专题08 反比例函数（6大考点）（解析版）

第三部分函数

专题08反比例函数（6大考点）

核心考点一反比例函数的定义

核心考点二反比例函数的图象与性质

核心考点三反比例函数的解析式

核心考点

核心考点四反比例函数的实际应用

核心考点五反比例函数与几何图形综合

核心考点六反比例函数与一次函数综合

新题速递

核心考点一反比例函数的定义

5

例1（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）

x

A．图象经过点（1，﹣5）

B．图象位于第二、第四象限

C．当x＜0时，y随x的增大而减小

D．当x＞0时，y随x的增大而增大

【答案】C

【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以

解答本题．

5

【详解】解：反比例函数y＝﹣，

x

5

A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；

1

B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；

C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；

D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

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6

例2（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数y的图象经过点4,a，则a的值为

x

___________．

3

【答案】

2

【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．

6

【详解】解：把点4,a代入y得：

x

63

a．

42

3

故答案为：．

2

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函

数解析式是解题关键．

k

例3（2021·浙江金华·统考中考真题）背景：点A在反比例函数yk0的图象上，ABx轴于点B，

x

ACy轴于点C，分别在射线AC,BO上取点D,E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象

限内，当AC4时，小李测得CD3．

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求k的值．

（2）设点A,D的横坐标分别为x,z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x0时“Z函数”

的图象．

①求这个“Z函数”的表达式．

②补画x0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

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③过点3,2作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

4

【答案】（1）4；（2）①zx；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲

x

线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当x0时，函数值z随自变量x的增大而增大，当x0

时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．

【分析】（1）利用待定系数法解题；

14

（2）①设点A坐标为x,，继而解得点D的横坐标为zx，根据题意解题即可；②根据解析式在网

xx

格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点（3,2）的直线与x轴垂

直时，或当过点（3,2）的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．

【详解】解：（1）由题意得，ABAD1，

点A的坐标是(4,1)，所以k414；

14

（2）①设点A坐标为x,，所以点D的横坐标为zx，

xx

4

所以这个“Z函数”表达式为zx；

x

②画出的图象如图：

性质如下（答案不唯一）；

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（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线

（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．

（c）当x0时，函数值z随自变量x的增大而增大，当x0时，函数值z随自变量x的增大面增大．

③第一种情况，当过点（3,2）的直线与x轴垂直时，x3；

第二种情况，当过点（3,2）的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为z'mxb(m0)，

23mb，即b3m2，

z'mx3m2，

4

由题意得，xmx3m2

x

x24mx23mx2x，

(m1)x2(23m)x40

（a）当m1时，x40，解得x4；

（b）当m1时，b24ac(23m)24(m1)49m228m200，

10

解得m2,m，

129

22

当m12时，x4x40，x20．解得x1x22；

10142

当m时，x2x40,x212x360,x60，解xx6

299312

所以x的值为2,3,4,6．

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，

难度一般，掌握相关知识是解题关键．

知识点：反比例函数的概念

k

定义：一般地，函数y（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写

x

成ykx1或xyk的形式．自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一

切非零实数．

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【变式1】（2022·浙江温州·统考二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强pkPa

与气体的体积Vm3的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为

了不让气球爆炸，则气球内气体的体积V需满足的取值范围是（）

A．V0.5B．V＞0.5C．V≤0.5D．V≥0.5

【答案】D

100

【分析】由图可求出压强pkPa与气体的体积Vm3的关系式为p，为了不让气球爆炸，则需要

V

p≤200，结合图象可知：若p≤200，则V≥0.5．

【详解】解：由图可知函数为反比例函数，且过125,0.8，

k

设气球内气体的压强pkPa与气体的体积Vm3的关系为p，

V

100

则kpV100，即p，

V

为了不让气球爆炸，则需要p≤200，

当p=200时，V0.5，如图：

结合图象可知：若p≤200，则V≥0.5，

故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是结合函数图象求出压强pkPa与气体的体积Vm3的关系，

