2024-2025学年上海四校联考高三上学期数学期中试卷（含答案）（2024.11）

参考答案一、填空题1.2.3.4.1205.-186.7.;8.;9.;10.；11.12.二、选择题13.B14.A15.B16.D三．解答题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设为其中达到90分及以上的学生的人数，求的概率分布及数学期望．【答案】（1）75分;（2）;所以的数学期望为.【解析】（1）成绩在区间的比例为:;

成绩在区间的比例为:,因此分位数位于区间;

因此入围分数为:,因此入围分数应设为75分;

（2）在这六个人中,有两人的分数在90分及以上,因此,,则的概率分布为:;所以的数学期望为.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，．（1）求函数的表达式；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时,;当时,；

当时,；

因此;

（2）当时,,因此有在上严格增;而当时,因此有在上严格增;

原不等式可化为:；而是定义在上的严格增函数,所以;因此不等式的解集为.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．（1）求证：直线平面；（2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明:,平面平面,平面平面平面;又分别为的中点,;平面;

（2）以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,而不在平面上,平面平面,设点坐标为,,即,则点坐标为;

设平面的法向量,即,即,取可得；

设平面法向量为,则,取,可得;

,即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知点是圆上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2），是曲线上的两个动点，是坐标原点，直线、的斜率分别为和且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设为曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）是，定值为（3）【解析】（1）,则,则曲线是以和为焦点,4为长轴的椭圆;

设椭圆方程为,则,曲线;

（2）设,则,即;

为定值;

（3）设点,则点,代入椭圆方程得到曲线;

当直线的斜率不存在时:设,代入中有,则

当直线斜率存在时:设,代入的方程:,则;而与椭圆有公共点,代入得:,由有,记,则,综上,面积的最大值为.21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知函数的表达式为．（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】（1）时,,则令,则,则在上严格减,上严格增,则,即在上严格增,因此函数的增区间为;

（2）,记,则,若,则,即时