专题04 有理数的乘法和除法压轴题七种模型全攻略（解析版）

专题04有理数的乘法和除法压轴题七种模型全攻略

【考点导航】

目录

【典型例题】.......................................................................................................................................................1

【考点一两个有理数的乘法运算】..................................................................................................................1

【考点二多个有理数的乘法运算】..................................................................................................................2

【考点三倒数】..................................................................................................................................................4

【考点四有理数乘法运算律】..........................................................................................................................5

【考点五有理数乘法的实际应用】..................................................................................................................6

【考点六有理数的除法运算】..........................................................................................................................9

【考点七有理数的乘除混合运算】................................................................................................................10

【过关检测】.....................................................................................................................................................12

【典型例题】

【考点一两个有理数的乘法运算】

例题：（2023·天津·模拟预测）计算43的结果是（）

A．12B．12C．6D．6

【答案】A

【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”的法则进行计算即可．

【详解】解：4312．

故选：A．

【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，注意符号，熟练掌握乘法法则是解题的关键．

【变式训练】

1

1．（2023·全国·七年级假期作业）计算2的结果是（）

3

122

A．2B．C．D．6

333

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【答案】B

【分析】直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可．

112

【详解】22，

333

故选：B．

【点睛】本题考查了负数乘以负数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．

2．（2023·浙江·七年级假期作业）计算：

71622

(1)；(2)12．

82135

2

【答案】(1)

3

(2)4

【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可；

（2）根据有理数的乘法法则计算即可．

7162

【详解】（1）；

8213

22512

（2）124；

3535

【点睛】本题考查了有理数的乘法，，熟记运算法则是解题的关键．

【考点二多个有理数的乘法运算】

95

例题：（2023·全国·七年级假期作业）计算：0.12581．

29

【答案】7

【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．

951914

【详解】解：0.1258187，

29829

故答案为：7．

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．

【变式训练】

1．（2023秋·广东汕头·七年级统考期末）下列算式中，积为负数的是（）

A．03B．2345

C．35D．2345

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【答案】D

【分析】根据有理数的乘法法则进行判断便可．

【详解】解：A、030，结果为0，不符合题意；

B、2345120，结果为正，不符合题意；

C、3515，结果为正，不符合题意；

D、2345120，结果为负，符合题意；

故选：D

【点睛】本题考查了有理数乘法，关键是熟记和应用有理数法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把

绝对值相乘，任何数与零相乘积为零；几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数的个数

为奇数时，积为负，负因数的个数为偶数时，积为正．

3512

2．（2023·全国·九年级专题练习）计算：30．

4823

【答案】0

【分析】利用0乘以任何数等于0进行计算即可．

3512

【详解】解：300，

4823

故答案为：0．

【点睛】本题考查了0乘以任何数等于0，解题的关键是掌握0乘以任何数等于0．

3．（2023·全国·九年级专题练习）用简便方法计算下列各题：

1

(1)（﹣）×1.25×（﹣8）；

20

7537

(2)（）×36；

96418

(3)（﹣10）×（﹣8.24）×（﹣0.1）；

53

(4)()2.4()；

65

666

(5)4(3)3(3)63．

777

1

【答案】(1)

2

(2)11

(3)﹣8.24

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6

(4)

