2)，则该偶数的一半为m2＋n2.故两个已知正整数m，n的和与其差的平方和一定是偶

数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请说明

“发现”中的结论正确.

利用数形结合思想探求面积的大小13.

［2023·河北

新考法•以形助数法］现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图①(a＞1).某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙)，如图②和图③，其面积分别为S1，S2.(1)请用含a的式子分别表示S1，S2；当a＝2时，求S1＋S2

的值；【解】S1＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2，S2＝(5a＋1)×1＝5a＋1.当