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文档简介

2025高考数学二轮复习函数的图象与性质一、函数的概念与性质1.求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.(1)若f(x)的定义域为[m,n],则f[g(x)]的定义域是由m≤g(x)≤n,解得x的取值范围;(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n,得到g(x)的值域即为f(x)的定义域;(3)对于分段函数的定义域为每段x的取值范围的并集,值域为每段y的取值范围的并集.2.求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.3.函数的单调性

函数单调性的判断方法(1)定义法.(2)图象法.(3)性质法,即f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上):简记为↗+↗=↗;↘+↘=↘;↗-↘=↗;↘-↗=↘.(4)导数法复合函数的单调性对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同,则y=f[g(x)]为增函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称“同增异减”4.函数的奇偶性

奇偶性偶函数奇函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数奇偶性偶函数奇函数性质图象关于y轴对称图象关于原点对称如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|)如果函数f(x)是奇函数,且0在定义域内,那么f(0)=0偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数;奇函数×(÷)奇函数=偶函数;偶函数×(÷)偶函数=偶函数;奇函数×(÷)偶函数=奇函数;(两个函数定义域的交集非空,除法时作分母的函数不等于0)5.函数的周期性与对称性

二、基本初等函数、函数的应用1.基本初等函数名称指数函数y=ax对数函数y=logax幂函数y=xα性质a>1增函数在(0,+∞)内为增函数α>0幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)内单调递增名称指数函数y=ax对数函数y=logax幂函数y=xα性质0<a<1减函数在(0,+∞)内为减函数α<0幂函数的图象在区间(0,+∞)内单调递减过定点过定点(0,1)过定点(1,0)过定点(1,1)对称性指数函数y=ax与

的图象关于y轴对称函数y=logax与y=的图象关于x轴对称函数f(x)=kxα为幂函数,则k=1指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线y=x对称2.函数的应用

函数的零点与方程解的关系方程F(x)=f(x)-g(x)的零点⇔f(x)=g(x)的根⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象交点的横坐标确定函数零点的方法(1)直接解方程法;(2)利用零点存在性定理;(3)数形结合,利用两个函数图象的交点求解三、利用导数研究函数的单调性、极值、最值

导数的几何意义(1)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同;(3)切点既在曲线上,又在切线上利用导数研究函数的单调性导数法求函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f'(x)(通分、合并、因式分解);(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间利用导数研究函数的极值(1)导函数f'(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点;(2)函数的极大值不一定大于函数的极小值利用导数研究函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.f(x)在[a,b]上的最值在极值点或端点处取得.常用不等式ex≥x+1,lnx≤x-1,x≥sinx(x≥0)链高考1.(2021全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(

)A.y=x2+2x+4C.y=2x+22-xC链高考2.(2024新高考Ⅰ,6)已知函数

在R上单调递增,则a的取值范围是(

)A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞)解析

当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足

解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0].B链高考3.(2024天津,4)下列函数是偶函数的是(

)B微点拨

若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期为2|a-b|;若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)的周期为4|a-b|;若函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0),则函数f(x)的周期为2|a-b|.A.b>c>a B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>bA链高考5.(2024北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是(

)A链高考6.(2024新高考Ⅱ,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(

)D(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos

x.又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故选D.链高考7.(2024全国甲,理6)设函数,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(

)A链高考8.(多选题)(2024新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(

)A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心AD解析

由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确;当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误;任何三次函数不存在对称轴,C错误;f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.故选AD.考点一函数的概念及表示A.(2,3) B.(2,3]C.(2,3)∪(3,6] D.(2,3)∪(3,4]AA.8 B.12 C.16 D.24D解析

由1<log23<2,得3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)==24.故选D.(3)(2023上海)已知函数

则函数f(x)的值域为

.