5

(5)27

【分析】（1）利用有理数的乘法法则进行计算即可；

（2）利用乘法分配律进行计算；

（3）利用有理数的乘法法则进行计算即可；

（4）利用有理数的乘法法则进行计算即可；

（5）逆用乘法分配律进行计算．

111

【详解】（1）解：原式＝×（1.25×8）＝×10，＝；

20202

7537

（2）解：原式＝×36﹣×36+×36﹣×36＝28﹣30+27﹣14＝11；

96418

（3）解：原式＝﹣（10×0.1）×8.24＝﹣1×8.24，＝﹣8.24；

51236

（4）解：原式；

6555

627

（5）解：原式43637，27．

77

【点睛】本题考查有理数的乘法，熟练掌握乘法法则和乘法分配律是解题的关键．

【考点三倒数】

1

例题：（2023·江苏镇江·统考二模）的倒数等于．

2023

【答案】2023

【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．

1

【详解】解：的倒数是2023．

2023

故答案为：2023．

【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．

【变式训练】

1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）有理数5的倒数是．

1

【答案】/0.2

5

【分析】如果两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，根据倒数的定义进行求解即可．

1

【详解】解：有理数5的倒数是，

5

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1

故答案为：

5

【点睛】此题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．

2

2．（2023秋·全国·七年级专题练习）1的倒数是；2.5的倒数是．

3

3

【答案】2

55

【分析】利用互为倒数的意义求解即可．

232

【详解】解：∵11，2.51，

355

232

∴1的倒数是；2.5的倒数是，

355

32

故答案为：；．

55

【点睛】本题考查了倒数的求法．熟练掌握带分数和小数的倒数的求法是解答本题的关键．

【考点四有理数乘法运算律】

11

例题：（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算：175250.12550

88

【答案】25

1

【分析】将0.125改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．

8

111

【详解】解：原式1752550

888

1

1752550

8

1

200

8

25．

【点睛】本题考查乘法分配律．熟练掌握乘法分配律是解题的关键．

【变式训练】

533545

1.（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）1

135513513

1

【答案】

13

【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果．

533545

【详解】1

135513513

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583545

135513513

5834

13555

51

135

1

．

13

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键．

2.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：

98

(1)2.3

49

7511

(2)236

9126

151515

(3)8124

292929

23

【答案】(1)

5

(2)19

(3)0

【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；

（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；

（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．

98923823

【详解】（1）解：2.3；

4941095

7511

（2）解：236

9126

7511

363623636

9126

28157266

10081

19

1515151515

（3）解：8124812400

2929292929

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．

【考点五有理数乘法的实际应用】

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例题：（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，

不足的部分用负数来表示，记录如下表

标准质量的差（单位：千克）21.51022.53

箱数1322241

请解答下列问题：

(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重千克．

(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？

(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？

【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克．

(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克．

(3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元．

【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到；

（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；

（3）用单价乘以总质量，即可得到答案．

【详解】（1）解：325（千克），

答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克．

（2）解：21.531202222.54318.5（千克），

答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克．

（3）解：25158.5383.5（千克），

383.583068（元），

答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键．

【变式训练】

1.（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，

一周进出数的记录如下表(单位∶吨)

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

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261642302596

表中星期五的进出数被墨水涂污了．

(1)请你算出星期五的进出数；

(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？

【答案】(1)星期五的进出数为18吨

(2)1160元

【分析】（1）用这周进出数之和6减去除星期五的进出数，即可得；

（2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得．

【详解】（1）解：周五的进出数为626164230259

62616423025918(吨)，

答：星期五的进出数为18吨．

（2）解：这一周的装卸费为：2616423018259101660(元)．

【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点．

2.（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营

是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米）15，3，

14，11，10，18，14

(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？

(2)离开下午出发点最远时是__________千米；

(3)若汽车的耗油量为0.15升/千米，油价为9.6元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？

【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边

(2)26

(3)122.4元

【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，

反之在西边；

（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；

（3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和．

【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离15(3)14(11)10(18)1421（千米）．

答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；

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（2）解：当行程为15千米时离开下午出发点15千米；

当行程为3千米时离开下午出发点15312（千米）；

当行程为14千米时离开下午出发点121426（千米）；

当行程为11千米时离开下午出发点261115（千米）；

当行程为10千米时离开下午出发点151025（千米）；

当行程为18千米时离开下午出发点25187（千米）；

当行程为14千米时离开下午出发点71421（千米）；

∵26252115127，

∴离开下午出发点最远时是26千米，

答：离开下午出发点最远时是26千米；

（3）解：∵这天下午小李所走路程

1531411101814

1531411101814

85（千米），

∴这天下午共需付油钱850.159.6122.4（元），

答：这天下午共需支付122.4元油钱．

【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和．

【考点六有理数的除法运算】

1

例题：（2023·浙江·七年级假期作业）计算：1．

3

【答案】3

【分析】根据有理数的除法，求解即可．

1

【详解】解：13，

3

故答案为：3

【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．

【变式训练】

5

1.（2023·全国·九年级专题练习）计算：()(15)．

4

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1

【答案】

12

【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值．

5511

【详解】解：()(15)()

441512

1

故答案为：．

12

【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．

2

2.（2023春·上海·六年级专题练习）计算：3()＝．

3

9

【答案】

2

【分析】两个负数相除，结果为正，再利用除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可．

39

【详解】解：原式＝﹣3×（﹣）＝，

22

9

故答案为：．

2

【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

【考点七有理数的乘除混合运算】

例题：（2023·江苏·七年级假期作业）计算：

1211

(1)；(2)(32)4；(3)24(2)1．

2345

1

【答案】(1)

