专题21 与圆有关的计算（6大考点）（解析版）

第五部分圆

专题21与圆有关的计算（6大考点）

核心考点一弧长与扇形面积的相关计算

核心考点二与扇形有关的阴影部分面积计算

核心考点三圆切线与阴影部分求面积结合

核心考点

核心考点四圆锥、圆柱的相关计算

核心考点五圆与正多边形的相关计算

核心考点六圆的其他计算问题

新题速递

核心考点一弧长与扇形面积的相关计算

例1（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，AB23，ACB60，连接

OA，OB，则AB的长是（）

24

A．B．C．D．

333

【答案】D

【分析】过点O作ODAB于D，根据垂径定理求出AD，根据圆周角定理求出AOB，根据正弦的定义

求出OA，根据弧长公式计算求解．

【详解】解：过点O作ODAB于D，

第1页共86页.

1

则ADDBAB3，

2

由圆周角定理得：AOB2ACB120，

∠AOD60，

AD3

OA2

sinAOD3，

2

12024

l，

AB1803

故选：D．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．

例2（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D

按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．

【答案】24﹣634π

【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝43，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，

分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．

【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，

∴DE＝DC＝43，

AD231

∵cos∠ADE，

DE432

∴∠ADE＝60°，

∴∠EDC＝30°，

3048

∴S扇形EDC4π，

360

∵AEDE2AD248126，

∴BE＝AB﹣AE＝436，

第2页共86页.

4364323

∴S四边形DCBE24﹣63，

2

∴阴影部分的面积＝24﹣634π，

故答案为：24﹣634π．

【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键．

例3（2022·山东东营·统考中考真题）如图，AB为O的直径，点C为O上一点，BDCE于点D，BC

平分ABD．

(1)求证：直线CE是O的切线；

(2)若ABC30,O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)见解析

4

(2)3

3

【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及BC平分ABD推导出OCBDCB，即可得出BD∥OC，

从而推出OCDE，即证明得出结论；

（2）过点O作OFCB于F，利用S阴影S扇形OBCSVOBC即可得出答案．

【详解】（1）证明：连接OC，如图，

∵OBOC，

∴OBCOCB，

∵BC平分ABD，

第3页共86页.

∴OBCDCB，

∴OCBDCB，

∴BD∥OC，

∵BDCE于点D，

∴OCDE，

∴直线CE是O的切线；

（2）过点O作OFCB于F，如图，

∵ABC30，OB2，

∴OF1，BFOBcos303，

∴BC2BF23，

11

∴S△BCOF2313，

OBC22

∵BOF903060，

∴BOC2BOF120，

12024

∴S扇形2，

OBC3603

4

∴S阴影S扇形S3．

OBCOBC3

【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并

正确作出辅助线是本题的关键．

知识点一、弧长及扇形的面积

设⊙O的半径为R，n圆心角所对弧长为l，

（一）弧长的计算

第4页共86页.

nR

（1）弧长公式：l.

180

（2）公式推导：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就是圆周长C2R，所以1的圆心

角所

2RRnR

对的弧长是,即,于是n的圆心角所对的弧长为l.

360180180

注意：（1）在弧长公式中，n表示1的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径R6cm，计算20的圆

心角

206

所对弧长l时，不要错写成lcm.

180

（2）在弧长公式中，已知，l,n,R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

（二）扇形面积的计算

（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。

2

（2）扇形的面积：nR1为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。

S扇形=lR,Rl

3602

（3）公式推导：

①在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积SR2，所以圆心角是1的扇

22

形面积是R于是圆心角为的扇形面积是nR

,nS扇形.

360360

21

②nRnR11即其中为扇形的弧长，为半径。

S扇形=RlR,S扇形lR,lR

360180222

1

点拨：（1）扇形面积公式SlR与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧

2

长l看成底，半径R看成高即可。

21

（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式nR还是

S扇形S扇形lR.

