人教A版高中数学选择性必修第二册第五章5-3-1第1课时函数的单调性课件

第1课时函数的单调性第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性整体感知[学习目标]

1．理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学运算)3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．(教师用书)如图为某市一天内的气温变化图：

(1)观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．(2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的推移，气温逐渐升高或下降”这一特征？问题：观察图形，你能得到什么信息？[讨论交流]

问题1．函数的单调性与导数有什么关系？问题2．函数值变化快慢与导数有什么关系？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1利用导数的正负判断单调性探究问题1已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？[提示]

(1)y′＝2＞0，y＝2x－1是增函数．(2)y′＝－3＜0，y＝－3x是减函数．(3)y′＝2xln2＞0，y＝2x是增函数．探究问题2如果函数f(x)在区间(a，b)内有无数个点满足f′(x)＞0，能认为f(x)在这个区间内单调递增吗？[提示]

不能，无数不代表任意，所以有可能在某点处导数为负．[新知生成]函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____【教用·微提醒】

(1)f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件．(2)f′(x)＝0在某个区间内恒成立时，该区间内f(x)为常函数．增减

[解]

(1)因为f(x)＝x3＋3x，所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0.所以，函数f(x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图5.3-4(1)所示．

图5.3-4

图5.3-4

反思领悟

利用导数判断函数单调性的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形．(4)得出结论．[学以致用]

1．下列函数在(0，＋∞)上单调递减的是(

)A．y＝xex

B．y＝x3－3x2C．y＝lnx－x D．y＝x－ex

√

探究2利用导数求函数的单调区间

表5.3-1x(－∞，－1)－1(－1，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减单调递增所以，f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)内单调递减，如图5.3-6所示．

[典例讲评]

2．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.[思路导引]根据函数解析式求出函数的导函数，根据导函数的符号确定函数单调区间．

(2)f′(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2)．令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝2，x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间，f′(x)在各个区间上的正负以及f(x)的单调性如表，x(－∞，－3)－3(－3，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增f(－3)单调递减f(2)单调递增故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－3，2)．【教用·备选题】求函数f(x)＝x3－2x2＋x－1的单调区间．

反思领悟

利用导数求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求出导数f′(x)的零点．(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，进而求出单调区间．

[解]

(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域，如表所示：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减f(0)单调递增f(2)单调递减

x(－∞，－1)－1(－1，0)(0，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)单调递增f(－1)单调递减单调递减f(1)单调递增∴函数f(x)的单调递减区间为(－1，0)和(0，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．探究3导函数与原函数的关联图象【链接·教材例题】例2已知导函数f′(x)的下列信息：当1＜x＜4时，f′(x)＞0；当x＜1，或x＞4时，f′(x)＜0；当x＝1，或x＝4时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．[解]

当1＜x＜4时，f′(x)＞0，可知f(x)在区间(1，4)内单调递增；当x＜1，或x＞4时，f′(x)＜0，可知f(x)在区间(－∞，1)和(4，＋∞)上都单调递减；当x＝1，或x＝4时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示．

所以，f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都是增函数．在区间(0，1)内，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”；在区间(1，＋∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”．所以，f(x)，g(x)的图象依次是图5.3-8中的C2，C1.[典例讲评]

3．(1)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是(

)A

B

C

D√(2)函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(

)A

BC

D√(1)A

(2)C

[(1)当x＜－2时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；当－2＜x＜0时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x>0时，f′(x)<0，则f(x)单调递减．则符合上述条件的只有选项A.故选A.(2)由f(x)的图象知，当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0；当x∈(1，4)时，f(x)单调递增，f′(x)＞0；当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0.由选项各图知，选项C符合题意．故选C.]反思领悟

(1)导函数的正负看原函数的增减．①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．(2)导函数的绝对值大小决定原函数增减快慢．某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．(3)解决问题时，要分清是原函数图象还是导函数图象．[学以致用]

3．设函数y＝f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(

)√A

BC

DD

[由题中函数f(x)的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上先增后减，所以其对应的导函数符号先正后负，在y轴左侧导函数的图象由左上到右下穿过x轴；当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，只有D选项符合条件．故选D.]243题号1应用迁移√1．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(

)A

BC

D243题号1A

[由f′(x)图象可知f′(0)＝0，f′(2)＝0，f(x)在区间[0，2]上的增长速度先快后慢，A选项符合．故选A.]23题号142．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√A

[例如，f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A.]23题号41√3．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递增的是(

)A．y＝sinx B．y＝xe2C．y＝x3－x D．y＝lnx－xB

[对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)内单调递增．其他选项可同理逐一求导排除．故选B.]243题号14．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为______________．

(－∞，－1)1．知识链：(1)函数的单调性与其导数的关系．(2)利用导数判断函数的单调性．(3)利用导数求函数的单调区间．(4)原函数与导函数图象的关系．2．方法链：方程思想、分类讨论．3．警示牌：忽略定义域的限制而出错．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．利用导数求函数单调性的思路是怎样的？[提示]

利用导数求函数的单调性一般通过解不等式的方法完成，其步骤为：①