3

(2)2

(3)10

【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算

即可；

（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；

（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可．

12121

【详解】（1）解：；

23233

11111

（2）解：(32)4(32)322；

44444

11515

（3）解：24(2)1242410．

52626

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【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键．

【变式训练】

1.（2023·全国·七年级假期作业）计算：

114

(1)861.25；(2)8128．

349

【答案】(1)20

(2)2

【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；

（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．

11

【详解】（1）解：861.2581.25610220；

33

14441441

（2）解：812881812．

49998998

【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算．

2.（2023·全国·七年级假期作业）计算：

331

(1)3÷（）÷（）；(2)（12）÷（4）÷（1）；

445

2711

(3)（）×（）÷0.25；(4)（2）÷（5）×（3）．

3823

16

【答案】(1)

3

5

(2)

2

7

(3)

3

5

(4)

3

【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；

（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；

（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；

（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．

4416

【详解】（1）原式＝3()()；

333

155

（2）原式＝(12)()()；

462

277

（3）原式＝()()4；

383

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51105

（4）原式＝()()()．

2533

【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．

【过关检测】

一、单选题

2

1．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）的倒数为（）

3

2331

A．

B．

C．

D．

3223

【答案】C

【分析】根据乘积为1的数互为倒数，可得一个数的倒数．

23

【详解】解：的倒数为

．

32

故选：C．

【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．

2．（2023·浙江温州·校考三模）计算(2)3的结果是（）

A．1B．1C．6D．6

【答案】D

【分析】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此求出算式的值是多少

即可．

【详解】解：(2)36．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握运算法则．

3．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（）

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111

A．020B．1188

228

C．33339D．3283284

【答案】B

【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可．

1

【详解】解：A、0(2)0()0，故此选项错误，不符合题意；

2

1

B、1()1(8)8，故此选项正确，符合题意；

8

1

C、(3)(3)31，故此选项错误，不符合题意；

3

D、(32)(8)3284，故此选项错误，不符合题意，

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数除法，熟记有理数除法法则是解题的关键．

4．（2023·全国·七年级假期作业）已知a12233445，b123234345，判断下

列叙述何者正确？()

A．a，b皆为正数B．a，b皆为负数

C．a为正数，b为负数D．a为负数，b为正数

【答案】C

【分析】根据有理数的乘法法则判断a，b的符号即可求解．

【详解】解：a12233445中共有4个负数相乘，

a为正数，

b123234345中共有3个负数相乘，

b为负数，

a为正数，b为负数，

故选：C．

【点睛】本题考查了有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．

5．（2023·广东茂名·校联考三模）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（）

a

①0，②ab0，③ab0，④ab．

b

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A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【分析】根据数轴上点的位置，利用有理数的乘除，减法法则判断即可得到结果．

【详解】解：由数轴上点的位置得：b0a，且ab，

a

∴0，ab0，ab0，ab，

b

则结论正确的共有2个．

故选：B．

【点睛】此题考查了有理数的乘除法，数轴，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

二、填空题

1

6．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）计算：14．

4

1

【答案】

16

【分析】按照有理数乘除混合运算顺序进行计算即可有理数乘除混合运算．

1111

【详解】解：141,

44416

1

故答案为：

16

【点睛】此题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

7．（2023·全国·七年级假期作业）在2，3，4，12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是．

【答案】6

【分析】取异号两数相除，商绝对值较大．

【详解】解：根据题意得，

商最小的是：1226．

故答案为：6．

【点睛】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．

8．（2023·江苏·七年级假期作业）在数5、1、3、5、2中任取两个数相乘，其中最大的积是，最

小的积是；任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是．

【答案】15257530

【分析】根据乘法法则，当偶数个负数相乘时积为正，当奇数个负数相乘时积为负，即可解决最大积和最

小积的问题．

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【详解】解：任取两个数相乘，其中最大的积是5315，最小的积是5525，

