专题06 平面直角坐标系（4大考点）（解析版）

第三部分函数

专题06平面直角坐标系（4大考点）

核心考点一平面直角坐标系中点的坐标特征

核心考点二函数及其自变量的取值范围

核心考点

核心考点三实际问题中分析、判断函数图象

核心考点四几何问题中分析、判断函数图象

新题速递

核心考点一平面直角坐标系中点的坐标特征

例1（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，点A的坐标为0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段

AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为m,3，则m的值为（）

4322153421

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，

可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得ACm21BCAB，可得

53

BDBC2CD2m28，OBAB2OA2m23，从而m23m28m，即可解得m．

3

【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：

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∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，

∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，

∴四边形EODC是矩形，

∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，

∵A（0，2），C（m，3），

∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，

∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，

∴ACAE2CE2m21BCAB，

在Rt△BCD中，BDBC2CD2m28，

在Rt△AOB中，OBAB2OA2m23，

∵OB＋BD＝OD＝m，

∴m23m28m，

化简变形得：3m4−22m2−25＝0，

5353

解得：m或m（舍去），

33

53

∴m，故C正确．

3

故选：C．

【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关

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线段的长度．

例2（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，

0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，

过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的

坐标为_____．

【答案】（210，﹣210）

【分析】首先把x＝1代入l1：y＝2x，可得点A1的坐标为（1，2），把y=2代入l2：y＝﹣x，可得点A2的坐

标为（﹣2，2），据此即可求得A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9的坐标，即可找到规律，据此即可求得．

【详解】解：当x＝1时，y＝2，

∴点A1的坐标为（1，2）；

当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，

∴点A2的坐标为（﹣2，2）；

同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），

A9（16，32），…，

22+12+12+1

∴A4n+1（2n，2n），A4n+2（﹣2n，2n），

2+12+22+22+2

A4n+3（﹣2n，﹣2n），A4n+4（2n，﹣2n）（n为自然数）．

∵20＝4×4+4，

2×4+22×4+21010

∴点A20的坐标为（2，﹣2），即（2，﹣2）．

故答案为：（210，﹣210）．

【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键．

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例3（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的

坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．

(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；

(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；

(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)图1是W，图2是X

【分析】（1）根据要求直接平移即可；

（2）在第四象限画出关于x轴对称的图形；

（3）观察图形可得结论．

（1）

解：如图所示，将点A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)得A(0,3)，B(1,0)，C(2,3)，

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（2）

解：如图所示，

（3）

解：图1是W，图2是X．

【点睛】本题考查了对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活

运用．

知识点：平面直角坐标系中点的坐标特征

1、各象限内点的坐标特征

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点P(x,y)在第一象限x0,y0

点P(x,y)在第二象限x0,y0

点P(x,y)在第三象限x0,y0

点P(x,y)在第四象限x0,y0

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上纵坐标为0，即y0

点P(x,y)在y轴上横坐标为0，即x0

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上原点（0，0）

5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上横纵坐标相等，即（xy）

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上横纵坐标互为相反数，即（xy）

注意：坐标轴上的点不属于任何象限。

6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

7、点到坐标轴及原点的距离

（1）点P(a,b)到x轴的距离等于b

（2）点P(a,b)到y轴的距离等于a

（3）点P(a,b)到原点的距离等于a2b2

8、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P（a，b）与关于x轴对称点的坐标为（a，-b）

点P（a，b）与关于y轴对称点的坐标为（-a，b）

点P（a，b）与关于原点对称点的坐标为（-a，-b）

口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号

9、点的平移

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点P（a，b）沿x轴向右（或向左）平移m个单位后对应点的坐标是am,b；

点P（a，b）沿y轴向上（或向下）平移n个单位后对应点的坐标是a,bn.

口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.

