（新教材辅导）2023年高中数学第七章随机变量及其分布质量评估新人教A版选择性

第七章质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示()A.甲赢三局B.甲赢一局C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次解析:甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,故ξ=3有两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.答案:D2.由“0”“1”“2”组成的三位数码组(每位数字可以重复)中,若用事件A表示“第二位数字为0”,用事件B表示“第一位数字为0”,则P(A|B)=()A.12B.13C.1解析:P(A|B)=n(AB)n(答案:B3.若随机变量Y~B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,则()A.Y~B(4,0.9)B.Y~B(9,0.4)C.Y~B(18,0.2)D.Y~B(36,0.1)解析:因为随机变量Y~B(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,所以np②除以①,得1p=0.6,即p=0.4,代入①,解得n=9,所以Y~B(9,0.4).答案:B4.某同学进行3分投篮训练,如果该同学投中的概率为12,他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9,那么n的最小值是(解析:由题意可知,该同学连投n次,一次都不中的概率为(1-12n,故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为112n>0.9(n∈N*),得12n<答案:B5.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量Z(单位:kg)服从正态分布N(10,0.12).现抽取500袋样本,X表示抽取的面粉质量在10≤Z≤10.2的袋数,则X的均值约为()附:若Z~N(μ,σ2),则P(μσ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545.解析:由题意,得Z~N(10,0.12),所以P(10≤Z≤10.2)=12P(9.8≤Z≤10.2)=12P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.由题意得X~B(500,0.47725),所以E(X)=500×0.47725=238.625≈239. 答案:B6.已知随机变量X的分布列如表,且E(X)=2,则D(2X3)=()X02aP1p1解析:因为p=11613=所以E(X)=0×16+2×12+a×13=2,所以所以D(X)=(02)2×16+(22)2×12+(32)2×所以D(2X3)=22·D(X)=4.答案:C7.已知甲、乙两人通过某考试的概率分别为0.5,0.8,两人考试时互不影响,记X表示两人中通过该考试的人数,则X的方差为()A.0.41B.0.42C.0.45D.0.46解析:两人中通过该考试人数X的分布列为X012P0.10.50.4所以E(X)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,所以D(X)=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.169+0.045+0.196=0.41.答案:A8.先后投掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面分别有1,2,3,4,5,6个点)两次落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=()A.13B.12C.1解析:因为事件A为“x+y为偶数”,所以事件A发生时,x,y同为奇数或同为偶数,共包含18个样本点.事件A,B同时发生,则x,y都为偶数,且x≠y,则包含A32=6个样本点.所以P(B|A)=n(AB)答案:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若随机变量X服从正态分布N(90,52),则下列结论正确的是()A.E(X)=90B.D(X)=5C.P(X>100)=P(X<80)D.P(X>100)>P(X<100)解析:由随机变量X服从正态分布N(90,52),得μ=90,σ2=52,即E(X)=90,D(X)=52=25,故A项正确,B项错误;由正态曲线的对称性,得P(X>100)=P(X<80),P(X>100)<P(X<100),故C项正确,D项错误.故选AC.答案:AC10.设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结论正确的有()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2解析:由离散型随机变量X的分布列的性质,得q=10.40.10.20.2=0.1,所以E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(02)2×0.1+(12)2×0.4+(22)2×0.1+(32)2×0.2+(42)2×0.2=1.8.因为离散型随机变量Y满足Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2.故选ACD.答案:ACD11.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=13,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=4解析:因为随机变量X服从两点分布,P(X=0)=13,所以P(X=1)=2所以E(X)=0×13+1×23=23,D(X)=0-232×1因为P(X=1)=E(X),所以A项正确;因为E(3X+2)=3E(X)+2=3×23因为D(3X+2)=9D(X)=9×29因为D(X)=29,所以D项错误故选AB.答案:AB12.已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X~N(9,4),则 ()(附:X~N(μ,σ2),P(μσ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)A.该校学生每周平均阅读时间为9hB.该校学生每周阅读时间的标准差为4C.该校学生每周阅读时间不超过3h的人数占0.3%D.若该校有10000名学生,则每周阅读时间在3~5h的人数约为214解析:因为E(X)=9,D(X)=4,所以平均数是9,标准差为2,A正确,B不正确;因为P(7<X<11)=0.6827,P(5<X<13)=0.9545,P(3<X<15)=0.9973,结合正态曲线的对称性可得,该校学生每周阅读时间不超过3h的人数占1-P(3<X每周阅读时间在3~5h的人数占P(3<X0.0214×10000=214,所以D正确.故选AD.答案:AD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X,其分布列如表,若均值E(X)=2,则ab=118X036P1ab解析:根据题意可得,a+b=12,314.