任取三个数相乘，其中最大的积是53575，最小的积是53230，

故答案为：15，25，75，30．

【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的乘法，解题关键要掌握有理数的大小比较、有理数的乘

法法则．

1b

9．（2023·浙江·七年级假期作业）若规定ab，试求274的值．

a2

71

【答案】/3.5/3

22

【分析】根据ab为a的倒数的相反数除以b的一半计算即可．

1b

【详解】解：ab，

a2

274

17

4

22

1

4

7

4

7

2

7

，

2

7

故答案为：．

2

【点睛】本题考查了新定义，有理数的除法运算，解题的关键是理解题意，根据新定义进行运算．

10．（2023·浙江·七年级假期作业）观察有理数a、b、c在数轴上的位置并比较大小：cbab0．

【答案】＜

【分析】根据数轴判断出cb和ab的正负，即可得出答案．

【详解】解：由题意可知：a0bc，bac，

所以cb0，ab0．

所以cbab0．

故答案为：＜．

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【点睛】本题考查了数轴，掌握数轴上数的排列特点和有理数的运算法则是解题的关键．

三、解答题

11．（2023春·黑龙江大庆·六年级统考期末）怎样简便就怎样算．

519

(1)0.2385150.23；(2)6．

14614

【答案】(1)23；

1

(2)．

6

【分析】（1）直接利用乘法分配律逆运算计算即可；

（2）先把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律逆运算计算即可．

【详解】（1）0.2385150.230.2385150.2310023，

519511959111

（2）61．

146141466141414666

【点睛】此题考查了运算定律与简便运算，解题的关键是灵活运用运算律进行简便计算．

12．（2023·浙江·七年级假期作业）计算（能用简便方法的要用简便方法）：

12111

(1)62(1.5)；(2)4362；

53324

710

(3)(2.1)；(4)(375)(8)(375)(9)375(7)；

107

113221

(5)；(6)416．

42614377

【答案】(1)5.3

11

(2)2

12

30

(3)

7

(4)3750

1

(5)

14

6

(6)6

7

【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；

（2）根据有理数的加减法可以解答本题；

（3）根据有理数的乘除法可以解答本题；

（4）根据乘法分配律简便计算；

（5）先计算括号内的，再根据有理数的除法即可解答本题；

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（6）根据有理数的除法即可解答本题．

1

【详解】（1）解：62(1.5)620.21.541.3=5.3；

5

211121111111

（2）解：4362(43)(62)142；

332433243412

71021101030

（3）解：(2.1)；

10710777

（4）解：(375)(8)(375)(9)375(7)375837593757

375(897)375103750；

1132211434151

（5）解：

4261437426614144262

1531111

3；

42664234214

16616

（6）解：416(42)6(4266)(7)6．

77777

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从

左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律

的运用，使运算过程得到简化．

13．（2023春·上海·六年级专题练习）计算：

5114

（1）2.5；（2）27224；

8449

31111

（3）313；（4）42；

52422

2411341

（5）5127；（6）1.

7548432

214

【答案】（1）1；（2）；（3）-；（4）8；（5）-1；（6）1

925

【分析】（1）把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；

（2）（3）（5）把带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；

（4）把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；

（6）先算绝对值，再算乘除法.

581

【详解】（1）原式==1；

254

4412

（2）原式=27=；

99249

374114

（3）原式==-；

525325

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1

（4）原式=422=8；

2

7491

（5）原式=5=1；

9547

9441

（6）原式==1.

8332

【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握混合运算的顺序及运算法则是解答本题的关键.

14．（2023·浙江·七年级假期作业）已知算式“925”．

(1)嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为21，则嘉嘉把“5”错写成了________；

(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？

【答案】(1)3

(2)比原题的正确结果大11

【分析】（1）将数字“5”改成空格，采用有理数的运算可以得到结果．

（2）重新计算得结果，再作差运算得到结果．

【详解】（1）92——21

——9221

——1821

——3

所以把“5”错写成了“3”

（2）原题正确结果92518523，

淇淇的结果：92512，

1223122311，所以结果比原题的正确结果大11．

【点睛】本题采用灵活的形式进行有理数的混合运算，须小心审题，看清题目的要求，正确提取信息和计

算是解题的关键．

15．（2023秋·七年级单元测试）现定义一种新运算“”，规定ababab，如131313，请用

上述规定计算下面格式：

(1)42；

(2)256．

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【答案】(1)10

(2)125

【分析】根据定义的新运算，结合有理数的混合运算法则，进行计算即可．

【详解】（1）解：ababab，

42424210；

（2）解：由ababab，得：

25252517，

176176176125，

(25)6125．

【点睛】本题属于定义新运算的题目，涉及有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则．

24

16．（2023秋·全国·七年级专题练习）学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49(5)，

25

看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：

124912494

小明，原式5249；

2555

24244

小军：原式49(5)49(5)(5)249；

25255

（1）根据上面的解法对你的启发，请你再写一种解法；

15

（2）用你认为最