3602

（3）已知S扇形,l,R,n四个量中任意两个，都可以求出另外两个。

（4）公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义是一样的，表示“1”的圆心角的倍数，计算时不带单

位。

【变式1】（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，⊙O的半径为10，ABC为⊙O的内接三

1

角形，ABAC，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接AD，BD，若DBADAB，则劣弧BD的长

3

度为（）

第5页共86页.

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【分析】连接OB，设DBAx，则DAB3x，通过圆周角定理得ACB4x，根据等腰三角形的性

质得CBD5x，再根据圆周勾股定理列出x的方程，便可求得BOD，进而根据圆弧长公式求得结果．

【详解】解：连接OB，

设DBAx，则DAB3x，

∵DBAACD，DABDCB，

∴ACBDCADCB4x，

∵ABAC，

∴ABCACB4x，

∴DBCDBAABC5x，

∵CD是⊙O的直径，

∴DBC90，

∴5x90，

∴x18，

∴DAB=3x54，

∵BOD2DAB108，

10810

∴BD6，

180

故选：C．

【点睛】本题主要考查了弧长公式，等腰三角形的性质，圆周角定理，关键是根据直角列出方程．

第6页共86页.

【变式2】（2023·山西吕梁·统考一模）如图所示的网格中小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，点

C是以AB为直径的圆与网格线的交点，O为圆心，点D是AC的中点，A，则图中阴影部分的的面积

为（）（用含的式子表示）

2525525

A．B．C．D．

360720360180

【答案】B

【分析】先证明SBECSADOSDEO和SBCDSABD，得到SDCESBEO，从而得到

2

5225．

S阴影

2360720

【详解】解：如下图所示，连接OD，CB，CO，CO交BD于点E，

由题意可得AB32425，

∵A，

∴COB2，

∵点D是AC的中点，

∴ODAD，ADCD,

∵AB为直径，

∴BCAC,

∴OD∥BC，

第7页共86页.

1

∴ODBC，

2

1221111

∴SBCDCODAD，SODDCODAD，SODAD,

BCE233DEO236ADO2

∴SBECSADOSDEO，

∵SBCDSABD,

∴SDCESBEO,

2

∴5225，

S阴影

2360720

故选：B．

【点睛】本题考查圆周角定理和弧形的面积，解题的关键是证得SDCESBEO．

【变式3】1（2023·安徽合肥·校考一模）如图，四边形ABCD内接于O，DABABC80，AOB90，

AB4，则劣弧DC的长度为______．

52

【答案】π

9

【分析】连结OD，OC，根据等腰直角三角形的性质求得OA22，OABOBA45，再根据等腰三

角形的性质和三角形的内角和定理求得DOC50，然后利用弧长公式求解即可．

【详解】解：连结OD，OC，

∵OAOB，AOB90，

∴AOB是等腰直角三角形，

∴AB2=OA2+OB2=2OA2，OABOBA45，又AB4，

∴OAOD22，

∵DABABC80，

∴OBCOCBOADODA35，

∴BOCAOD110，

∴DOC36021109050，

第8页共86页.

5022π52

∴劣弧DC的长度为π．

1809

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理、弧长公式，熟记弧长公式，掌握

等腰三角形的性质是解答的关键．

【变式4】（2023·河北邢台·统考一模）如图，从一个边长为2的铁皮正六边形ABCDEF上，剪出一个扇形CAE．

(1)ACE的度数为______．

(2)若将剪下来的扇形CAE围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______．

3

【答案】60##60度

3

【分析】根据正六边形的性质可求出ABBC2，BBCD120，进而求出阴影部分扇形的半径AC

»

和圆心角的度数，利用弧长公式求出AE的长，再根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径．

【详解】解：如图，过点B作BMAC于点M，

正六边形ABCDEF的边长为2，

ABBC2，ABCBCD120，

BACBCA30，

，

BM1，AMCM3

AC23，ACE120303060，

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»602323

AE的长为，

1803

设圆锥的底面半径为r，

23

则2r，

3

3

即r，

3

3

故答案为：60，．

3

【点睛】本题考查圆与正多边形，求弧长，求圆锥的底面半径，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的