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并根据pkPa的取值求出Vm3的取值．

【变式2】（2021·广东广州·统考三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数

m1

y的图象可能经过点（）

x

A．（3，1）B．（0，3）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，1）

【答案】D

【分析】由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，

∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0，

解得m＜﹣1，

∴m+1＜0，

m1

∴反比例函数y的图象经过二、四象限，

x

m1

∴反比例函数y的图象可能经过点（﹣3，1），

x

故选：D．

【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m

的取值范围是解题的关键．

1

【变式3】（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点Aa,b在双曲线y上．若a<0，

x

则点A在第________象限．

【答案】二

1

【分析】由点A（a，b）在双曲线y上，可得ab=-1，由a<0可得到点b0的坐标，进而得出答案．

x

1

【详解】解：∵点Aa,b在双曲线y上，

x

∴ab=-1，

∵a<0

∴b0

∴点A在第二象限．

故答案为：二．

【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出b0是解答此题的关键．

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【变式4】（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在x轴上方有①～⑥六个台阶，它们的拐角T1～T6处均为90°，

1210

每个台阶的高、宽分别是1和2个单位长度，若反比例函数y＝﹣的图象经过T，则反比例函数y＝的

x1x

图象经过两个工台阶的横面（与x轴平行的面，包括横面的两端点），这两个台阶是_____和_____．

【答案】④

⑤

～

【分析】先根据题意求出T1的横坐标，进而求出T2T6的横坐标，据此求解即可．

【详解】解：由题意得T1的纵坐标为6，

12

∵反比例函数y经过T，

x1

1212

∴当y=6时，对于反比例函数y，x2，

x6

∴点T1的横坐标为-2，

∴点T2的横坐标为0，T3的横坐标为2，T4的横坐标为4，T5的横坐标为6，T6的横坐标为8，

10

当x2时，对于反比例函数y，y5，

x

105

当x4时，对于反比例函数y，y

x2

105

当x6时，对于反比例函数y，y

x3

105

当x8时，对于反比例函数y，y

x4

又∵点T2的纵坐标为5，T3的纵坐标为4，T4的纵坐标为3，T5的纵坐标为2，T6的纵坐标为1，

10

∴反比例函数y经过的两个台阶为④和⑤，

x

故答案为：④；⑤．

【点睛】本题主要考查了求反比例函数函数值，正确求出点T1的横坐标是解题的关键．

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【变式5】（2022·湖北襄阳·统考一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像与性质后，进一

2

步研究了函数y的图像与性质，其探究过程如下：

x

(1)绘制函数图像

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m_________．

11

x…321123…

22

2

y…124421m…

3

描点：根据表中各组对应值x,y，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图像，请你把图像补充完整；

(2)观察函数图像；下列关于该函数图像的性质表述正确的是：__________；（填写代号）

①函数值y随x的增大而增大；②函数图像关于y轴对称；③函数值y都大于0．

(3)运用函数性质：若点0.5,y1,1.5,y2,2.5,y3，则y1、y2、y3大小关系是__________．

2

【答案】(1)，见解析；

3

(2)②③；

＞＞

(3)y1y2y3

2

【分析】（1）把x=3代入函数y，即可求得m的值，见解析；

x

（2）通过观察函数图像即可得到答案；

第8页共86页.

2

（3）分别把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函数y，求得y、y、y的值，即可判断.

x123

（1）

2

解：）把x=3代入函数y，

x

2

得：my；

3

如图

（2）

解：由函数图像可知，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；

函数图像关于y轴对称；函数值y都大于0，

∴下列关于该函数图像的性质表述正确的是②③；

（3）

2

解：分别把x=-0.5、x=1.5、x=2.5代入函数y，

x

44

得y=4，y=，y=，

12335

＞＞

∴y1y2y3.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是正确识图和应用数形结合思想.

