人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.5.1第1课时直线与圆的位置关系课件

第1课时直线与圆的位置关系第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系整体感知[学习目标]

1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象)2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算)3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系．[讨论交流]

问题1．如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？问题2．用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1直线与圆位置关系的判定探究问题通过前面的学习，已经知道，借助平面直角坐标系，平面内的直线l与圆C可以分别用方程表示．那么，由直线l与圆C的方程，如何判断它们的位置关系呢？[提示]

转化为判断由它们的方程组成的方程组实数解个数的问题．[新知生成]直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数__个__个__个判定方法d__rd__rd__rΔ__0Δ__0Δ__0两一零＜＝＞＞＝＜【教用·微提醒】

(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系．(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离．[典例讲评]

1．已知直线l：2x＋y－3＝0，圆M：(x－a)2＋y2＝5．(1)指出圆心M的位置特征；(2)求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离．

发现规律

判断直线和圆的位置关系有哪些方法？

[学以致用]

1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(

)A．相交

B．相切

C．相离

D．不确定√

√【教用·备选题】已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．

探究2圆的弦长问题【链接·教材例题】例1已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．[分析]

思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．

[典例讲评]

2．(源自北师大版教材)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．

【链接·教材例题】例2过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程．[分析]

如图2.5-2，容易知道，点P(2，1)位于圆O：x2＋y2＝1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为y－1＝k(x－2)，k为斜率，由直线与圆相切可求出k的值．

[典例讲评]

3．已知圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0，过点P(2，1)作圆C的切线m，则m的方程为(

)A．x＝2B．3x＋4y－10＝0C．3x＋4y－10＝0或x＝2D．3x＋4y－10＝0或3x－4y－2＝0√

[母题探究]

1．在本例条件下，求此切线长．

2．若本例点P的坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求切线m的方程．[解]

∵22＋(－1)2＋4×2＋2×(－1)－11＝0，∴点P在圆上，∴过P(2，－1)的切线方程为x＝2，即直线m的方程为x＝2．

(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当切线斜率不存在时要加以验证．③过圆外一点的切线有两条．

√应用迁移23题号411．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(

)A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心

D．相离√

23题号412．已知直线l：x＋my＋1＝0和圆E：x2＋y2－4x＋3＝0，则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为(

)A．2

B．3C．4

D．5√C

[由题知，圆E：(x－2)2＋y2＝1，其中圆心E(2，0)，半径为1，直线l过定点(－1，0)，所以点P到直线l的距离的最大值为(－1，0)到圆心的距离加上圆的半径，即3＋1＝4．故选C．]23题号41

√C

[圆心在y轴上的圆C与直线x－y＝1相切于点A(1，0)，可知圆的圆心在直线y＝－(x－1)，x＝0时，y＝1，所以圆心C的纵坐标为1．故选C．]23题号41

1

1．知识链：(1)直线与圆的三种位置关系．(2)圆的弦长问题．(3)圆的切线问题．2．方法链：几何法、代数法．3．警示牌：求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？[提示]

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？[提示]

(1)点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程．(2)点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况．3．直线和圆相交时，如何求弦长？

课时分层作业(二十二)直线与圆的位置关系题号1352468791011121314

√

题号1352468791011121314题号1352468791011121314√2．已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝2外，则直线x0x＋y0y＝2与圆的位置关系是(

)A．相切

B．相交C．相离

D．不确定

题号3524687910111213141

√√√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

√

题号3524687910111213141

√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141二、填空题6．过点(1，1)的直线l被圆C：x2＋y2＝4截得的弦长最短，则直线l的斜率为________．－1

[由圆x2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(0，0)，根据圆的性质，可得当直线l与过点A(1，1)和圆心C的直线垂直时，此时弦长最短，因为kAC＝1，所以直线l的斜率为k＝－1．]－1

题号35246879101112131417．直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．

题号35246879101112131418．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为____________________．

x＝2或3x－4y＋10＝0

题号3524687910111213141三、解答题9．已知半径为4的圆C与直线l1：3x－4y＋8＝0相切，圆心C在y轴的负半轴上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l2：kx－y＋3＝0与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线l2的方程．题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

√√

题号3524687910111213141题号3524687910111213141

√

题号3524687910111213141

题号352468791011121314112．圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)的圆的方程是_______________________．

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

[解]

(1)设点C的坐