专题34 规律探究性问题（解析版）

模块三重难点题型专项训练

专题34规律探究题专训

规律探索类问题的特征是给出若干个按照一定顺序排列的具有某种特定变化规律的数、式或图形，

要求解题者通过观察、分析、归纳和猜想等一系列活动找出蕴藏于其间的一般性规律。这类较为新颖

的探索型问题不仅可以锻炼学生的逻辑推理能力，培养创新意识和创新能力，而且还具有较强的综合

性和较高的区分度，因此成为近年各地中考数学中的一个考查热点。

1317911

例1（2022·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：，-，，，，，…．则

252172637

按此规律排列的第10个数是（）

19211921

A．B．C．D．

1011018282

【答案】A

5

【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n21，且奇数项是正，偶数项

10

是负，据此即可求解．

1357911

【详解】原数据可转化为：,,,,,,，

2510172637

111211

∴1，

2121

321221

1，

5221

531231

1，

10321

..．

n12n1

∴第n个数为：1，

n21

101210119

∴第10个数为：1．

1021101

故选：A．

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．

例2（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，

第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数

是（）

第1页共51页.

A．297B．301C．303D．400

【答案】B

【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．

【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，

第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；

第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；

第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；

第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，

……，

第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．

例3（2022·新疆·统考中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

A．98B．100C．102D．104

【答案】B

【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解．

【详解】观察数字的变化可知：

第n行有n个偶数，

因为第1行的第1个数是：2102；

第2页共51页.

第2行的第1个数是：4212；

第3行的第1个数是：8322；

…

所以第n行的第1个数是：nn12，

所以第10行第1个数是：109+292，

所以第10行第5个数是：9224100．

故选：B．

【点睛】本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键．

例4（2022·重庆·统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第

②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数

为（）

A．15B．13C．11D．9

【答案】C

【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123；第③个图案中菱形的个

数：1225；…第n个图案中菱形的个数：12n1，算出第⑥个图案中菱形个数即可．

【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；

第②个图案中菱形的个数：123；

第③个图案中菱形的个数：1225；

…

第n个图案中菱形的个数：12n1，

∴则第⑥个图案中菱形的个数为：126111，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．

例5（2022·重庆·统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，

第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下

第3页共51页.

去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）

A．32B．34C．37D．41

【答案】C

【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可

得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．

【详解】解：第1个图中有5个正方形；

第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；

第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；

第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；

．．．

第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；

当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是

解决问题的关键．

例6（2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，…

根据其中的规律可得7071L72022的结果的个位数字是（）

A．0B．1C．7D．8

【答案】C

【分析】观察等式，发现尾数分别为：1，7，9，3，1，7，9，3每4个数一组进行循环，所以202345053，

进而可得707172022的结果的个位数字．

【详解】解：观察下列等式：

701，717，7249，73343，742401，7516807，，

发现尾数分别为：

1，7，9，3，1，7，，

所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，

第4页共51页.

(20221)45053，

每4个数一组进行循环，

所以202345053，

而179320，

5052017910117，

所以707172022的结果的个位数字是7．

故选：C．

【点睛】本题考查了尾数特征、有理数的乘方，解题的关键是根据题意寻找规律．

例7（2021·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，……，第n个单项式

是（）

2

A．n2an1B．n2an1C．nnan1D．n1an

【答案】A

【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，

然后即可写出第n个单项式，本题得以解决．

【详解】解：∵一列单项式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，...，

∴第n个单项式为n2an1，

故选：A．

【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相

应的单项式．

14710

例8（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律

251017

排列，则第30个数是_____．

88

【答案】

901

3n2

【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n＝30时即可求解．

n21

14710

【详解】解：∵，，，…，

251017

3n2

∴第n个数是，

n21

3n2330288

当n＝30时，==，

n213021901

88

故答案为：．

901

第5页共51页.

