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文档简介

2025届赤峰市重点中学高三下学期联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}2.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()A. B. C. D.3.在中,,,,则边上的高为()A. B.2 C. D.4.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度5.已知向量,,且与的夹角为,则()A. B.1 C.或1 D.或96.已知集合,,若,则()A.或 B.或 C.或 D.或7.在平面直角坐标系中,经过点,渐近线方程为的双曲线的标准方程为()A. B. C. D.8.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()A.3 B. C. D.9.在长方体中,,则直线与平面所成角的余弦值为()A. B. C. D.10.设是虚数单位,则()A. B. C. D.11.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④12.复数满足,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某市高三理科学生有名,在一次调研测试中,数学成绩服从正态分布,已知,若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析,则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.14.已知实数满约束条件,则的最大值为___________.15.如图,己知半圆的直径,点是弦(包含端点,)上的动点,点在弧上.若是等边三角形,且满足,则的最小值为___________.16.已知函数,则曲线在点处的切线方程为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.18.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用元,设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列.19.(12分)已知函数.(1)若是函数的极值点,求的单调区间;(2)当时,证明:20.(12分)已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点,过点的直线交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.21.(12分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.22.(10分)已知函数(1)解不等式;(2)若均为正实数,且满足,为的最小值,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.【点睛】本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.2、B【解析】

利用等差数列的性质求出的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题.3、C【解析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,求得边长,由此求得边上的高.【详解】过作,交的延长线于.由于,所以为钝角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即边上的高为.故选:C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,属于中档题.4、C【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.5、C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式,求的值.【详解】解:由题意可得,求得,或,故选:C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式,属于基础题.6、B【解析】

因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B.7、B【解析】

根据所求双曲线的渐近线方程为,可设所求双曲线的标准方程为k.再把点代入,求得k的值,可得要求的双曲线的方程.【详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k.又在双曲线上,则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为故选:B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程,双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于基础题.8、B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,,所以,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.9、C【解析】

在长方体中,得与平面交于,过做于,可证平面,可得为所求解的角,解,即可求出结论.【详解】在长方体中,平面即为平面,过做于,平面,平面,平面,为与平面所成角,在,,直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要体现“做”“证”“算”,三步骤缺一不可,属于基础题.10、A【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘法运算,考查计算能力,属于基础题.11、D【解析】

因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.12、C【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解:,故选:C【点睛】本题考查复数除法运算,考查复数的模,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率,乘以可得.【详解】解:,所以应从分以上的试卷中抽取份.故答案为:.【点睛】本题考查正态分布曲线,属于基础题.14、8【解析】

画出可行域和目标函数,根据平移计算得到答案.【详解】根据约束条件,画出可行域,图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距,由图可知当经过点时截距最大,故的最大值为8.故答案为:.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.15、1【解析】

建系,设,表示出点坐标,则,根据的范围得出答案.【详解】解:以为原点建立平面坐标系如图所示:则,,,,设,则,,,,,,,显然当取得最大值4时,取得最小值1.故答案为:1.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算,坐标运算,属于中档题.16、【解析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率,利用点斜式求切线方程.【详解】因为,所以,又故切线方程为,整理为,故答案为:【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;(3)证明见解析.【解析】

(1)当时,,求得其导函数,,可求得函数的图象在处的切线方程;(2)由已知得,得出导函数,并得出导函数取得正负的区间,可得出函数的单调性;(3)当时,,,由(2)得的单调区间,以当方程有两个不相等的实数根,不妨设,且有,,构造函数,分析其导函数的正负得出函数的单调性,得出其最值,所证的不等式可得证.【详解】(1)当时,,所以,,所以函数的图象在处的切线方程为,即;(2)由已知得,,令,得,所以当时,,当时,,所以在上是减函数,在上是增函数;(3)当时,,,由(2)得在上单调递减,在单调递增,所以,且时,,当时,,,所以当方程有两个不相等的实数根,不妨设,且有,,构造函数,则,当时,所以,在上单调递减,且,,由,在上单调递增,.所以.【点睛】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程,讨论函数的单调性,以及证明不等式,关键在于构造适当的函数,得出其导函数的正负,得出所构造的函数的单调性,属于难度题.18、(1);(2)见解析.【解析】

(1)利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率;(2)由题意可知随机变量的可能取值有、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,由此可得出随机变量的分布列.【详解】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件,则;(2)由题意可知,随机变量的可能取值为、、.则,,.故的分布列为【点睛】本题考查概率的计算,同时也考查了随机变量分布列,考查计算能力,属于基础题.19、(1)递减区间为(-1,0),递增区间为(2)见解析【解析】

(1)根据函数解析式,先求得导函数,由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域,并根据导函数的符号即可判断单调区间.(2)当时,.代入函数解析式放缩为,代入证明的不等式可化为,构造函数,并求得,由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函数的最小值,由对数式变形化简可证明,即成立,原不等式得证.【详解】(1)函数可求得,则解得所以,定义域为,在单调递增,而,∴当时,,单调递减,当时,,单调递增,此时是函数的极小值点,的递减区间为,递增区间为(2)证明:当时,,因此要证当时,,只需证明,即令,则,在是单调递增,而,∴存在唯一的,使得,当,单调递减,当,单调递增,因此当时,函数取得最小值,,,故,从而,即,结论成立.【点睛】本题考查了由函数极值求参数,并根据导数判断函数的单调区间,利用导数证明不等式恒成立,构造函数法的综合应用,属于难题.20、(1);(2)是,定点坐标为或【解析】

(1)根据相切得到,根据离心率得到,得到椭圆方程.(2)设直线的方程为,点、的坐标分别为,,联立方程得到,,计算点的坐标为,点的坐标为,圆的方程可化为,得到答案.【详解】(1)根据题意:,因为,所以,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,点、的坐标分别为,,把直线的方程代入椭圆方程化简得到,所以,,所以,,因为直线的斜率,所以直线的方程,所以点的坐标为,同理,点的坐标为,故以为直径的圆的方程为,又因为,,所以圆的方程可化为,令,则有,所以定点坐标为或.【点睛】本题考查了椭圆方程,圆过定点问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、(1)证明见解析,;(2)证明见解析【解析】

(1)由,作差得到,进一步得到,再作差即可得到,从而使问题得到解决;(2),求和即可.【详解】(1),,两式相减:①用换,得②②—①,得,即,所

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