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文档简介

辽宁省东北育才、实验中学2025届高三第二次调研数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数为纯虚数,则()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.3.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.4.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为()A. B.C. D.5.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是()A. B. C. D.6.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()A.-2 B.-4 C.3 D.-37.函数的大致图象是A. B. C. D.8.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.649.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()A. B. C. D.10.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣1211.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变12.已知数列的前n项和为,,且对于任意,满足,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.不等式对于定义域内的任意恒成立,则的取值范围为__________.14.已知数列满足对任意,若,则数列的通项公式________.15.已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的焦距为2c,过C外一点P(c,2c)作线段PF1,PF2分别交椭圆C于点A、B,若|PA|=|AF1|,则_____.16.已知,,求____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前项和为,且满足,各项均为正数的等比数列满足(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和18.(12分)如图,四棱锥中,四边形是矩形,,为正三角形,且平面平面,、分别为、的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函数,.(1)当时,讨论函数的零点个数;(2)若在上单调递增,且求c的最大值.20.(12分)在中,角所对的边分别是,且.(1)求角的大小;(2)若,求边长.21.(12分)设函数,.(1)解不等式;(2)若对任意的实数恒成立,求的取值范围.22.(10分)选修4-5:不等式选讲已知函数(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)对及,不等式恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

复数为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出,即得.【详解】∵为纯虚数,∴,解得..故选:.【点睛】本题考查复数的分类,属于基础题.2、D【解析】

可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.3、B【解析】

由题意画出图形,设球0得半径为R,AB=x,AC=y,由球0的表面积为20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球的半径为,,,由,得.如图:设三角形的外心为,连接,,,可得,则.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.则三棱锥的体积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积,基本不等式等基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.4、A【解析】

点的坐标为,,展开利用均值不等式得到最值,将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,因为,,所以,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,此时的外接圆面积取最小值,点的坐标为,代入可得,.所以双曲线的方程为.故选:【点睛】本题考查了求双曲线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.5、A【解析】

根据题意,五人分成四组,先求出两人组成一组的所有可能的分组种数,再将甲乙组成一组的情况,即可求出概率.【详解】五人分成四组,先选出两人组成一组,剩下的人各自成一组,所有可能的分组共有种,甲和乙分在同一组,则其余三人各自成一组,只有一种分法,与场地无关,故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选:A.【点睛】本题考查组合的应用和概率的计算,属于基础题.6、D【解析】

设,,设:,联立方程得到,计算得到答案.【详解】设,,故.易知直线斜率不为,设:,联立方程,得到,故,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积,设直线为可以简化运算,是解题的关键.7、A【解析】

利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数,可排除B选项;当时,,可排除D选项;当时,,当时,,即,可排除C选项,故选:A【点睛】本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题.8、B【解析】

根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.9、B【解析】函数(为辅助角)∴函数的最大值为,最小正周期为故选B10、D【解析】

分别联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理,可得,,然后计算,可得结果.【详解】设,联立则,因为直线经过C的焦点,所以.同理可得,所以故选:D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题,运用抛物线的焦点弦求参数,属基础题。11、D【解析】

由函数的图象关于直线对称,得,进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称,得,即,解得,所以,,故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度,得再将横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得”即可.故选:D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查图像变换,考查运算求解能力,是中档题12、D【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可.【详解】当时,.所以数列从第2项起为等差数列,,所以,,.,,.故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据题意,分离参数,转化为只对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,利用放缩法,得出,化简后得出,即可得出的取值范围.【详解】解:已知对于定义域内的任意恒成立,即对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,,,当时取等号,由可知,,当时取等号,,当有解时,令,则,在上单调递增,又,,使得,,则,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值,解决恒成立问题求参数值,涉及分离参数法和放缩法,考查转化能力和计算能力.14、【解析】

由可得,利用等比数列的通项公式可得,再利用累加法求和与等比数列的求和公式,即可得出结论.【详解】由,得,数列是等比数列,首项为2,公比为2,,,,,满足上式,.故答案为:.【点睛】本题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属于中档题.15、【解析】

根据条件可得判断OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,从而得到点A为椭圆上顶点,则有b=c,解出B的坐标即可得到比值.【详解】因为|PA|=|AF1|,所以点A是线段PF1的中点,又因为点O为线段F1F2的中点,所以OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因为点P(c,2c),所以PF2⊥x轴,则|PF2|=2c,所以OA⊥x轴,则点A为椭圆上顶点,所以|OA|=b,则2b=2c,所以b=c,ac,设B(c,m)(m>0),则,解得mc,所以|BF2|c,则.故答案为:2.【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查直线位置关系的判断,方程思想,属于中档题.16、【解析】

求出向量的坐标,然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.【详解】,,,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)由化为,利用数列的通项公式和前n项和的关系,得到是首项为,公差为的等差数列求解.(2)由(1)得到,再利用错位相减法求解.【详解】(1)可以化为,,,,又时,数列从开始成等差数列,,代入得是首项为,公差为的等差数列,,.(2)由(1)得,,,两式相减得,,.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.通过证明,证得平面,由此证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)取中点,中点,连接,,.设交于,则为的中点,连接.设,则,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如图所示的空间坐标系,设,则,,,,,,,,设平面的法向量为,∴,令得.设平面的法向量为,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1)见解析(2)2【解析】

(1)将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解;(2)由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.【详解】(1)当时,,定义域为,由可得,令,则,由,得;由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,则的最大值为,且当时,;当时,,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点;当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点;当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.(2)因为在上单调递增,即在上恒成立,设,则,①若,则,则在上单调递减,显然,在上不恒成立;②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意;③若,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,由,得,设,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,所以,又,所以,即c的最大值为2.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.20、(1);(2).【解析】

(1)把代入已知条件,得到关于的方程,得到的值,从而得到的值.(2)由(1)中得到的的值和已知条件,求出,再根据正弦定理求出边长.【详解】(1)因为,,所以,,所以,即.因为,所以,因为,所以.(2).在中,由正弦定理得,所以,解得.【点睛】本题考查三角函数公式的运用,正弦定理解三角形,属于简单题.21、(1);(2)【解析】试题分析:(1)将绝对值不等式两边平方,化为二次不等式求解.(2)将问题化为分段函数问题,通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可.试题解析:整

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