【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．

12

例9（2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数

27

112

记为an，且满足．则a4________，a2022________．

anan2an1

11

【答案】

53032

2

【分析】由题意推导可得an=，即可求解．

3(n1)1

2122

【详解】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，

1247

112

∵，

a2a4a3

1

∴2+=7，

a4

12

∴a4=，

510

112

∵，

a3a5a4

2

∴a5=，

13

12L

同理可求a6=，

816

2

∴an=，

3(n1)1

21

∴a2022=，

60643032

11

故答案为：，．

53032

【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．

111111111

例10（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……

23634124520

(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．

111

【答案】(1)

nn1n(n1)

(2)见解析

【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个

式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘

第6页共51页.

111

积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．

nn1n(n1)

111

（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．

nn1n(n1)

11111

【详解】（1）解：∵第一个式子，

23621221

11111

第二个式子，

341231331

11111

第三个式子，

452041441

……

111

∴第（n+1）个式子；

nn1n(n1)

11n1n11

（2）解：∵右边==左边，

n1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n

111

∴．

nn1n(n1)

【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的

变化规律．

例11（2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：

222

第1个等式：21122122，

222

第2个等式：22134134，

222

第3个等式：23146146，

222

第4个等式：24158158，

……

按照以上规律．解决下列问题：

(1)写出第5个等式：________；

(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

222

【答案】(1)2516101610

222

(2)2n1(n1)2n1(n1)2n，证明见解析

【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；

222

（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为2n1(n1)2n1(n1)2n，利用完全

第7页共51页.

平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．

【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：

222

2516101610，

222

故答案为：2516101610；

222

（2）解：第n个等式为2n1(n1)2n1(n1)2n，

证明如下：

2

等式左边：2n14n24n1，

22

等式右边：(n1)2n1(n1)2n

(n1)2n1(n1)2n(n1)2n1(n1)2n

(n1)4n11

4n24n1，

222

故等式2n1(n1)2n1(n1)2n成立．

【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关

键．

例12（2021·山东青岛·统考中考真题）问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最

短边长，第三边长）的形式记为1,1,1，有1个，所以总共有111个整数边三角形．

表①

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

111,1,111个111

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当

第8页共51页.

最短边长为1时，第三边长只能是2，记为2,1,2，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记

为2,2,2，有1个，所以总共有11122个整数边三角形．

表②

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

12,1,21

22个112

22,2,21

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：

表③

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

13,1,31

个

323,2,2，3,2,322222

33,3,31

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：

表④

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

14,1,41

24,2,3，4,2,42

43个223

34,3,3，4,3,42

44,4,41

第9页共51页.

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：

表⑤

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

15,1,51

25,2,4，5,2,52

53__________________

45,4,4，5,4,52

55,5,51

问题解决：

（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．

（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形

个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数．

（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．

(n1)2

【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当n为奇数时，整数边三角形个数为；当n

4

n(n2)

为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295

4

【分析】问题探究：

根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；

问题解决：

（1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的

三角形的个数；

（2）分两种情况讨论：当n为奇数，当n为偶数，再从具体到一般进行推导即可；

第10页共51页.

n(n2)

（3）当最长边长n128时，n为偶数，再代入进行计算，即可得到答案；

4

拓展延伸：

(n1)2100

分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：25个，当9是侧

44

棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：1246912162070

个，从而可得答案.

【详解】解：问题探究：

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

535,3,3，5,3,4，5,3,533个333

问题解决：

（1）最长边长为1的三角形有：11个，

最长边长为2的三角形有：12个，

最长边长为3的三角形有：22个，

最长边长为4的三角形有：23个，

最长边长为5的三角形有：33个，

所以最长边长为6的三角形有：3412个，

故答案为：12

（2）由（1）得：

2

211

最长边长为1的三角形有：111个，

2

2

231

最长边长为3的三角形有：222个，

2

2

251

最长边长为5的三角形有：333个，

2

2

所以当n为奇数时，整数边三角形个数为(n1)；

4

222

最长边长为2的三角形有：12个，

22

第11页共51页.