相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是解题的关键．

【变式5】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，点D在O的直径AB的延长线上，点C在O上，AC平分

DAE，AECD于点E．

(1)求证：CD是O的切线．

(2)DF是O的切线，F为切点，若BD2，ADE30，求AF的长．

【答案】(1)见解析

4

(2)

3

【分析】（1）连接OC，证明OC∥AE，根据平行线的性质得到OCCD，根据切线的判定定理证明结论；

（2）连接OF，根据切线的性质得到OFDF，根据含30角的直角三角形的性质求出OF，根据弧长公

式计算，得到答案．

【详解】（1）证明：连接OC，如图所示，

OAOC，

第10页共86页.

OACOCA，

AC平分DAE，

OACEAC，

EACOCA，

OC∥AE，

QAECD，

OCCD，

OC为O的半径，

CD是O的切线；

（2）解：连接OF，

CD是O的切线，DF是O的切线，ADE30，

ODF30，OFDF，

DOF60，OD2OF，

AOF120，

BD2，ODOBBDOF22OF，

OFOC2，

12024

∴AF的长为：．

1803

【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的判定定理、弧长公式是解题的关键．

核心考点二与扇形有关的阴影部分面积计算

例1（2022·宁夏·中考真题）把量角器和含30角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，

移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即

OC2cm，BOF120）．则阴影部分的面积为（）

第11页共86页.

2222

A．23cmB．83cm

33

8282

C．83cmD．163cm

33

【答案】C

【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇

形的面积，即可求出答案．

【详解】在RtOCF中，COF180BOF60，

∴OFC90COF30，

OC2cm，

OF2OC4cm，

连接OE，则OEOF4cm，

∵外圆弧与斜边相切，

∴∠BEO＝90°，

在Rt△BOE中，B30，

DOE60，OB2OE8cm，

根据勾股定理得，BEOB2OE243，

2

16041882

S阴影SBOES扇形DOEBEOE43483cm，

2360233

故选：C．

【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，

求出圆的半径是解本题的关键．

例2（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰RtABC中，ABAC2，以A为圆心，以AB为半

¼

径作BDC﹔以BC为直径作CAB．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）

【答案】2

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【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，

可根据各自的面积计算方法求出面积即可．

【详解】解：∵等腰RtABC中，ABAC2

∴BC=2

902121

∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1），SABC22=1；

3602222

△

所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-SABC+S扇形ACB-SABC112．

22

△△

故答案是：2．

【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的

和差．

例3（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，CABDBA，连

结BC，CD．

(1)求证：CD∥AB．

(2)若AB4，ACD30，求阴影部分的面积．

【答案】(1)答案见解析

2

(2)

3

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，

进而得到结论；

（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形COD的面积相等，继而得到结论．

【详解】（）证明：∵⌒⌒，

1AD=AD

∴∠ACD＝∠DBA，

又∠CAB＝∠DBA，

∴∠CAB＝∠ACD，

∴CD∥AB；

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（2）解：如图，连结OC，OD．

∵∠ACD＝30°，

∴∠ACD＝∠CAB＝30°，

∴∠AOD＝∠COB＝60°,

∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．

∵CD∥AB，

∴SDOC=SDBC，

△△

∴S阴影=S弓形COD+SDOC=S弓形COD+SDBC=S扇形COD，

△△

∵AB＝4，

∴OA＝2，

npr260创p222

∴S扇形COD===p．

3603603

2

∴S阴影=．

3

【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的

关键．

【变式1】（2023·山东枣庄·校考一模）如图，将半径为4，圆心角为90的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在

旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C，则阴影部分的面积为（）

243

A．23B．43C．3D．3

332

【答案】B

第14页共86页.

