同角三角函数的基本关系课件高一上学期数学

5.2.2同角三角函数的基本关系问题1：我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以看出这些函数是相互关联的，一定存在某种联系．一、探究同角三角函数的基本关系视角1：“数”——角终边上的点的坐标比值．视角2：“形”——由单位圆构造三角函数线．xyOMα11思考：你能建立

sinα与

cosα的关系吗？问题2：如图，在单位圆中，设

α=∠xOM是任意角，你能作出角

α的正弦线和余弦线吗？DP=sinα，OD=cosα，在Rt△OPD中，得|DP|2＋|OD|2=|OP|2=1，代入得

sin2α＋cos2α=1．一、探究同角三角函数的基本关系DP分析：当角α为象限角时，过P作x轴垂线，垂足为D，DP

=

sin

α，OD

=

cos

α，在Rt△OPD中，有|DP|2

＋|OD|2=|OP|2=1，代入得

sin2

α＋cos2

α

=1．反思：以上推理是否有不严谨的地方？xyOMα11DP当角α的终边落在坐标轴上时，即α∈R时，sin2

α＋cos2α

=1．

sin2

α＋cos2α

=1．xyOMα11DP

分析：P

(cosα，sinα)，由正切函数定义得：问题3：点

P的坐标是什么？你还能发现同一个角的三角函数值的什么关系？思考：当角

α是任意角时，关系都成立吗？（cosα≠0）（α≠kπ＋

，k∈Z）1．公式结构特点分析：书写时应注意，sin2α是(sinα)2

，读作“sinα的平方”，不能将

sin2α写成

sinα2．①式是平方关系．从左往右看，是同一个角的正弦、余弦平方和等于

1；从右往左看，常数

1可以用同一个角的正弦、余弦平方和所替代．问题：你会对公式①怎样变形？……②

①同角三角函数的基本关系1．公式结构特点分析：②式是商数关系．表示一个角的正切等于同一个角正弦与余弦的商，知道了一个角的正切就知道了这个角正弦、余弦的关系，知道了正弦、余弦的比值就知道了这个角的正切．问题：你会对公式②怎样变形？②

①同角三角函数的基本关系2．“同角”如何理解？

一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的形式无关．②

①同角三角函数的基本关系

分析：先利用平方关系求出

cosα，再利用商数关系求出

tanα.例1

已知

sinα

=

，并且

α是第四象限角，求

cosα，tanα的值．二、同角三角函数基本关系的应用例1

已知

sinα

=

，并且

α是第四象限角，求

cosα，tanα的值．得，．由，得，二、同角三角函数基本关系的应用解：因为α是第四象限角，所以cosα

>0，

例1

已知

sinα

=

，并且

α是第四象限角，求

cosα，tanα的值．二、同角三角函数基本关系的应用思考：若去掉条件“α是第四象限角”，又该如何解决？解：因为

sinα

<0，sinα

，所以α是第三或四象限角．由，得．当α是第三象限角时，

，

，当α是第四象限角时，

，

．反思：解决本题的思路是什么？依据是什么？（1）在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类讨论；（2）确定分类的标准，本题中的分类标准是由

sinα的符号判断角所在的象限；（3）分两类，利用同角三角函数的基本关系求解．例2

已知

tanα

=

k，且角

α在第三象限，求

sinα，cosα．解：由角

α在第三象限知，sinα<0，cosα<0．由

，得，解得

，所以

，

．反思：同角三角函数基本关系的本质是方程，知一求二．例3

求证：．证明：方法1方法2切化弦1逆代弦化切例3

求证：．又因为，得．方法3因为总结：证明三角恒等式一般的方法．（1）左⇒右或右⇒左，一般选择复杂⇒简单；（2）左右归一，证明左右两边等于同一个式子；（3）等价转化，证明与原恒等式等价的式子．等价转化分析：

或得解例4

已知

，求

的值．解：因为所以得，即知一求二反思：

例4

已知

，求

的值．（1）三角函数是“一个背景定义三个函数”，因此可以预见，它们一定相互关联，存在某种联系，这是发现同角三角函数基本关系的指路明灯，通过三角函数线数形结合发现同角