人教A版高中数学选择性必修第一册第一章1.2空间向量基本定理课件

1.2空间向量基本定理第一章空间向量与立体几何整体感知[学习目标]

1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象)2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象)3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p？[讨论交流]

问题1．类比平面向量基本定理，怎么推广得到空间向量基本定理？问题2．空间基底的构成条件是什么？单位正交基底的构成条件是什么？问题3．类比平面向量的分解，如何分解空间向量？问题4．用向量解决几何问题的一般步骤是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构

探究问题2你能证明x，y，z的唯一性吗？

[新知生成]1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．xa＋yb＋zc3．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为_，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个________的向量，叫做把空间向量进行________．两两垂直1两两垂直正交分解【教用·微提醒】

(1)基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．

反思领悟

基底的判断思路和注意问题1．基本思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间的一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2．注意问题对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．[学以致用]

1．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝(

)A．－1

B．1

C．0

D．－2

√探究2用基底表示空间向量

反思领悟

用基底表示向量时应注意的两点(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是保证基向量的模及其夹角已知或易求．

探究3空间向量基本定理的初步应用考向1

证明空间位置关系【链接·教材例题】例2如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1.

[典例讲评]

3．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．

又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C，所以FG∥平面AB′C．又由(1)知EG∥AC，EG⊄平面AB′C，AC⊂平面AB′C，可得EG∥平面AB′C．又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG.所以平面EFG∥平面AB′C．反思领悟

(1)要证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0即可．(2)要证两直线平行，只需证明两直线的方向向量a＝λb即可．

考向2

求空间角【链接·教材例题】例3如图1.2-4，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．(1)求证：EF∥AC；(2)求CE与AG所成角的余弦值．

√

反思领悟

基向量法求空间角的基本思路将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角)，再用基向量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角．

反思领悟

求空间距离(长度)问题的步骤(1)选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示．(2)求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度．

(1)证明：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值．

应用迁移23题号411．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√B

[空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底；但若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，且a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B．]23题号4123题号41

√23题号41

23题号41

√23题号41

23题号41

23题号41

1．知识链：(1)空间向量基本定理．(2)空间向量基本定理的应用．2．方法链：转化化归、数形结合、类比．3．警示牌：(1)基向量理解错误，忽视基向量的条件．(2)利用基向量表示向量时，没有转化目标．(3)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c满足什么条件？[提示]

a，b，c不共面．2．叙述空间向量基本定理的内容．[提示]

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.3．如何证明两种位置关系(垂直与平行)?[提示]

(1)要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可．(2)要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．课时分层作业(四)空间向量基本定理题号135246879101112131415

√

题号135246879101112131415题号135246879101112131415

√题号135246879101112131415B

[如图，取BC的中点F，连接A1F，则A1D1∥EF，且A1D1＝EF，∴四边形A1D1EF为平行四边形，则A1F∥D1E且A1F＝D1E，

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号3524687910111213141515．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等，则下列结论中正确的是(

)A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1√√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号3524687910111213141518．正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√√√

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151题号35246879101112131415111．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(

)A．EG⊥PG

B．EG⊥BCC．FG∥BC

D．FG⊥EF√√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号35246879101112131415112．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E