锐角三角函数的应用（原卷版）2024-2025学年九年级数学上学期复习讲义（下册）（人教版）

20242025学年九年级数学上学期同步复习讲义（下册）（人教版）锐角三角函数的应用教学目标1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；2、掌握特殊角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数的运算式；3、会运用锐角三角函数解直角三角形。教学重难点重点：特殊角的三角函数值、解直角三角形；难点：通过做高线构造直角三角形。教学内容锐角三角函数的应用锐角三角函数的应用知识点一：锐角三角函数的应用1、仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图（1）；2、坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图（2）；3、方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图（3）。考点一：与仰角、俯角有关的实际问题【例1】如图，建筑物AB后有一座小山，∠DCF=30°，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离BC=25米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE=20米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为48°．求建筑物AB的高（精确到0.1m）．（参考数据：3≈1.7，sin48°≈0.7，cos48°≈0.6，tan48°≈1.1，sin

【变式训练1】河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社闭的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，CD是嵩岳寺塔附近不远处的某建筑物，他们在建筑物CD底端D处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端B的仰角为60°，在建筑物CD顶端C处利用测角仪测得嵩岳寺塔底端A的俯角为35°，已知建筑物CD的高为15米，AB⊥AD，CD⊥AD，点A，D在同一水平线上，求嵩岳寺塔AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin

【变式训练2】某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD，如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα=3，MC=60

（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3考点二：与坡角、坡比有关的应用问题【例2】如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示:引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长.（结果精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）【变式训练1】如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i=1:2，斜坡AB的长为65m，斜坡的高度为AHAH⊥BC，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°

（1）求车库的高度AH；（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97【变式训练2】如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求古塔的高度。考点三：与方位角有关的实际问题【例3】如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，【变式训练1】如图所示，A、B两城市相距200km．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）【变式训练2】小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）考点四：解直角三角形的应用之实物建模问题【例4】如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的

（1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；（2）如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：sin53°≈45，cos

【变式训练1】我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）【变式训练2】某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：测量项目测量数据从A处测得路灯顶部P的仰角αα＝58°从D处测得路灯顶部P的仰角ββ＝31°测角仪到地面的距离AB＝DC＝1.6m两次测量时测角仪之间的水平距离BC＝2m计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）1、交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7m，测速仪C和E之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）2、下图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP

（1）求∠PMB的度数；（2）测温时规定枪身端点，A与额头距离范围为3~5cm，若测得∠BMN=68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点（参考数据：sin66.4°≈0.92,3、如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1:0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′

4、如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，求小岛P离观测点B的距离．5、图①是一种平板支架，由托板、支撑板和底座构成，放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）6、钓鱼是修身养性的户外休闲运动，闲暇之余，流连于江河湖泊之间，鸟语花香，玉树葱葱，享受大自然，怡然自乐…，“劝君莫食三月鲫，万千鱼仔鱼腹中”，钓鱼是一种心情，钓获放流是一种境界！如图一静待鲤鱼上钩：AB是鱼竿，BC、CD是鱼线，EH是水面，点B、点C分别在矩形EFDH的一组邻边上，AF⊥EH，AB＝8米，AF＝7米，C