2024-2025学年上海静安区高三上册11月期中数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海静安区高三上学期11月期中数学检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合，，且，则实数______．【正确答案】【分析】根据集合中元素的互异性求的值.【详解】，或，由互异性，.故．2.已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是__________.【正确答案】2【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.【详解】依题意，设扇形的圆心角为，因为扇形的半径是，弧长为，所以由，得，则.故答案为.3.已知点是角终边上一点，若，则_________.【正确答案】【分析】由任意角的三角函数定义即可求解.【详解】，又，解得：，所以，故4.已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为________.【正确答案】1【分析】由投影数量的公式求解即可.【详解】向量在方向上的数量投影为.故15.已知直线，若，则实数的值为______.【正确答案】【分析】直接根据两直线垂直的公式计算即可.【详解】由，得，解得.故答案为.6.若有两个复数，满足，则_________.【正确答案】【分析】由题意得是方程的两个虚根，由此计算即可.【详解】，同理所以为方程的两个虚根，解方程得所以.故7.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______.【正确答案】##【分析】利用古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙选择的景点可能为：共16种可能；甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为共4种可能；因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为.故答案为.8.若，则_________.【正确答案】【分析】根据题意，求导可得f′x，然后令【详解】对函数y=fx求导得，；令，得，整理得.因此，，故.故9.已知函数的值域是，则实数的取值范围是_________.【正确答案】【分析】对符合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围.【详解】令，则，要使得的值域为，则函数的值域满足，当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0，∴，∴，当时，满足题意，综上所述.故10.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，，不断重复上述裁剪操作，则被裁剪部分的面积之和的极限为_________.【正确答案】##【分析】设的半径为，由题意可知，根据等比数列求和公式即可求.【详解】设的半径为，则，的半径为，即，故，所以的面积为，又第次裁剪操作的正方形边长为，故第次裁剪操作裁剪掉的面积为：，所以被裁剪掉的总面积为，所以被裁剪掉的总面积的极限为.故11.为双曲线右支上两不同点，则取值范围是_________.【正确答案】【分析】方法一：利用向量数量积的坐标表示，再求最值即可；方法二：设，利用向量数量积的坐标表示，再通过三角恒等变形化简，再求最值即可；方法三：设出直线AB方程，直曲联立消元，由韦达定理代入向量数量积的坐标表示，再求最值即可；方法四：双曲线图像与函数图像全等，由，再求最值即可.【详解】方法一：因为为双曲线右支上两不同点，设Ax1,y1则，取等号条件是，显然该式可以取到无限大，所以取值范围是.方法二：设，则，所以，取等号条件是，所以取值范围是.方法三：设直线AB方程为与双曲线右支交于两点，联立得，设Ax则即取值范围是.方法四：双曲线图像与函数图像全等，在上取两点Ax1可知，时，取等号条件为，所以取值范围是.12.，和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列，则所构成的集合为_________.【正确答案】或【分析】求出的解，由等差数列的定义和定义域得到，再求出的解，分类讨论的氛围，验证是否满足方程得解能形成等差数列，然后得出取值范围.【详解】①令，则，即，∵当取时，的值为：满足等差数列，即，即即可.②令，则，时，，当时，若，即时，则的解与相同，满足题意；若，即时，令，即，则，则的解：，满足等差数列；若，即时，因为时已存在至少三个解：，由三角函数图像可知，在存在两个解，且成等差数列，即，则，即，综上所述：或.故或方法点睛：因为三角函数有界，所以讨论是否大于1：大于1，则的解与相同；等于1，则求出和方程得根；小于1，结合三角函数图像的对称性和已有的解，得到成等差数列，得到方程的一个根，代回原方程求出的值.二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分）13.在中，若，则的形状是A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定【正确答案】A【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【详解】因为在ΔABC中，满足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，所以ΔABC为钝角三角形，故选A.本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.将某学校一次物理测试学生的成绩统计如下图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）（）A.68 B.70 C.72 D.74【正确答案】C【分析】根据小矩形面积和为1解得的值，再根据频率分布直方图计算平均数即可.【详解】依题意，，解得，则平均分为.故选：C.15.设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（）.A.0、1、2、 B.1、2、3 C.1、2、3、4 D.0、1、2、3【正确答案】B【分析】由幂函数的函数图像及性质可以得出结论.详解】设，，由幂函数图像可知，，故至少存在一个解；②若，在0处都有定义，则，故可能存在解，③若，同奇函数或者偶函数，由对称性可知，或，故可能存在解，综上所述：中的元素个数的可能是：1,2,3.故选:B.16.已知定圆，点A是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：(1)椭圆；(2)双曲线；(3)抛物线；(4)圆；(5)直线；(6)一个点.其中所有可能的结果有（）.A2个 B.3个 C.4个 D.5个【正确答案】C【分析】作出图像，通过椭圆，双曲线，圆的定义和圆的性质，判断结论.【详解】(1)椭圆（点A在圆内，不包括圆心）如图：∵，∴，即点的轨迹是以为焦点的椭圆.(2)双曲线（点A在圆外）如图：∵∵，∴，即点的轨迹是以为焦点的双曲线.(4)圆（点A恰为圆心）当与重合时，在中点，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.