【分析】连接BB，过A作AFBB于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形ABC的面积相等，

ABABBCBB4，求出ABB是等边三角形，求出ABF60，解直角三角形求出BF和AF，再

根据阴影部分的面积SS扇形ABCS扇形ABBSABB求出答案即可．

【详解】解：连接BB，过A作AFBB于F，则AFB90，如图，

将半径为2，圆心角为90的扇形BAC绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形BAC的弧上的点B处，点C

的对应点为点C，

扇形ABC和扇形ABC的面积相等，ABABBCBB4，

ABB是等边三角形，

ABF60，

BAF30，

1

BFAB2，

2

由勾股定理得：AF＝422223，

阴影部分的面积SS扇形ABCS扇形ABBSABB

904260421

＝423

3603602

4

43

3

故选：B．

【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识

点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n，

nr2

扇形的半径为r,那么扇形的面积S．

360

【变式2】（2023·山西临汾·统考一模）如图，ABC内接于圆O，已知ACB90，ACBC，顶点A，B，

C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积

为（）

第15页共86页.

2550252525502525

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

2442

【答案】C

【分析】利用半圆的面积减去ABC的面积，即可得解．

【详解】解：过点C作平行线的垂线，交过点A和点B的两条平行线分别于点E，F，

则：AECCFB90，

∵ACB90，

∴ACEFBC90FCB，

又∵ACBC，

∴△AEC≌△CFBAAS，

∴AECF，

∵相邻两条平行线间的距离是1cm，

∴CE3cm，AECF4cm，

∴ACBCAE2CE25cm，

∵ACB90，

∴ABAC2BC252cm，

2

15212550

∴2．

S阴影55(cm)

2224

故选C．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，求阴影部分的面积．解题的关键是证明三角形全

第16页共86页.

等，求出三角形的边长和圆的半径．

【变式3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，以AB为直径作半圆O，C为AB的中点，连接BC，以OB

为直径作半圆P，交BC于点D．若AB4，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】1##1π

【分析】如图，连接OC，根据S阴影S扇形AOCS△CDO求解即可．

【详解】解：如图，连接OC，

∵以AB为直径作半圆O，C为AB的中点，

∴ACBC，OCAB，

∵OB是小圆的直径，

∴ODB90，

∴ODBC，

∴CDBD，

∵AB4，

∴OAOBOC2，

∴BCOB2OC2222222，

∴ODCDBD2，

90221

∴S阴影S扇形S△221，

AOCCDO3602

∴图中阴影部分的面积为1．

故答案为：1．

【点睛】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理

第17页共86页.

等知识，解题的关键是学会用分割法求面积．垂径定理的推论，可以把垂径定理的题设和结论叙述为：一

条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在应用垂径定理解题时，只要具备

上述5条中任意2条，则其他3条成立．

【变式4】（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，曲线AMNB和MON是两个半圆，MN∥AB，大半圆半径

为4，则阴影部分的面积是______．

【答案】8π8

【分析】连接OM、ON，则OMON，阴影部分面积为扇形MON的面积半圆MON的面积三角形MON

的面积．

【详解】解：如图，连接OM、ON，

MN是半圆MON的直径，

OMON，且OMON4，

11

，22，

SMONOMON448MN4442

22

1290

，2，

S半圆MON=π4224πS扇形MON=π44π

2360

S阴影S扇形MONS半圆MONSMON4π4π88π8，

故答案为：8π8．

【点睛】本题考查了组合图形的面积计算，涉及到扇形面积、三角形面积、半圆的面积的计算，解题的关

键是把不规则图形面积计算通过割补的方法转化为规则的已学过的图形面积的计算．

【变式5】（2022·广东梅州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，ACB90，O与BC，AC分别相切于点E，

F，BO平分ABC，连接OA．

第18页共86页.