[1,+∞)解析

当x≤0时,f(x)=1,当x>0时,f(x)=2x>1,所以函数f(x)的值域为[1,+∞).[对点训练1](1)若函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则y=f(x)-f(-x)的定义域为(

)A.[-2,2] B.[-2,4] C.[-4,4] D.[-8,8]C解析

因为函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则-2≤x≤4,可得-4≤2x≤8,所以函数y=f(x)的定义域为[-4,8],对于函数y=f(x)-f(-x),则有

解得-4≤x≤4,因此,函数y=f(x)-f(-x)的定义域为[-4,4].故选C.(2)(2024山东名校联考模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为(

)A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.N

D.N*C解析

因为f(x)=,所以x≥0,故

≥0,即f(x)≥0,而由题意可知,当x≥0时,函数y=[f(x)]的值域为N,故选C.(3)存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有(

)A.f(|x|)=x3

B.f(sinx)=x2C.f(x2+2x)=|x|

D.f(|x|)=x2+1D解析

对于A,当x=1时,f(|1|)=f(1)=1;当x=-1时,f(|-1|)=f(1)=-1,不符合函数定义,A错误;对于B,令x=0,则f(sin

0)=f(0)=0,令x=π,则f(sin

π)=f(0)=π2,不符合函数定义,B错误;对于C,令x=0,则f(0)=0,令x=-2,则f((-2)2+2×(-2))=f(0)=2,不符合函数定义,C错误;对于D,f(|x|)=x2+1=|x|2+1,x∈R,因为|x|≥0,则存在x≥0时,f(x)=x2+1,符合函数定义,D正确.考点二函数的图象例2(1)(2023天津,4)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(

)D(2)(多选题)(2024江西吉安模拟)已知函数

若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(

)A.x1+x2=-4 B.x3x4=1C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤4AB设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0<t<4,则直线y=t与函数y=f(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1,x2,x3,x4.对于A,函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称,则x1+x2=-4,故A正确;对于B,由图象可知|log2x3|=|log2x4|,且0<x3<1<x4,所以-log2x3=log2x4,即log2(x3x4)=0,所以x3x4=1,故B正确;当x≤0时,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4≤4,由图象可知log2x4∈(0,4),则1<x4<16,故C错误;由图象可知-4<x1<-2,所以x1x2x3x4=x1(-4-x1)=--4x1=-(x1+2)2+4∈(0,4),故D错误.故选AB.[对点训练2](1)(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cosx在区间

的图象大致为(

)A解析

设f(x)=(3x-3-x)cos

x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.又f(1)=(3-3-1)cos

1>0,排除C选项.故选A.(2)(多选题)已知函数

若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,则实数m的取值范围是

.

[1,3)∪{0}解析

因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m的图象有两个交点,作出函数图象,如图所示,所以当m∈[1,3)∪{0}时,函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.考点三函数的性质(多考向探究预测)考向1单调性与奇偶性例3(1)(2020山东,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]DA.a<b<c B.c<b<aC.a<c<b D.b<c<aC考向2奇偶性、周期性与对称性例4(1)(多选题)(2024海南一模)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(2x-1)=f(3-2x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)的周期为4B.函数f(x)在[2024,2025]上单调递增D.方程f(x)=log5|x|有4个根ABC解析

因为f(2x-1)=f(3-2x),所以f(x-1)=f(3-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,故A正确;当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,因为函数f(x)的周期为4,所以函数f(x)在[2

024,2

025]上的单调性与在[0,1]上的单调性相同,故B正确;又因为f(0)=0,f(1)=1,当x=0时,则f(2)=-f(0)=0,当x=1时,则f(3)=-f(1)=-1,又f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又当x∈[0,1]时,f(x)=x,结合对称性与周期性作出函数f(x)的图象,如图,作出y=log5|x|的图象,由图知两函数共有5个交点,可得方程f(x)=log5|x|有5个根,则D错误.故选ABC.(2)(多选题)(2024河南郑州二模)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,有f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,f(1)=1,f(2x+1)为偶函数,则(

)A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数C.f(2+x)=-f(2-x) ACD解析

令x=y=0,得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0,即f(0)=0,A正确;令x=0,得f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2,又f(0)=0,所以f(y)[f(-y)+f(y)]=0对任意y∈R恒成立.因为f(1)=1,所以f(y)不恒为0,所以f(-y)+f(y)=0,即f(-y)=-f(y),B错误;将f(x)的图象向左平移1

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