某诗词节目以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨,每一期的比赛包含“个人追逐赛”“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”环节,其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主争霸赛”共有九道抢答题,抢到并答对者得一分,答错则对方得一分,率先获得五分者即为该场擂主.在某一期节目中,若进行“擂主争霸赛”的甲、乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都为0.5,则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为15128解析:抢答完七道题后甲成为擂主,则第七道题甲得1分,前六道题甲得4分,乙得2分,甲最后以5∶2获胜,概率为P=C64×0.54×0.52×0.5=15.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大,动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充放电,则他的车能够充放电2500次的概率为717解析:设事件A为“车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次”,事件B为“车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次”,则P(A)=85%,P(AB)=35%,所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充放电,则他的车能够充放电2500次的概率为P(B|A)=P(AB)P(16.(2021·新高考浙江卷)袋中有4个红球、m个黄球、n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球个数为ζ.若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则mn=1,E(ζ)=解析:P(ζ=2)=C42Cm+n+4所以m+n+4=9.P(一红一黄)=C41×Cm1Cm+所以n=2,所以mn=1.又P(ζ=2)=16,P(ζ=1)=C41×C51C92=4×536所以E(ζ)=16×2+59×1+518×0=13+四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品的正品率.解:设A,B,C分别表示抽的产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的,D表示抽的产品为正品,由已知,得P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,P(D|A)=95%,P(D|B)=90%,P(D|C)=85%,从而任取一件产品为正品的概率为P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=95%×50%+90%×30%+85%×20%=0.915.18.(12分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(1)求该地某位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的期望.解:(1)设该车主购买乙种保险的概率为P,则P(10.5)=0.3,故P=0.6,该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)=0.2,由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为10.2=0.8.(2)甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2,所以X~B(100,0.2).所以E(X)=100×0.2=20.19.(12分)(2021·新高考北京卷)为加快新冠病毒核酸检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(1)若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;(2)已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X)解:(1)对每组进行检测,需要10次,再对结果为阳性的组每个人进行检测,需要10次,所以总检测次数为20.(2)由题意,X可以取20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1111=则X的分布列为X2030P110所以E(X)=20×111+30×1011=20.(12分)某乒乓球团队决赛中,甲队与乙队相遇,甲队选手A,B,C,D,E依次出场比赛,在以往对战乙队选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8,0.8,0.8,0.75,0.7,并且比赛胜负相互独立.比赛采用五局三胜制,先赢3局者获得胜利.(1)在决赛中,甲队以3∶1获胜的概率是多少?(2)求比赛局数的分布列及均值.解:(1)若甲队以3∶1获胜,则前三局中赢两局输一局,第四局比赛胜利,设甲队以3∶1获胜为事件A,则P(A)=C31×0.2×0.82×0.75=0.(2)设比赛局数为X,则X的所有取值为3,4,5,则P(X=3)=0.83+0.23=0.52,P(X=4)=C31×0.2×0.82×0.75+C32×0.22×0.8×0P(X=5)=1P(X=3)P(X=4)=0.168,则X的分布列为X345P0.520.3120.168E(X)=3×0.52+4×0.312+5×0.168=3.648.21.(12分)生活垃圾中有一部分可以回收利用,回收1t废纸可再造出0.8t好纸,从而降低造纸的污染排放,节省造纸能源消耗.某环保小组调查了某垃圾处理场某年6月至12月生活垃圾回收情况,其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位:t)的折线图如图所示.(1)现从6月至12月中随机选取1个月,求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0t的概率.(2)从6月至12月中任意选取2个月,记X为选取的这2个月中回收的废纸再造好纸超过3.0t的月份的个数.求X的分布列及数学期望.(3)假设第二年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为at.当a为何值时,自第一年6月至第二年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.(只需写出结论,不需证明)注:方差s2=1n[(x1-x)2+(x2x)2+…+(xn-x解:(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0t”为事