(6)一个点（点A在圆上）当在圆上时，为弦，所以一定与重合，所以点的轨迹是点.故选.三、解答题.（本大题共5小题，满分78分）17.如图所示五面体中，四边形为长方形，平面和是全等的等边三角形.（1）求证：；（2）若已知，求该五面体的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据线面平行的性质定理可求证；（2）将组合体分为四棱锥和后即可求解；【小问1详解】五面体中，因为平面，平面，平面平面，所以.【小问2详解】过点作，作，垂足分别为，过点作，作，垂足分别为，连接，如图，取中点，连接，由对称性可得，所以，因为，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面；因为，所以由、和以及图形对称性可得在底面中，所以在中，，可得，∴四棱锥和的体积均为，三棱柱的体积，所以，该五面体的体积为.18.设，，（常数）.（1）y=fx为上的严格增函数，求实数的取值范围；（2）设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据的单调性得到在上恒成立，列不等式求解即可.（2）根据（1）的结论将转化为，构造函数，根据的单调性得到在恒成立，再结合基本不等式求解即可.【小问1详解】因为为上严格增函数，故在上恒成立，所以在上恒成立，所以等号不同时取到，故实数的取值范围是；【小问2详解】不妨设，由（1）可知函数在上严格增，故，此时，不等式等价于，令，，所以函数在是严格增函数，故在上恒成立，只需，求导可得因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，解得.19.仰晖楼有A、B两部电梯.已知电梯每上一层需要5秒，电梯在某层楼停留时开门到关门所花时间为10秒（人员均能在电梯开关门时间内完成进出电梯和按楼层等操作）.某天清晨，楼上还没有人，1楼已经有若干人均欲乘坐电梯上楼，目的地分别是楼.现两部电梯均恰好在1楼（两部电梯互相独立运行，可以独立开关门，在1楼按下按钮后将同时打开门），且每部电梯容量足够容纳所有人.定义为：从A（B）电梯开门时刻算起，到电梯内最后一人到达目标楼层后A（B）电梯门关闭为止，所花时间.记"运输完成时间".（1）若所有人均乘坐一部电梯，求；（2）为了研究的最小值，我们需要对电梯的"乘坐安排"作出一些合理假设.例如：假设两部电梯都有人乘坐.理由：分开乘坐，比如去2层的人都坐电梯A，其余人坐电梯B，则均小于（1）中，故"运输完成时间"也小于（1）中，所以要使得最小，两部电梯一定都有人乘坐.请你在此基础上再提出1至2条关于电梯"乘坐安排"的合理假设，并简述作出这些假设的理由（若有多条假设，请按重要性从高到低写出最重要的两条）；（3）求出最小值.【正确答案】（1）145秒（2）答案见解析（3）95秒【分析】（1）根据题意，知总时间包括开门的两次及中途上楼的层数；（2）分目的地为同一层楼的人都坐同一部电梯，即A、B电梯所到楼层不重叠和不妨设A电梯到达10层，则可假设B电梯停留层数均小于A电梯停留层数，两种情况讨论，进而可得出结论；（3）根据题意求出与的关系，进而可得出答案.【小问1详解】包括1楼，电梯共开关门10次数，上升9层，所以完成运输所花时间为秒；【小问2详解】假设一：目的地为同一层楼的人都坐同一部电梯，即A、B电梯所到楼层不重叠.理由：将目的地为同一层楼的人调整到同一部电梯可以使得其中一部电梯至少节约10秒，这样调整后方案的"运输完成时间"必然不大于原方案.假设二：不妨设A电梯到达10层，则可假设B电梯停留层数均小于A电梯停留层数.理由：记B电梯最高到达楼，若存在A电梯到达楼，且的情况.两部电梯交换这两层的人，则不变，至少减少5秒，新方案"运输完成时间"必然不大于原方案；【小问3详解】设A电梯到达楼层为层，，B电梯到达楼层为层，，，时，取得最小值95秒，即A电梯目的地为710层，B电梯目的地为层.20.如图，已知椭圆经过点，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上任意点轴上一点，若的最小值为，求实数的取值范围；（3）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点，记的斜率分别为，求证:成等差数列.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，从而求出，得到椭圆方程；（2）设，，讨论对称轴与定义域的关系即可得出答案.（3）先得到直线的斜率一定存在，设出直线的方程，求出，直线的方程与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，进而表达出，从而得证.【小问1详解】由题意，点在椭圆上得，可得

①又由，所以

②由①②联立且，可得，，，故椭圆的标准方程为．【小问2详解】设，，令，对称轴为，因为，当，即，，故符合题意；当，即，，所以，解得，不符合题意；当，即，，解得；所以实数的取值范围为.【小问3详解】由（1）知，椭圆的方程为，可得椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，整理得，易知，设，，则有，，由直线的方程为，令，可得，即，从而，，，又因为共线，则有，即有，所以，将，代入得，又由，所以，即，，成等差数列．方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知y=fx是定义在上的函数，满足恒成立.数列满足:，.（1）若函数，求实数的取值范围;（2）若函数y=fx是上的减函数，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有；（3）求证："函数y=fx是上的增函数"是"存在，使得"的充分非必要条件.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）将恒成立转化为，然后求最值即可；（2）利用放缩的思路得到，然后利用累加法得到，最后取即可得证；（3）取特殊函数来证明非必要性，利用反证法的思路来证明充分性.【小问1详解】由，即对一切恒成立，所以，当时，在上单调递增，所以对任意，均有，综上，实数的取值范围为.【小问2详解】证明：由函数在上单调递减，即对一切，均有，所以对一切，均有，可得:，所以:，对一切，对任意正实数，取，为表示为取整，当时.【小问3详解】非必要性:取，在上不是增函数，但，，，，，充分性:假设对一切，均有，所以，由递推式，因为为增函数，所以，由可知:对一切均成立，记可知，当时，上述不等式不成立，所以假设错误，即存在，使得.方法点睛：反证法的一般步骤：①反设：作出与求证结论相反的假设；②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.【附加题】（共10分）22.世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子.（1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形，其初始位置为，，，D0,1.①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止：②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；④再将整个正方形绕点顺时针旋转，