工科数学分析 上册（第2版）课件：常微分方程的应用

《工科数学分析》常微分方程的应用应用范围几何：求曲线的形状；探照灯反光镜的

设计；物理：运动轨迹方程；衰变问题；

物体的冷却问题；落体问题；发射问题；

自由振动问题；其他领域：生物，医学，生态，经济，

保险，战争，人口控制与预测等等。用常微分方程求解实际问题的一般步骤建立微分方程，并确定初始条件；求出微分方程的解；对所的结果进行分析，解释它的实际意义。如果它与实际相差甚远，则应修改模型，并重新求解。比如借助常见的物理规律，如：热力学中的牛顿（Newton）冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例。如：电路的基尔霍夫（Kirchhoff）第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和为零。及问题的几何意义、已知条件……解解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需建立微分方程，除了直接利用问题的几何意义、物理意义之外，和定积分的应用一样，我们还可以利用微元法建立微分方程，其基本思想为：例4我舰艇发射核弹攻击航母，核弹头始终对航母，设航母沿y轴正向以匀速v行驶，核弹速度5v,设核弹由x轴点(a,0)处发射时，航母位于原点，求核弹的轨迹。解

设核弹轨迹y=y(x).当核弹位于P点时，航母位于B(0,vt),从而又曲线段PA的长度为由上面两式消去t，得上式两端对x求导，有这是一个不显含y的方程，即可降阶求解。例5

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解水从孔口流出的速率满足托里拆利定律。流量系数孔口截面面积重力加速度取V为体积，则在时间间隔在重力作用下，液体从储水罐开口处流出的速度与从开口中心位置到液面的垂直高度的平方根、以及重力加速度的二倍的平方根成正比.-----托里拆利定律(Torricelli’slaw)流量系数viscosity(internalfriction)shapeoftheoutlet/mechanics/gases-and-liquids/discharge-outflow-liquid-speed-torricellis-law/

而在水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:即为未知函数的微分方程.所求规律为可分离变量解例6则由牛顿第二定律ma=F得解此方程得代入上式得例7

抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图得微分方程由AD﹒﹒﹒分离变量积分得,平方化简得抛物线解受力分析由于将平衡位置取为原点，重力与一部分弹性恢复力相抵消，故不再考虑重力。它不包括在平衡位置时与重力相抵消的那一部分弹性力。物体自由振动的微分方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程力学系统的“电模拟”例9物质A与物质B化合生成新物质X,设反应过程不可逆，在反应初始时刻A，B，X的量为a,b,0,在反应过程中，A，B失去的量为X生成的量，并且在X中所含A与B的比例为，已知X量x的增长率与A,B的剩余量的乘积成正比，比例系数为k>0,求反应过程开始后t时刻生成物X的量x与时间t的关系。解

t时刻X中A,B的量分别为于是A，B的剩余量分别为又由于X的量x的增长率为，从而例10（物体冷却问题）将一个100℃的物体放在室温20℃的房间内，经过20分钟后，测量物体的温度，已降为60℃，问还需要多长时间物体的温度才能降为30℃？解据牛顿冷却定律：物体冷却速率正比于物体与周边环境的温差。℃例11例12：