10、两点间的距离：

在x轴或平行于x轴的直线上的两点P1(x1,y)，P2(x2,y)间的距离为x1x2

在y轴或平行于y轴的直线上的两点P1(x,y1)，P2(x,y2)间的距离为y1y2

xxyy

任意两点P(x,y)，P(x,y)，则线段PP的中点坐标为12,12

1112221222

22

任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则线段P1P2x1x2y1y2

【变式1】（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，A，B两点的坐标分别为2,0，3,0，点C在

y轴正半轴上，且ACB45，则点C的坐标为（）

A．0,7B．0,210C．0,6D．0,35

【答案】C

【分析】在x轴的上方作等腰直角ABF，FBFA，BAF90，以F为圆心，FA为半径作圆O交y

15

轴于M，利用圆周角定理得出点C即为点M，再由等腰三角形的性质及坐标与图形得出F,，根据余

22

52

弦函数确定FAFBFCcos45AB，最后由点的坐标及勾股定理求解即可．

2

【详解】解：在x轴的上方作等腰直角ABF，FBFA，BFA90，以F为圆心，FA为半径作圆O

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交y轴于M，

1

∵ACBAFB45，

2

∴点C即为点M，

∵A2,0，B3,0，ABF是等腰直角三角形，

∴AB5，

551

∴点F的纵坐标为y，横坐标为x2，

F2F22

15

∴F,，

22

52

∴FAFBFCcos45AB，

2

设C0，m，

2

22

则1552，

m

222

解得m6或1（舍弃），

∴C0,6，

故选：C．

【点睛】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于

中考常考题型．

【变式2】（2022·天津红桥·统考三模）如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶

点C，D在第一象限，若点A0,2，点B3,0，则点C的坐标为（）．

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A．（2，3）B．（2，5）C．（5，2）D．（5，3）

【答案】D

【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，证明AOB≌BEC，得到BE=AO，EC=OB，计算OE的长即可．

【详解】如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E△．△

∵四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（3，0），

∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=3，

∴∠AOB=∠BEC=90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，

∴AOB≌BEC，

∴B△E=AO=2△，EC=OB=3，

∴OE=OB+BE=2+3=5，

∴点C（5，3），

故选：D．

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，线段与坐标的关系，熟练掌握正方形的性

质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键．

【变式3】（2022·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,1)，B(1,4)，C(1,1)，

将ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1)，再绕C1顺时

针方向旋转90得到△A2B2C1，则A2的坐标是___．

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【答案】(2,2)

【分析】根据题意，画出图形，可得结论．

【详解】解：如图，观察图象可知A2(2,2)．

故答案为：(2,2)．

【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．

【变式4】（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，

按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边

“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5……”的路线运动．设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐

标是_______________．

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3

【答案】1011.5,

2

333135

【分析】每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，点的横坐标规律：，1，，2，，

222222

n

3，…，，即可求解．

2

【详解】解：如图，过A1作A1Hx轴于H，则OA1H30，而OA11，

2

1

∴OH，213，

A1H1

222

333

∴每6秒的纵坐标规律：，0，，0，，0，

222

∵20236337余1，

3

∴点P2023的纵坐标为，

2

135n

由题意可知动点P每秒的横坐标规律：，1，，2，，3，…，，

2222

∴点P2023的横坐标为1011.5，

3

∴点的坐标，

P20231011.5,

2

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3

故答案为1011.5,．

2

【点睛】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角

形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．

【变式5】（2022·浙江舟山·校联考三模）在85的网格中建立如图的平面直角坐标系，平行四边形ABCD的

顶点坐标分别为O0,0，A3,4，C5,0．解答下列问题：

(1)点B坐标为；

(2)仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，

①将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；

②在线段AB上画点E，使BCE45．（保留画图过程的痕迹）

【答案】(1)8,4

(2)①见解析；②见解析

【分析】（1）利用第一象限点的坐标特征写出B点坐标；

（2）①利用网格特点和旋转的性质，画出B点的对应点D即可；

②连接BD，则BCD90，CBCD，再取格点G、F，连接GF交BD于P，则P点为BD的中点，所以

CP平分BCD，延长CP交AB于E点，则E点满足条件．

【详解】（1）解：（1）点B的坐标为8,4,

故答案为：8,4

（2）解：①如图，CD为所作；

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②如图，E点为所作．

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换、平行四边形性质、等腰三角形判定与性质、矩形的性质、三线合一