442

最长边长为4的三角形有：23个，

22

662

最长边长为6的三角形有：34个，

22

n(n2)

所以当n为偶数时，整数边三角形个数为.

4

（3）当最长边长n128时，n为偶数，

n(n2)1281282

可得此时的三角形个数为：641304160.

42

故答案为：4160

拓展延伸：

当9是底边的棱长时，

(n1)2100

最长边长为9的三角形个数有：25个，

44

而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，

所以这样的直三棱柱共有：259225个，

当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，

底边三角形共有：1246912162070个，

所以这样的直三棱柱共有：70个，

综上，满足条件的直三棱柱共有22570295个.

故答案为：295.

【点睛】本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图

形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键.

一、递进式变化规律

递进变化类的规律题通常给出若干个按照某种特定的递进变化规律(递增或递减)排列的

数、式或图形等内容，要求从这些已知量的观察分析中找出变化的一般规律。学生很容易看出

题目呈现的是一列递进变化的量，但较难归纳出一个统一的表达式来表示变化的一般规律，而

变化的一般规律常常与已知量的排列序号有关联。因此在解决此类问题时，首先要按照题目中

的排列顺序给已知量编上序号；然后找出已知量中变化和不变的部分，分析序号和变化部分之

第12页共51页.

间的数量关系，猜想和归纳出第n个量的含有n的表达式，得出一般规律；最后将序号代回表

达式算出结果，比较所得结果与对应数值是否一致，验证猜想的正确性，得出最终结果。

1、数与式的递进变化规律

这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的数字、等式或代数式等，

要求变化的一般规律。解决这类题目的关键在于根据前若干项已知量(若没直接给出则需根据

题目的信息求出来)的变化部分找出与它们对应的排列序号之间的数量关系，从而得出变化的

一般规律。

2、图形变化中的数量递进变化规律

与图形有关的递进变化规律题归根结底考查的也是图形在变化过程中图案的个数、图形的

周长或面积、线段的长度等这些量的变化规律。解决这类问题要仔细观察并找出图形变化与不

变的部分，研究变化部分的图形变化和数量变化的规律，找出不变部分的固定数量，分析变化

部分的数量与对应的图形排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。

3、图表中的数字递进变化规律

这类题目的规律蕴藏在图表中的数字变化中，解题的关键在于寻找图表中每行、每列中的

数字之间关系和排列顺序，以及行与行之间、列与列之间的联系，此外还应观察图表中的数与

它所处的列数和行数间的数量变化规律。

【变式1】（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）下列中国结图形都是边长为“1”的正方形按照一定规

律组成，第①个图形中共有7个边长为“1”的正方形，第②个图形中共有12个边长为“1”的正方形，第③个

图形中共有17个边长为“1”的正方形，，依此规律，第⑥个图形中边长为“1”的正方形的个数是（）

A．25B．27C．30D．32

【答案】D

【分析】根据图形规律，发现后一个图形比前一个多5个，归纳出通用公式代入求值即可．

第13页共51页.

【详解】解：第①个图形边长为1的小正方形有7个，

第②个图形边长为1的小正方形有7512个，

第③个图形边长为1的小正方形有75217个，

第n个图形边长为1的小正方形有75n15n2个，

所以第⑥个图形中边长为1的小正方形的个数为56232个．

故选：D．

【点睛】本题考查了观察了数字规律探索；根据相邻数字找到规律，推出规律公式是解题的关键．

【变式2】（2022·重庆·重庆八中校考二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4

个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则

第⑦个图案中黑色圆点的个数为（）

A．12B．14C．16D．18

【答案】C

【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多2个黑色圆点，利用此规律求解即可．

【详解】解：第①个图案中有4个黑色三角形，

第②个图案中有4+2×1=6个黑色三角形，

第③个图案中有4+2×2=8个黑色三角形，

…，

按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为4+2×(n-1)=2n+2，

∴第⑦个图案中黑色三角形的个数为2×7+2=16，

故选：C．

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形

的个数为2n+2．

【变式3】（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正

方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第_________个图案中有2021个涂有阴影的小正方形．

第14页共51页.

