2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市长宁区延安中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若a<b<0，则下列不等式中不成立的是(

)A.|a|>|b| B.a2>b2 C.2.设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+cA.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3.若a<b<c，则函数f(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)的两个零点分别位于区间(

)A.(a,b)和(b,c)内 B.(−∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(−∞,a)和(c,+∞)内4.已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当a，b，c均为正实数时，a+b+c3≥3abc，当且仅当a=b=cA.若0<x<1，则x2(1−x)≤19 B.若x>0，则2x+1x2≥278

C.二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x>5}，则A∩B=6.设x∈R，则不等式1x<3的解集为______．7.已知a>0，b>0，化简式子：8a34b8.已知−2≤a≤3,2≤b≤72，则a−2b的取值范围为______．9.当x<0时，化简：35x5+10.集合A={x|x=k4+1211.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是

．12.已知x∈R，则方程|x−7|+|3−4x|=|5x−10|的解集为______．13.已知关于x的一元二次方程x2+px+p=0的两个实根分别为α和β，且α2+β214.已知关于x的不等式(a2−1)x2+(a+1)x+115.已知x∈R，[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3,[12]=0,[−1.2]=−2，则不等式[x16.若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3满足x2−x1=x3−x2三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

设a，b为实数，比较a2+4b218.(本小题9分)

已知a∈R，集合A={x|1−xx−3≤0},B={x|x2+(2−a)x−2a<0}；

(1)当a=12时，集合C={x|x∈A且x∉B}，求集合C；

19.(本小题10分)

已知m∈R，关于x的方程mx2−3mx+m−1=0；

(1)若方程有两个正实数根，求实数m的取值范围；

(2)若方程有两个整数根x1，x2，且20.(本小题10分)

窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为x，y(单位：分米)且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；

(1)请用x表示y，并写出x的取值范围；

(2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；(结果精确到0.01)．21.(本小题13分)

已知集合A={a1,a2,…,an}(0≤a1<a2<…<an，n∈N，n≥3)具有性质Q：对任意i，j(1≤i≤j≤n)，ai+aj与aj−ai至少有一个属于集合A．

(1)判断集合M={0,2,4}与N={2,3,4}是否具有性质参考答案1.D

2.D

3.A

4.D

5.{3,4,5}

6.(−∞,0)∪(17.−6b8.[−9,−1]

9.x

10.B⫋A

11.[9,+∞)

12.{x|x≤34或13.−1

14.(−∞,−1]∪(3，+∞)

15.{x|−1≤x<7}

16.30

17.解：根据题意，两个代数式作差可得：

a2+4b2−(2a−12b−10)=a2−2a+4b218.解：(1)由1−xx−3≤0，可得A={x|x≤1或x>3}，

易知B={x|(x+2)(x−a)<0}，

当a=12时，可得B={x|−2<x<12}，

由集合C={x|x∈A且x∉B}，

可得C={x|x≤−2或12≤x≤1或x>3}；

(2)由A∪B=A，可得B⊆A，

当B=⌀时，可得a=−2；

当B≠⌀时，若a>−2，可得B={x|−2<x<a}，

由B⊆A可得a≤1，即−2<a≤1；

若a<−2，可得B={x|a<x<−2}，

此时B⊆A恒成立，即19.解：(1)因为关于x的方程mx2−3mx+m−1=0有两个正实数根，

所以m≠0Δ=9m2−4m(m−1)≥0m−1m>0，

解得m≤−45或m>1，

即实数m的取值范围为{m|m≤−45或m>1}；

(2)由方程有两个整数根x1，x2，

所以m≠0且x1+x2=3，x1⋅x2=m−1m=1−1m，

由x1，x2，m∈Z，

所以m=1或m=−1，

当m=1时，x1+x2=3，x1⋅x2=0，

所以20.解：(1)已知两个矩形的宽和长都分别为x，y(单位：分米)且宽小于长，

若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米，

根据题意可知y>x>0，剪去的“正十字形”部分面积可表示为2xy−x2=4，

可得y=4+x22x，

由宽小于长可得y=4+x22x>x>0，解得0<x<2，

因此y=4+x22x(0<x<2)；

(2)若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可，

设圆的半径为R，则圆的面积为π21.解：集合A={a1,a2,…,an}(0≤a1<a2<…<an，n∈N，n≥3)具有性质Q：对任意i，j(1≤i≤j≤n)，ai+aj与aj−ai至少有一个属于集合A，

(1)集合M={0,2,4}中，因为0+2∈M，0+4∈M，4−2∈M，0±0=0∈M，2+2=4∈M，2−2=0∈M，4−4=0∈M，所以集合M具有性质Q．

集合N={2,3,4}中，因为3+