等知识，熟练掌握图形的旋转特征是解题关键．

核心考点二函数及其自变量的取值范围

x1

例1（2022·湖北黄石·统考中考真题）函数y的自变量x的取值范围是（）

x3x1

A．x3且x1B．x3且x1C．x3D．x3且x1

【答案】B

【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．

x30

【详解】解：依题意，

x10

∴x3且x1

故选B

【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．

1

例2（2021·四川巴中·统考中考真题）函数y2x中自变量x的取值范围是___________．

x3

【答案】x≤2且x≠−3

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【详解】解：由题意得，2−x≥0且x＋3≠0，

解得x≤2且x≠−3．

故答案为：x≤2且x≠−3．

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【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取

全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开

方数非负．

例3（2020·重庆·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分

12

析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y的图象并探究该函数的

x22

性质．

x⋯-4-3-2-101234⋯

⋯⋯

y2a-2-4b-4-2122

3113

（1）列表，写出表中a，b的值：a=____，b=．

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误

的用“×”作答）：

12

①函数y的图象关于y轴对称；

x22

12

②当x=0时，函数y有最小值，最小值为-6；

x22

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

21012210

（3）已知函数yx的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x的

33x2233

解集．

12

【答案】（1），6，作图见解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．

11

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【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a和b的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；

（2）观察图象即可判断；

12210

（3）找出函数y的图象比函数yx的图象低时对应的x的范围即可．

x2233

121212

【详解】（1）当x3时，a；当x0时，b6；

322112

12

∴a，b6，

11

12

故答案为：，6．

11

所画图象，如图所示．

12

（2）①观察图象可知函数y的图象关于y轴对称，故该说法正确；

x22

12

②观察图象可知，当x=0时，函数y有最小值，最小值为6，故该说法正确；

x22

③观察图象可知，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大，故该项题干说法错

误．

1221012210

（3）不等式x表现在图象上面即函数y的图象比函数yx的图象低，因

x2233x2233

12210

此观察图象，即可得到x的解集为：x＜-4或-2＜x＜1．

x2233

【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，

利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．

知识点：函数

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1、常量和变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为，数值始终不变的量为．

【注意】

①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一

个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变．例如，在s=t中，当

s一定时，v、t为变量，s为常量；当t一定时，s、v为变量，而t为常量．

②“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变

量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．

③变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．

④判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．

2、函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有

的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其

取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．

对函数定义的理解，主要抓住以下三点：

①有两个变量．

②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应

关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．

③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函

数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1

和x=-1时，y的对应值都是1．

④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一

个变量即为该自变量的函数.

3、函数取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必

须考虑两个方面：

①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；

②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使

第16页共69页.

实际问题有意义．

函数解析式形式自变量取值范围

a

含有分式，如yx0

x

含有二次根式，如yxx0

含有零次幂或负整数次幂，如yx0或yx1x0

注：在实际问题中，

x

yx0

x自变量的取值范围

含有分式与a应使该问题具有实

yx0

二次根式x际意义

a

ya0x0

x

分别求出它们的取值范围，

含以上两种或两种以上形式

再取公共部分

4、函数解析式及函数值

函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，

这种式子叫做函数的解析式．

①函数解析式是等式．

②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，

等式左边的变量表示函数．

③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函

数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量

y，右边是一个含x的代数式．

④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．

函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，

y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．

第17页共69页.