【答案】505

【分析】根据第一个图案有5405个小正方形有阴影，第二个图案有5419个小正方形有阴影，第

三个图案有54213个小正方形有阴影，则第n个图案有54(n1)个小正方形有阴影，据此规律进行解

答即可．

【详解】解：∵第一个图案有5405个小正方形有阴影，

第二个图案有5419个小正方形有阴影，

第三个图案有54213个小正方形有阴影，

．．．

第n个图案有54(n1)个小正方形有阴影，

根据题意得：54(n1)2021，

解得：n505，

∴第505个图案中有2021个涂有阴影的小正方形，

故答案为：505．

【点睛】本题考查了图形的变化规律，读懂题意，根据图形得出相应的规律是解本题的关键．

【变式4】（2022·山东泰安·模拟预测）我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是

2

一例，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应aba22abb2展开式中的系数；第四

3

行的四个数1，3，3，1，恰好对应着aba33a2b3ab3b3展开式中的系数；请根据规律直接

4

写出a6的展开式______．

【答案】a424a3216a2864a1296

【分析】先根据图形得出第五行的四个数是1，4，6，4，1，再求出答案即可．

【详解】解：根据题意得:第五行的四个数是1，4，6，4，1，

第15页共51页.

4

即a6展开式中的系数依次为1，4，6，4，1，

4

a6

a44a366a2624a6364

a424a3216a2864a1296，

故答案为：a424a3216a2864a1296．

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知图形得出规律是解此题的关键．

【变式5】（2022·浙江台州·统考二模）浙江从3月6日至3月20日新增新冠确诊人数和无症状人数情况

如下表，根据表中数据绘制出如下的折线统计图，请根据统计图表分析：

日期67891011121314151617181920

确诊1616182454154328383223303

无症状34883334311371712822242617

(1)在统计的这段时期内，新增确诊和无症状感染者总人数在60人以上的天数有______天；

(2)3月6日至3月20日平均每天有多少个确诊的新冠病人？

(3)请比较分析这段时间确诊人数与无症状感染人数的整体水平与变化规律，并对下阶段防疫工作提出一条

合理化的建议．

【答案】(1)2

(2)21

(3)见解析

【分析】（1）从表格获取数据，将新增确诊与无症状感染者的人数相加，进行判断；

（2）求确诊人数的平均数即可；

（3）根据表格与折线统计图分析数据变化规律，结合实际情况提出建议即可．

第16页共51页.

（1）

解：分析表格数据可知，新增确诊和无症状感染者总人数在60人以上的天数有2天，分别是：3月11日，3

月12日；

（2）

1616182454154328383223303

解：21（人）．

15

答：3月6日至3月20日平均每天有21个确诊的新冠病人．

（3）

解：由折线统计图可得，这段时间确诊人数整体在1~54范围内波动，总体变化大致是先增加，后减少；而

无症状感染者人数每天在3~43范围内波动，总体呈反复增减变化情况，根据疫情实际情况，建议大家做好

防范，出门一定要戴好口罩，尽量不大量聚集．

【点睛】本题考查统计图表，求平均数，从表格和折线统计图中获取信息是解题的关键．

例1（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，

再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）

A．（22）5B．（22）6C．（2）5D．（2）6

【答案】C

【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的2，第1个正方形的边长为1，其对角线长为2；

223

第2个正方形的边长为2，其对角线长为2；第3个正方形的边长为2，其对角线长为2；•••；

n15

第n个正方形的边长为2．所以，第6个正方形的边长2．

【详解】解：由题知，第1个正方形的边长AB1，

根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC2，

2

根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF2，

第17页共51页.