(1)求证：AB是O的切线；

(2)若BEAC6，O的半径是2，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)证明见解析

3

(2)10

2

【分析】（1）连接OE，过点O作OGAB于点G，如图，由切线的性质得到OEBC，再由角平分线的

性质得到OEOG，由此即可证明AB是O的切线；

（2）连接OE，OF，过点O作OGAB于点G，如图，先证明四边形OECF为正方形．得到

ECFCOEOF2．求出BC8，即可求出AB10．证明AO平分BAC，进而推出

1135223

OABOBC45，则AOB135．即可得到S阴影SS扇形10210=10．

OABOMN23602

【详解】（1）证明：连接OE，过点O作OGAB于点G，如图，

∵BC为O的切线，

∴OEBC．

∵BO平分ABC，OGAB，OEBC，

∴OEOG．

∴直线AB经过半径OG的外端G，且垂直于半径OG，

∴AB是O的切线；

（2）解：连接OE，OF，过点O作OGAB于点G，如图，

∵O与BC，AC分别相切于点E，F，

第19页共86页.

∴OEBC，OFAC，

∵ACB90，

∴四边形OECF为矩形，

∵OEOF，

∴四边形OECF为正方形．

∴ECFCOEOF2．

∵BEAC6，

∴BC8，

∴ABAC2BC210．

由（1）知：OGOE2，

∴OGOF，

∵OGAB，OFAC，

∴AO平分BAC，

∴∠OAB∠BAC．

∵BO平分ABC，

∴OBA∠ABC．

∵ACB90，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

1

∴OABOBCABCBAC45，

2

∴AOB135．

1135223

∴S阴影SS扇形10210=10．

OABOMN23602

【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与判定，

求不规则图形面积得到，正确作出辅助线是解题的关键．

第20页共86页.

核心考点三圆切线与阴影部分求面积结合

例1（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，边长为2的正方形ABCD内接于O，PA，PD分别与O

相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（）

55

A．5B．5C．D．

22224

【答案】C

【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得ED,DP的长，勾股定理求得AC的长，进而根据

1

S阴影=SS即可求解．

梯形ACEP2O

【详解】如图，连接AC,BD，

边长为2的正方形ABCD内接于O，即CD2，

AC2，AC，BD为O的直径，ECD90，

PA，PD分别与O相切于点A和点D，

EPBD，

四边形ABCD是正方形，

第21页共86页.

EBD45，

BED是等腰直角三角形，

EDBDAC2，

ACBD,PAAO,PDOD，

四边形OAPD是矩形，

OAOD，

四边形OAPD是正方形，

DPOA1，

EPEDPD213，

1

S阴影=SS

梯形ACEP2O

11

23112

22

5

=．

22

故选C．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识

是解题的关键．

例2（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，AB是O的切线，B为切点，OA与O交于点C，以点A

为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交AB,AC于点E，F．若OC2,AB4，则图中阴影部分的面积为

__________．

【答案】4

【分析】先证明�ABO90靶,O+�A90,再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得到答

案．

【详解】解：如图，连接OB，AB是O的切线，

\�ABO90靶,O+�A90,

第22页共86页.

Ð=Ð=

设On1,An2,

OC2,AB4

1

\OB=AE=2,SV=创24=4,

ABO2

npOB2npAE2

\S+S=1+2

扇形BOC扇形AEF360360

+p2

(n1n2)OB90p´4

===p,

360360

\S阴影=4-p.

故答案为：4

【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键．

例3（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切

线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．

(1)求证：∠ACO＝∠BCP；

(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；

(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

【答案】(1)见解析

(2)30°

(3)2π﹣23

【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；

（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；

1

（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝3BC，即得SABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去SABC

2

△△

第23页共86页.

即可解题．

【详解】（1）∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CP是半圆O的切线，

∴∠OCP＝90°，

∴∠ACB＝∠OCP，

∴∠ACO＝∠BCP；

（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，

∵∠ABC＝2∠BCP，

∴∠ABC＝2∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，

∴∠ABC＝2∠A，

∵∠ABC+∠A＝90°，

∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，

∴∠ACO＝∠BCP＝30°，

∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，

答：∠P的度数是30°；

（3）由（2）知∠A＝30°，

∵∠ACB＝90°，

1

∴BC＝AB＝2，AC＝3BC＝23，

2

11

∴SABC＝BC•AC＝×2×23＝23，

22

△

1AB2

∴阴影部分的面积是()﹣23＝2π﹣23，

22

答：阴影部分的面积是2π﹣23．

【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．

【变式1】5．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径

第24页共86页.