【变式1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）下列说法正确的个数是（）

①对角线相等的四边形是矩形

x1

②在函数y中，自变量x的取值范围是x1

2x3

③菱形既是中心对称图形又是轴对称图形

22

④若平均数相同的甲、乙两组数据，S甲0.3，S乙0.02，则乙组数据更稳定

⑤16的算术平方根是4

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【分析】根据矩形的判定，函数自变量的取值范围，菱形的性质，方差，算术平方根解答即可．

【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误；

x13

②在函数y中，自变量x的取值范围是x1且x，原说法错误；

2x32

③菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，说法正确；

22

④若平均数相同的甲、乙两组数据，S甲0.3，S乙0.02，则乙组数据更稳定，说法正确；

⑤164，4的算术平方根是2，原说法错误；

综上，正确的有③④，共2个，

故选：B．

【点睛】本题考查了矩形的判定，函数自变量的取值范围，菱形的性质，方差，算术平方根，熟练掌握各

知识点是解题的关键．

2

【变式2】（2021·河南周口·统考二模）已知函数y，其中f(a)表示xa时的函数值，则

1x

111

ffff1f2f2020f2021的值为（）

202120202

A．2020B．2021C．4040D．4041

【答案】D

122

f(a)f()2

【分析】根据题意可得：1，利用这种规律即可求解．

a1a1

a

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122

f(a)f()2

【详解】解：有题意可得：1，

a1a1

a

111

ffff1f2f2020f2021

202120202

220211

4041

故选：D．

【点睛】本题考查函数值求和问题，解题的关键是：通过题意找到多项函数值中两项之和为常数，然后两

两分为一组求和．

1229

【变式3】（2022·广东佛山·校考三模）已知0a1，且满足[a][a][a]18([x]表示不超

303030

过x的最大整数），则[60a]的值可以为__．

【答案】36或37

1229

【分析】首先理解x表示的含义，再结合0a1得出[a][a][a]中有多少个1，多少个0，

303030

然后求出a的取值范围，即可求解；

1229

【详解】0a1，0aaa2，

303030

1229

[a]，[a]，，[a]等于0或1，

303030

1229

[a][a][a]18，

303030

其中有18个1，

1211121329

[a][a][a]0，[a][a][a]1，

303030303030

1112

0[a]1，1„[a]2，

3030

18„30a19，

36„60a38，

[60a]的值可以是36或37，

故答案为：36或37．

【点睛】本题主要考查取整函数的知识点，能够准确理解题意，得出一定的规律是解题的关键．

第19页共69页.

x5

【变式4】（2022·江苏徐州·模拟预测）在函数y中，自变量x的取值范围是______．

x4

【答案】x≥5

【分析】根据分母不为零和二次根式的非负性计算即可；

【详解】根据题意可得：x50且x40，

∴x≥5；

故答案是：x≥5．

【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围，准确计算是解题的关键．

【变式5】（2021·甘肃·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，以下是探究函数y＝

2x3﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．

x…﹣2﹣10123456…

y…00.831.462.472.903.293.664.00…

(1)函数y＝2x3﹣2中自变量x的取值范围是；当x＝1时，y＝；

(2)在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值（x，y）画出该函数的图象；

(3)观察画出的图象，写出该函数的一条性质：．

【答案】(1)x≥-3；2

(2)图象见解析

(3)当x≥-3时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）．

【分析】（1）根据二次根式的非负性可知x取值范围；把x＝1代入函数解析式可得结论；

（2）根据描点，连线，可得函数图象；

（3）根据图象得出一条性质，合理即可，一般从增减性，对称性入手．

（1）

解：由解析式y＝2x3﹣2，根据二次根式的双重非负性可知：x+3≥0，

∴x≥-3，

第20页共69页.

将x=1带入解析式y＝2x3﹣2得：y＝213﹣2=2，

故答案为：x≥-3；2

（2）

表中数值（x，y）先描出各点，再顺次连接可得出该函数图像，如图所示：

（3）

有图象可知，当x≥-3时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）．

【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，熟练掌握描点作图，由图象得出函数图象性质是解题的关键．

核心考点三实际问题中分析、判断函数图象

例1（2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅

西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、

科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，

线段OM表示货车离西昌距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2(km)

与时间x(h)之间的函数关系，则以下结论错误的是（）

第21页共69页.