3

根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF2，

4

根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN2，

5

根据勾股定理得，第6个正方形的边长2．

故选：C．

【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理找到正方形边长之间的2倍关系是解题的关键．

△

例2（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边

作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的

长度为（）

﹣22﹣

A．（2）nB．（2）n1C．（）nD．（）n1

22

【答案】B

【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．

【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，

∴OA2＝2；

∵△OA2A3为等腰直角三角形，

2

∴OA3＝2＝(2)；

∵△OA3A4为等腰直角三角形，

3

∴OA4＝22＝(2)．

∵△OA4A5为等腰直角三角形，

4

∴OA5＝4＝(2)，

……

n﹣1

∴OAn的长度为（2），

故选：B．

第18页共51页.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．

例3（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4……在x轴上且OA11，

OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3……按此规律，过点A1，A2，A3，A4……作x轴的垂线分别与直线

△

y3x交于点B1，B2，B3，B4……记OA1B1，OA2B2，OA3B3，OA4B4……的面积分别为S1，S2，S3，

S4……，则S2022______．

【答案】240413

3∥∥∥∥

【分析】先求出A1B13，可得S，再根据题意可得A1B1A2B2A3B3AnBn，从而得

OA1B12

△△

到OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，再利用相似三角形的性质，可得

222

S∶S∶S∶S∶∶S223n，即可求解．

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::2

【详解】解：当x=1时，y3，

∴点B11,3，

∴A1B13，

13

∴S13，

OA1B122

∵根据题意得：A1B1∥A2B2∥A3B3∥∥AnBn，

第19页共51页.

△△

∴OA1B1∽OA2B2∽OA3B3∽OA4B4∽……∽OAnBn，

∴S∶S∶S∶S：∶S2∶2∶2∶∶2，

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=OA1OA2OA3……OAn

∵OA11，OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3，……，

∴，2，3，，n1，

OA22OA342OA482……OAn2

222

∴S∶S∶S∶S∶∶S223n12462n2

OA1B1OA2B2OA3B3OA4B4……OAnBn=1:2:2:2::21:2:2:2::2

，

∴S22n2S，

OAnBnOA1B1

3

∴S2220222240413．

20222

故答案为：240413．

【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是

解题的关键．

例44．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，

B1A1O60,OA13,B1A11．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且B1A1D160,C1D1与射线OM交于

V

点B2，得C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且

V

B2A2D260,C2D2与射线OM交于点B3，得C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧

△

作菱形A3B3C3D3，且B3A3D360,C3D3与射线OM交于点B4，得C3B3B4；…，按此规律进行下去，则

△

C2022B2022B2023的面积___________．

4042

34

【答案】

63

第20页共51页.

【分析】过点B1作B1DOA1于点D，连接B1D1,B2D2,B3D3，分别作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

然后根据菱形的性质及题意可得B1D1//OA1,B2D2//OA1,B3D3//OA1，则有

3

tanOtanBBDtanBBDtanBBD，进而可得出规律进行求解．

2113224335

【详解】解：过点B1作B1DOA1于点D，连接B1D1,B2D2,B3D3，分别作B2HB1D1,B3GB2D2,B4EB3D3，

如图所示：

∴B1DOB1DA1B2HD1B3GD2B4ED390，

∵B1A1O60，

∴DB1A130，

∵B1A11，OA13，

115

∴DABA，OD，

121122

3

∴BDAB2AD2，

11112

BD3

∴tanO1，

OD5

∵菱形A1B1C1D1，且B1A1D160，

∴A1B1D1是等边三角形，

∴A1B1D160，B1D1A1B11，

∵A1B1D1OA1B160，

∴OA1//B1D1，

∴OB2B1D1，

第21页共51页.

3

∴tanBBDtanO，

2115

设B2D1x，

∵B2D1H60，

13

∴HDBDcos60x,BHBDsin60x，

12122212

B2H5

∴B1Hx，

tanB2B1H2

511

∴xx1，解得：x，

223

1

∴BD，

213

4

∴AB，

223

416

同理可得：BD，BD，

3294327

1664

∴AB,AB，

3394427

n1n1

由上可得：4，14，

AnBnBn1Dn

333

20212202120