为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（）

22163201632214320143

A．B．C．D．

3333

【答案】A

【分析】OH为BC边的高，利用两圆相切的性质得到ABACBC8，则可判断ABC为等边三角形，

83

则CH4，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC，再利用圆与圆相切的性质得到O的

3

83

半径OEOCCE1，然后利用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积．

3

【详解】如图，OH为BC边的高

所有小圆相切，

ABACBC8，

ABC为等边三角形，

OCB30，

OHBC，

CH4，

343

OHCH，

33

83

OC2OH，

3

C与O相切，

83

O的半径OEOCCE1，

3

阴影部分的面积

第25页共86页.

2

832

1151

3

22163

，

3

故选：A

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．解

决本题的关键是掌握切线的性质．

【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）如图，A与B外切于点P，它们的半径分别为6和2，直线CD与

它们都相切，切点分别为C，D，则图中阴影部分的面积是（）

422

A．163B．1636C．163D．163

33

【答案】D

【分析】连接AC,BD,AB，过点B作BEAC，利用阴影部分的面积等于梯形ABDC的面积减去扇形ACP

的面积减去扇形BPD的面积，进行求解即可．

【详解】解：连接AC,BD,AB，过点B作BEAC，

∵A与B外切于点P，它们的半径分别为6和2，直线CD与A，B都相切，

∴ABAPBP628，四边形CDBE为矩形，

∴CEBD2，

∴AEACCE624，

∴BE641643，

BE3

∴sinA，

AB2

第26页共86页.

∴A60，

∴ABE30，

∴ABD120，

1

∴梯形ABDC的面积是：(62)43163；

2

6036

扇形ACP的面积为：6；

360

12044

扇形BPD的面积为；

3603

22

则阴影部分的面积梯形ABDC的面积扇形ACP的面积扇形BPD的面积163；

3

故选D．

【点睛】本题考查求阴影部分的面．利用割补法，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积，是解题的关

键．同时考查了圆与圆的位置关系，切线的性质，以及锐角三角函数等知识，综合性较强．

【变式3】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中

点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面

积是______．

93

【答案】93

42

【分析】根据直角三角形的性质求出AE和AEM，根据勾股定理求出AM，根据扇形面积公式计算，得

到答案．

113

【详解】解：由题意得，AEABME，

222

A90，

3

AME30，AMME2AE23，

2

AEM60，

同理，BEN60，

MEN60，

第27页共86页.

133603293

阴影部分的面积323293，

22236042

93

故答案为：93．

42

【点睛】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．

【变式4】（2023·安徽池州·校联考一模）如图，A90，O与A的一边相切于点P，与另一边相交于

B，C两点，且AB1，BC2，则扇形BC的面积为____________

2π2

【答案】##π

33

【分析】连接OP，过O点作OEBC于点E，作BFOP于点F，利用垂径定理的内容得出

1

BECEBC1，再证明四边形OEBF、四边形PABF是矩形，即有OPPFOF2，进而有

2

OPOBOC2，从而得出△OBC是等边三角形，即BOC60，利用扇形面积公式求出即可．

【详解】连接OP，过O点作OEBC于点E，作BFOP于点F，如图，

∵OEBC，BC2，

1

∴BECEBC1，

2

∵O与A的一边相切于点P，

∴APPO，

∵OEBC，BFOP，A90，

∴可得四边形OEBF、四边形PABF是矩形，

∵AB1，BC2，

第28页共86页.

∴AB1PF，BEOF1，

∴OPPFOF2，

∴OPOBOC2，

∴△OBC是等边三角形，

∴BOC60，

6022

∴S扇形πOPπ，

BOC3603

2

故答案为：π．

3

【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利

用已知得出OPPFOF2是解决问题的