人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-3-2第1课时等比数列的前n项和公式课件

第1课时等比数列的前n项和公式第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式整体感知[学习目标]

1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算)2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模)(教师用书)如今手机越来越普遍，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用10分钟将它传给两个人，这两个人又用10分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？[讨论交流]问题1．等比数列的前n项和公式是什么？问题2．等比数列的前n项和公式是如何推导的？问题3．等比数列的前n项和公式与通项公式有什么关系？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1等比数列的前n项和公式探究问题1若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？

[新知生成]1．等比数列的前n项和公式已知量首项、公比和项数首项、末项和公比公式

2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．【教用·微提醒】

(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(3)公式二中，an表示数列的最后一项．(4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化．

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反思领悟

(1)“知三求二”：在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(2)注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

na1【教用·微提醒】

(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列．(2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．[典例讲评]

2．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列．

法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列．[母题探究]

若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝________．

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反思领悟

用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．[学以致用]

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2an＋2n+1.(1)试求数列{an}的通项公式；(2)求Sn.

2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．

243题号1应用迁移√

23题号142．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝(

)A．6 B．7C．8 D．9√

23题号41√

243题号14．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则{an}的前6项和为________．

－211．知识链：(1)等比数列前n项和公式的推导．(2)等比数列前n项和公式的基本运算．(3)等比数列前n项和公式的结构特点．2．方法链：公式法、错位相减法．3．警示牌：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何使用等比数列前n项和公式求和？

2．等比数列前n项和公式是如何推导的？

3．错位相减法的适用情形及注意事项分别是什么？[提示]

(1)适用范围：它主要适用于{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错项对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．阅读材料棋盘上的麦粒一般认为，国际象棋起源于古印度．国际象棋的棋盘由64个格子组成，如图所示．据说国王为了奖赏发明者，让发明者提一个要求．发明者说：我想在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