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇

B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h

C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h

D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60km

【答案】D

【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．

【详解】解：由题意可知，

货车从西昌到雅安的速度为：140460(km/h)，故选项B不合题意；

轿车从西昌到雅安的速度为：(24075)(31.5)110(km/h)，故选项C不合题意；

2

轿车从西昌到雅安所用时间为：2401102（小时），

11

299

32（小时），即A点表示h，

111111

设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：

9

60x110x，解得x1.8，

11

货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；

6020

轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：60=40km，故选项D错误，符合题意．

60

故选D．

【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．

例2（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过

程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图

中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）

①体育场离王强家2.5km

②王强在体育场锻炼了30min

第22页共69页.

③王强吃早餐用了20min

④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min

【答案】①③④

【分析】利用图象信息解决问题即可．

【详解】解：体育场离张强家2.5km，①正确；

王强在体育场锻炼了301515min，②错误；

王强吃早餐用了876720min，③正确；

3

王强骑自行车的平均速度是0.2km/min，④正确．

10287

故答案为：①③④．

【点睛】此题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

例3（2022·江苏南通·统考中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，

这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．

(1)写出图中点B表示的实际意义；

(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取

值范围；

第23页共69页.

(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元．求a的值．

【答案】(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等

25x0x30

(2)y20x0x120，y

15x30030＜x120

(3)80

【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；

（2）利用待定系数法求函数解析式即可；

（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500

元建立方程求解即可．

【详解】（1）解：由图可知：

B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．

（2）解：由图可知：ykxb过0,0，60,1200，

设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：ykx，

∴60k1200，解得：k20，

∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y20x0x120；

当0x30时，乙函数图象过0,0，30,750，

设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：ymx，利用待定系数

法得：30m750，解得：m25，

∴y25x；

当30＜x120时，乙函数图象过60,1200，30,750，

设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：yaxc，利用待定系

30ac750a15

数法得：，解得：，

60ac1200c300

∴y15x300；

综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为

25x0x30

y；

15x30030＜x120

第24页共69页.

（3）解：甲的利润为：20x8x12x，

25x12x13x0x30

乙的利润为：

15x30012x3x30030＜x120

∴当0a30时，

甲乙的利润和为：12a13a1500，解得a60（舍去）；

当30＜a120时，

甲乙的利润和为：3a30012a1500，解得a80；

∴当甲、乙两种苹果的销售量均为80kg时，它们的利润和为1500元．

【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用

信息．

知识点、函数的图象及其画法

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐

标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：

①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，

以便于描点，点数一般以5到7个为宜．

②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值

对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描

出的点大小要适中，位置要准确．

③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．

函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况

选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

实际问题中分析、判断函数的图象，关键在于要结合函数图象点的实际含义来理解；

第25页共69页.

【变式1】（2021·江苏宿迁·一模）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一

条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关

系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了1.6h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中

a＝340．其中正确的是（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【答案】D

【分析】根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．

【详解】解：当t=2h时，表示两车相遇，

880

2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为=80km/h，

3.62.5

设另一车的速度为x,

依题意得2（x+80）=360,

解得x=100km/h,

故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①正确；

快车速度比慢车速度多20km/h，②正确；

t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即慢车到达目的地；

t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，

故两车相距340m，即a=340，故③正确；

故选：D．

【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．

【变式2】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）小开家、加油站和湿地公园依次在同一直线上，端

午节期间，小开一家从家出发开车前往湿地公园游玩，经过加油站时，加满油后继续驶往目的地，汽车行

驶路程y（千米）与汽车行驶时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）

第26页共69页.

A．汽车经过30分钟到达加油站B．汽车加油时长为10分钟

C．汽车加油后的速度比加油前快D．小开家距离湿地公园45千米

【答案】C

【分析】观察图象，从图象中获取对应时间的路程和时间，再依次进行判断即可．

【详解】解：由图象可知，汽车经过30分钟到达加油站，故A正确；

由图象可知，汽车加油时长为40-30=10分钟，故B正确；

5

由图象可知，汽车加油后的速度为：（45-25）÷（80-40）=0.5千米/分，加油前速度为：25÷30=