核心考点二反比例函数的图象与性质

a21

例1（2021·山东德州·中考真题）已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y（a是

x

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xx

常数）的图象上，且y1y20y3，则1，2，x3的大小关系为（）

A．x2x1x3B．x1x2x3C．x3x2x1D．x3x1x2

【答案】D

【分析】根据a210，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比

较自变量的大小．

【详解】解：∵a210，

a21

∴反比例函数y（a是常数）的图象在一、三象限，

x

如图所示：

当y1y20y3时，x30x1x2，

故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分

析自变量的大小．

k2

例2（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两

x

点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___．

【答案】（﹣3，﹣2）

第10页共86页.

【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点

对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．

【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴A、B两点关于原点对称，

∵A的坐标为（3，2），

∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．

故答案为：（﹣3，﹣2）．

【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

例3（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观

6

察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y|x|的图象，并探究该函数性

|x|

质．

(1)绘制函数图象

①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝．

x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……

y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……

②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；

③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

6

(2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：；

|x|

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(3)运用函数图象及性质

6

①写出方程-|x|＝5的解；

|x|

6

②写出不等式-|x|≤1的解集．

|x|

【答案】(1)①1；②见解析，③见解析

6

(2)y|x|的图象关于y轴对称轴（答案不唯一）

|x|

(3)①x1或x=1；②x2或x2

【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；

（2）观察函数图象，可得函数性质；

（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．

6

【详解】（1）①列表：当x=2时，a|2|1，

|2|

故答案为：1；

②描点，③连线如下：

6

（2）观察函数图象可得：y|x|的图象关于y轴对称，

|x|

6

故答案为：y|x|的图象关于y轴对称；

|x|

（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，

6

x5的解是x=1或x=-1，

x

故答案为：x=1或x=-1，

②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，

第12页共86页.

6

∴|x|1的解集是x≤-2或x≥2，

|x|

故答案为：x≤-2或x≥2．

【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息

是解题的关键．

知识点：反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，

或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都

没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

（2）性质：

当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．

当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．

k

表达式y（k是常数，k≠0）

x

kk>0k<0

大致图象

所在象限第一、三象限第二、四象限

增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大

1.反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x；

对称性2.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点．

反比例函数比例系数k越大，图象离原点越远。

注意：

（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲

线连接各点．

第13页共86页.

k

（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数y

x

中x≠0且y≠0．

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内

的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地

说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．

【变式1】（2022·江西吉安·统考二模）如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为

（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：

①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；

②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的

图象上；

③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象

上；

④将等边△ABO以直线yx或直线yx为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．

其中正确的是（）

A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④

【答案】D

【分析】根据反比例函数图象的对称性，通过画出相应图形，可得出结论．

【详解】解：过点A作AH⊥OB于点H，

∵△ABC是等边三角形

∴AB=OA=OB=6，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°

第14页共86页.

∴OH=3，AHOA2OH2623233

∴A的坐标为（3，33）

93

∴反比例函数表达式为y

x

①如图所示，△ABO沿AO方向平移6个单位长度，点A恰好与O重合，点O平移到E点，此时OE=OA=6，

∴A、E关于原点对称，

∴点E在反比例函数图象上，①正确．

②若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，点A恰好落在y轴上（0，6），此时，点B恰好落在（33，

3），

∵33393

∴B的对应点落在反比例函数图象上；

若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转60°，点B恰好落在（3，33）处，在反比例函数图象上；

若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转180°，点A恰好落在（-3，-33），

∵（33）（3）93

∴A的对应点落在反比例函数图象上；

若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转210°，点A恰好落在y轴上（0，-6），此时，点B恰好落在（-33，

第15页共86页.

