超几何分布课件高二下学期数学人教A版选择性

7.4.2超几何分布复习引入1.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有(2)二项分布的均值与方差追问1：如果采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4,0.08).探究一：超几何分布及其分布列问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.追问2：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布?如果不服从，那么X的分布列是什么?采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知,X的取值为0,1,2,3,4.

从100件产品中任取4件,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有k件次品的结果数为.由古典概型的知识，得X的分布列为由古典概型的知识，得X的分布列为X的分布列如下表X01234P计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示：X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002超几何分布不考虑抽取次序,即一次性取出4件产品,次品数X的分布列为:P(X=k)=解：没有影响.考虑抽取次序,即逐个不放回取出4件产品,次品数X的分布列为:思考:计算结果数时,考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序,对分布列的计算有影响吗？为什么？所以,是否考虑抽取的次序,对分布列的计算没有影响.P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.=

,k=0,1,2,3,4.

采用不放回抽样问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为超几何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.归纳总结超几何分布的三个特征：①总体中含有两类不同的个体

如“男生、女生”，“正品、次品”;②不放回抽样;③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.9例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.解:设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1),则X服从超几何分布,且N=50,M=1,n=5.因此甲被选中的概率为P(X=1)=例题课本P78容易发现,每个人被选中的概率都是.这个结论非常直观,这里给出了严格的推导.解：设抽取的这2罐中有X罐有奖券,则X服从超几何分布,且N=24,M=4,n=2.1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券,每张奖券奖励饮料一罐,从中任意抽取2罐,求这2罐中有奖券的概率.∴P有奖券=P(X=1)+P(X=2)练习课本P802.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰好有2名同学被选到的概率.解:设甲班恰有X人被选到,则X服从超几何分布,且N=12,M=4,n=4.P(X=2)=甲班恰好有2名同学被选到的概率是课本P80例2：

一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.≈0.7192.解：设抽取的10个零件中不合格品数为X,则X服从超几何分布,且N=30,M=3,n=10.X的分布列为至少有1件不合格的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)也可以按如下方法求解：≈0.7192.(直接法)(间接法)P(X=k)

=,k=0,1,2,3.P(X≥1)=1-P(X=0)=1-例题课本P7813解:设甲班恰有X人被选到,则X服从超几何分布,且N=12,M=4,n=4.甲班至多有1名同学被选到的概率是P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)练习课本P80学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班至多有1名同学被选到的概率.设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.实际上,令m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},由随机变量均值的定义：E(X)==M令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,我们猜想E()=p,即E(X)=np.探究二：超几何分布的均值探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么?因为当m>0时,E(X)==M因为

所以=np.E(X)=当m=0时，类似可以证明结论依然成立.若随机变量X服从超几何分布，则有归纳总结(p为N件产品的次品率).例3：一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.例题分析:因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，X～B(20，0.4);而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立,X服从超几何分布.课本P79解：(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列为对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,X服从超几何分布,X的分布列为(2)利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值(精确到0.00001),如表所示.有放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.不放回摸球:P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.故在相同误差限制下,采用不放回摸球估计的结果更可靠些.样本中黄球的比例

f20=是一个随机变量,根据表中数据计算得|f20-0.4|≤0.1

6≤X≤10.

19两种摸球方式下,随机变量X分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值(都是8),但从两种分布的概率分布图(如下图)看,超几何分布更集中在均值附近.二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品

中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影很小，此时

，超几何分布可以用二项分布近似.超几何分布二项分布试验类型

抽样

抽样试验种数有

种物品有

种结果总体个数

个

个随机变量取值的概率利用

计算利用

计算联系当

时，超几何分布

二项分布不放回放回两两有限无限古典概型独立重复试验总体N很大近似超几何分布与二项分布的联系与区别：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列与均值；(2)求所选3人中至多有1名女生的概率.解：(1)由题意可知，X服从超几何分布，所以X分布列为所得金额的均值为(2)所选3人中至多有1名女生的概率为练习1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（

）A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量XD.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X随堂检测解析：依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.2.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于

的是（

）A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X＝1) D.P(X＝2)解析：本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率.3.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则P(X≥8)＝____.4.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；解：设抽到他能背诵的课文的数量为X，X的可能取值为0,1,2,3，且服从超几何分布，所以X的分布列为(2)他能及格的概率.29一