人教A版高中数学选择性必修第二册第四章4-2-2第2课时等差数列前n项和的性质及应用课件

第2课时等差数列前n项和的性质及应用第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式整体感知[学习目标]

1．理解等差数列前n项和的性质，并学会应用．(数学运算、逻辑推理)2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．(数学运算)(教师用书)我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质吗？[讨论交流]

问题1．等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？问题2．等差数列{an}中，其前n项和Sn，前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1等差数列前n项和的性质探究问题1等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系．[提示]

S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一个公差为n2d的等差数列．探究问题2在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？

√

[学以致用]

1．(1)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为________．－4210(1)－4

(2)210

[(1)设共有2m项，由题意得a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①S偶－S奇＝md＝34－50，②①②联立得d＝－4.(2)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30，70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.]探究2

等差数列前n项和的最值问题探究问题3根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？

[新知生成]1．等差数列前n项和的函数特征等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程

等差数列的前n项和公式与函数的关系2．等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最____值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最____值．特别地，若a1>0，d>0，则_____是{Sn}的最____值；若a1<0，d<0，则_____是{Sn}的最大值．小大S1小S1【教用·微提醒】

由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．【链接·教材例题】例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．分析：由a1＞0和d＜0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an＜0，Sn递减．这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和．

[典例讲评]

2．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前多少项和最大．[思路引导]

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式；(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决．

[母题探究]

将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少项和最大？

[学以致用]

2．已知等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d＜0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值及相应的n的值．

探究3数列{|an|}的前n项和[典例讲评]

3．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

反思领悟

1．一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列．2．(1)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和；(2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有考虑分类讨论，最后结果未分段表示．[学以致用]

3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－10，求数列{|an|}的前n项和Tn.

243题号1应用迁移√

23题号142．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(

)A．84 B．108C．144 D．156√B

[由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10也构成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108.]23题号41√3．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(

)A．13 B．14C．15 D．14或1523题号41

243题号14．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n＋16，则数列{|an|}的前40项和为________．

18901．知识链：(1)等差数列前n项和的最值问题．(2)等差数列前n项和性质的应用．(3)数列{|an|}的前n项和．2．方法链：公式法、构造法、函数法、整体代换法．3．警示牌：(1)忽视最值问题中n的个数．(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．等差数列{