-3）处，

∵（33）（3）93

∴B的对应点落在反比例函数图象上；

若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转240°，点B恰好落在（-3，-33）处，在反比例函数图象上；

∴将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的

图象上，②正确．

③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，相当于将A绕点O旋转180°，点A的对应点恰好落在为

（-3，-33），在反比例函数图象上，③正确．

④根据反比例函数图象的对称性，将等边△ABO以直线yx或直线yx为对称轴进行翻折，点A的对应

点都在反比例函数的图象上，④正确．

故选：D

【点睛】本题考查反比例函数图象的对称性质，轴对称、旋转、位似、翻折等，灵活运用反比例函数对称

性是解题的关键．

1

【变式2】（2021·福建漳州·模拟预测）已知函数yx与函数y2的部分图像如图所示，

1x

有以下结论：

①当x0时，y1，y2都随x的增大而增大；

②当x1时，y1y2；

③y1与y2的图像的两个交点之间的距离是2；

④函数yy1y2的最小值是2．则下列结论正确的是（）

A．①③B．②③C．③④D．②③④

【答案】D

【分析】补全函数图像，根据图像即可判断．

第16页共86页.

【详解】解：补全函数图像，如图所示：

①当x0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，故①错误；

②当x1时，y1y2，故②正确；

③y1与y2的图像的两个交点之间的距离是2，故③正确；

2

④∵x10，

∴x212x，

1x21

∵yyyx2，

12xx

∴函数yy1y2的最小值是2，故④正确；

综上所述，正确的结论是②③④，

故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，反比例函数与一次函数的交点问题，

数形结合是解决问题的关键．

【变式3】（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图

k

象与反比例西数y(k0)图象的两个不同的交点，则mn__________．

x

【答案】12

【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得m,n的值，

即可求解．

k

【详解】解：∵点P(m1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象与反比例西数y(k0)图象的两

x

个不同的交点，

∴m14,n7，

解得m5,n7，

第17页共86页.

mn12，

故答案为：12．

【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识

是解题的关键．

k

【变式4】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知反比例函数y的图象经过二、四象限．

x

（1）点Pk,k在第______象限．

k

（2）若点Aab,3，Bac,5是反比例函数y图象上两点，则a,b,c的大小关系是______．（用符号“”

x

连结）

【答案】四b>c>a

k

【分析】（1）根据反比例函数y的图象经过二、四象限可知k＜0，再根据反比例函数的性质进行判断即

x

可；

（2）根据反比例函数的图象在二四象限可得点A、B在第二象限，再根据反比例函数的性质可得a-b与a-c

的大小，即可求解．

k

【详解】解：（1）∵反比例函数y的图象经过二、四象限，

x

∴k＜0，

∴-k＞0，

∴点P（-k，k）在第四象限，

故答案为：四；

（2）∵k＜0，点A（a-b，3），B（a-c，5），

k

∴反比例函数y，y随x的增大而增大，点A、B在第二象限，

x

∴a-b＜0，a-c＜0，a-b＜a-c，

∴a＜b，a＜c，b＞c，

∴b＞c＞a，

故答案为：b＞c＞a．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象判断出k的取值范围是解答

此题的关键．

【变式5】（2022·河南濮阳·统考二模）研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画

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出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对

函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．

4

(1)在研究函数y的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能

x

4

是函数y图象的是（）

x

4

(2)结合分析的函数图象，写出函数y图象的二条性质；

x

①性质一：；

②性质二：．

4

(3)若yxb与函数y图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．

x

【答案】(1)C

(2)①关于y轴对称，与坐标轴无交点；②在x0时，y随x的增大而增大，x0时，y随x的增大而减小；

(3)b4

【分析】（1）根据绝对值的性质，可知函数值都大于0，据此即可求解；

（2）根据函数图象与坐标轴的无交点，对称性，增减性分析即可求解．；

44

（3）根据题意分情况讨论，当x0时，y，当x0时，y，联立直线yxb，根据一元二次方

xx

程根的判别式的意义即可求解．

（1）

4

解：∵y0，

x

∴函数图象在x轴上方，

故选C；

（2）

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①关于y轴对称，与坐标轴无交点；②在x0时，y随x的增大而增大，x0时，y随x的增大而减小；

