1向量及向量的加减法

5．1向量及向量的加减法要点透视：1．由于SKIPIF1<0的方向是任意的，且规定SKIPIF1<0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．3．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．4．向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：SKIPIF1<0，但这时必须“首尾相连”．活题解析：例1．给出下列命题：①若|SKIPIF1<0|＝|SKIPIF1<0|，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共线的四点，则SKIPIF1<0是四边形ABCD为平行四边形的充要条件：③若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要条件是|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，其中正确的序号是。要点精析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．③正确．∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同；又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同，故SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．④不正确．当SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且方向相反时，即使|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，也不能得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑SKIPIF1<0=SKIPIF1<0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．思维延伸：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示出来．要点精析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可．解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，同样在平行四边形BCDO中，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0＋2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0.思维延伸：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示，且可用规定其中任两个向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另外任取两点为起点和终点，也可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示．例3．求证：起点相同的三个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0的终点在同一条直线上．要点精析：证明：设起点为O，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0b，SKIPIF1<0＝3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=2(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0的终点在同一直线上．思维延伸：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点，用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点．练习题一、选择题1．在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x铀和y轴都是向量A．1个B．2个C．3个D．42．已知命题P：非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．命题Q：表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的有向线段可构成三角形，则P是Q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列命题中，正确的是（）A．|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0B．|SKIPIF1<0|>|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0SKIPIF1<0>SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0//SKIPIF1<0D．|SKIPIF1<0|=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<04在平行四边形ABCD中，SKIPIF1<0，则必有（）A．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0或SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形5．下列命题：(1)如果非零向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方向相同或相反，那么SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的方向必与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之一方向相同；(2)三角形ABC中，必有SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则A，B，C为三角形的三个顶点；(4)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为非零向量，则|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|与|SKIPIF1<0|+|SKIPIF1<0|一定相等，其中假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．化简以下各式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0结果为零向量的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：7．若SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则|SKIPIF1<0|=；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为．8．若点P为三角形△ABC的外心，且SKIPIF1<0，则三角形的内角C=.9．两个非零向量的模相等是两个向量相等的条件．10．已知点M是△ABC的重心，则SKIPIF1<0=.三、解答题：11．如图所示，三角形ABC的外接圆的圆心为O，三条高的交点为H，连接BO并延长交外接圆于D．求证：（1）SKIPI