故答案为：①关于y轴对称，与坐标轴无交点；②在x0时，y随x的增大而增大，x0时，y随x的增

大而减小；

（3）

yxb

4

①当x0时，y，根据题意可得：4，

xy

x

4

即xb，

x

即x2bx40，

b2160，

则b为全体实数，

4

②当x0时，y，

x

4

即xb，

x

即x2bx40，

b2160，

b216，

当b0时，b4，

当b0时，b4，

4

结合函数图象可知，当b4时，与yx0无交点，不符合题意，

x

b4

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，数形结

合是解题的关键．

核心考点三反比例函数的解析式

k

例1（2021·浙江温州·统考中考真题）如图，点A，B在反比例函数y（k0，x0）的图象上，ACx

x

2

轴于点C，BDx轴于点D，BE⊥y轴于点E，连结AE．若OE1，OCOD，ACAE，则k的值为

3

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（）

329

A．2B．C．D．22

24

【答案】B

223

【分析】设OD=m，则OC=m，设AC=n，根据mnm1求得n，在RtAEF中，运用勾股定理可

332

32△

求出m=，故可得到结论．

2

【详解】解：如图，

设OD=m，

2

∵OCOD

3

2

∴OC=m

3

∵BDx轴于点D，BE⊥y轴于点E，

∴四边形BEOD是矩形

∴BD=OE=1

∴B(m，1)

k

设反比例函数解析式为y，

x

∴k=m×1=m

设AC=n

∵ACx轴

2

∴A（m，n）

3

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233

∴mnkm，解得，n=，即AC=

322

∵AC=AE

3

∴AE=

2

231

在RtAEF中，EFOCm，AFACFC1

322

△321

由勾股定理得，()2(m)2()2

232

32

解得，m（负值舍去）

2

32

∴k

2

故选：B

【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合

思想与方程思想的应用．

例2（2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形ABO中，AO1，将ABO绕点O点旋转至

k

△ABO的位置，且A在OB的中点，B在反比例函数y上，则k的值为________________．

x

【答案】3

【分析】连接AA，作BEx轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出AOA是等边

三角形，从而得出AOBAOB60，即可得出BOE60，解直角三角形求得B的坐标，进一步求得

k3．

【详解】解：连接AA，作BEx轴于点E，

第22页共86页.

由题意知OAOA，A是OB中点，AOBAOB，OBOB，

1

AAOBOA，

2

AOA是等边三角形，

AOB60，

OB2OA2，BOE60，

OB2，

1

OEOB1，

2

BE3OE3，

B(1,3)，

k

B在反比例函数y上，

x

k133．

故答案为：3．

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用

数形结合的思想解答．

m

例3（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x

x

轴相交于点C（4，0）．

第23页共86页.

(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；

(2)连接OA，OB，求AOB的面积；

m

(3)直接写出当x＞0时△，关于x的不等式kx+b＞的解集．

x

282

【答案】(1)y=x+，y=；

33x

8

(2)AOB的面积为；

3

(3)1△<x<3

m

【分析】（1）将点A(1，2)代入y=，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；

x

（2）解方程组求得点B的坐标，根据SAOBSAOCSBOC，利用三角形面积公式即可求解；

（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．

m

【详解】（1）解：将点A(1，2)代入y=，得m=2，

x

2

∴双曲线的表达式为：y=，

x

把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：

2

k

kb23

y=，解得：，

4kb08

b

3

28

∴直线的表达式为：y=x+；

33

2

y

x

（2）解：联立，

28

yx

33

x3

x1

解得，或2，

y2y

3

∵点A的坐标为（1，2），

2

∴点B的坐标为（3，），

3

11

∵SSSOC|y|OC|y|

AOBAOCBOC2A2B

112

424

223

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8

=，

3

8

∴△AOB的面积为；

3

m

（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3．

x

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解

析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．

知识点：反比例函数解析式的确定

1．待定系数法

k

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y中，只有一个待定系数，因

x

此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．

2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

k

（1）设反比例函数解析式为y（k≠0）；

x

（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；

（3）解这个方程求出待定系数k；

（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．

知识点：反比例函数中|k|的几何意义

1．反比例函数图象中有关图形的面积

2．涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．

（1）正比例函数与一次函数所围成