全国高中数学竞赛试题及答案汇集

全国高中数学竞赛试题及答案汇集

全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上.

1.设集合A=｛q,a2M3MJ，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

B=｛-1,3,5,8｝,则集合A=.

2.函数〃x)二如±1的值域为.

x-l

3.设人为正实数，—+—<2>/2,(a-b)2=4(ab)3,则log“b=.

4.如果cos5e-sin59<7(sin?〃-cos3。)，夕€。2万)，那么。的取值范围是.

5.现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每

个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数

为.(用数字作答)

6.在四面体中，已知乙位)6=N5DC=NCD4=6(r,AD=BD=3,CD=2,则

四面体ABC。的外接球的半径为.

7.直线x-2y-l=0与抛物线/=4x交于A,8两点，C为抛物线上的一点，ZACB=9(r,

则点C的坐标为.

8.已知巴=C所.闺(n=12…,95),则数列｛%｝中整数项的个数为,

二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

9.(本小题满分16分)设函数/(x)=jlg(x+l)|,实数a,伙a<8)满足/(〃)=/(-如L,

〃+2

/(10a+6^+21)=41g2,求a,L的值.

10.(本小题满分20分)已知数列｛4｝满足,ax=2/-3(/GRH.Z^±1),

+"n

(2r"-3)an+2(/-l)r-1/…、

…——…).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若，>0,试比较a“+］与％的大小.

11.(本小题满分20分)作斜率为，的直线/与椭圆C：片+片=1交于AB两点(如

3364

图所示)，且尸(30\啦)在直线/的左上方.

(1)证明：△PA8的内切圆的圆心在一条定直线上;

(2)若N4PB=6(r,求△PA8的面积.

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）

一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,瓦）的中

点.若NW乂=/。必，证明：ZAQB=NCQB.

二、（本题满分40分）证明：对任意整数〃之4,存在一个〃次多项式

f（x）=xn+…++%

具有如下性质：

（1）劭,4,…,%T均为正整数；

（2）对任意正整数机，及任意&饮之2）个互不相同的正整数不公…,〃，均有

/（m）*/（7j）f（r2）••f（rk）.

三、（本题满分50分）设％,电,…,4〃（〃24）是给定的正实数，<a2<•••<«„.对任意

正实数「，满足之二&=r（1Ki<j<心〃）的三元数组（/,j,k）的个数记为。⑺.

4f

证明：（（「）<4•

四、（本题满分50分）设A是一个3x9的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数.称

A中的一个机x〃（lWmW3,1W〃W9）方格表为"好矩形"，若它的所有数的和为10的倍数.称

A中的一个1x1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个

数的最大值.

2011年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准(A卷)

说明：

1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准.填空题只设8分和0分两档：解答题的评阅.

请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确.在评卷时可参考本

评分标准适当划分档次评分.解答题第9题4分为一个档次，第10,11题5分为一个档次.

不要再增加其他中间档次.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.

1.设集合A={《,若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

«=(-!.3,5,8),则集合4=.

解显然,在人的所有三元了•集中,每个元素均出现了3次,所以

3(«)+a2+«,+4)=(-1)+3+5+8=15,

故外+/+a,+a,=5,于是集合A的四个元素分别为5—(—1)=6.5—3=2,5—5

=0,5-8=-3,因此，集合4={-3,026).

2.函数/⑴二皆亘的值域为

X-1

解设工=团］。,一三＜。＜匹，且。注工，则

224

/(x)=_cos^_=_!_=——!——.

ian£-lsin0-cos0V^sin(^-—)

设〃=V5sin(g-为，则-0且〃=0,

1J5

所以/(x)=-G(-oo-2-]U(U4CO).

u2

3.设a,b为正实数，—+—<1J1»[a-b)2=4{ab)y,则log/=________________

ab

解由,+工工2五，得a+bS26ab.

ab

乂(a+b)2=4ab+(a-b)1=4ab+4(ab)^42yjab-(aby=8(ab)‘，

B|Ja+b^2yf2ab.①

「是a+b=242ab.

与②联立解得;二篇无索:

再由不等式①中等号成立的条件,得加=1.

故log“b=~\.

4.如果85*-加，夕<7（南3-853。）,夕《也2幻，那么6的取值范围是

解不等式cos，，-sin'0<7(sin10—cosJ6)等价于sin'<?+—sin5夕>cos'cos'0，

77

乂/（x）=犬+是（-»,+<»）上的增函数，所以sin。>cos。，

故2A/r+?v6<2k^(AeZ).

因为夕40.2幻，所以夕的取值范用是.羊）

5.现安抖7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每

个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数

为.（用数字作答）

做由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形；

<1）有一个项目有3人参加，共有C；.5!-C；5!=3600种方案：

（2）有两个项口各有2人参加，共有g（C；.C；）.5!-Cl5!=ll400种方案；

所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000.

6.在四面体A8CD中，已知ZX08=N80C=NC04=60。，40=8。=3,CD=2,则

四面体ABCD的外接球的半径为.

解设四面体A8CQ的外接球球心为0,则。在过△48Z）的外心N且垂宜于平面4BQ

的垂线上.由题设知，△48D是正三角形，则点N为△A8O的中心.设P,M分别为A&C。

的中点，则N在DP上，且。N_LOP,OMLCD.

WAZCDA=ZCDB=Z.ADB=60°,设CD与平面ABD所成角为6,可求得

cos^=—,sin/7=4i

在△OMN中，OM=，CO=1,ON=2.。户=2.也.3=右.

2332

由余弦定理得MN2=12+(V3)2—2,1•y/y—2,

故MN=叵.

四边形OMON的外接圆的直径。。="=卓=石

sin0V2

故球。的半径式=石.

7.宜线x-2y-l=0与抛物线y，=4x交于A,B两点，。为抛物线上的一点，Z4CB=90°,

则点。的坐标为

x-2y-l=0,

解设4%，弘）,5（覆,以），5'2），由

V=4.

i

得y-8>-4=0»则):+L=8，y,>>,2=-4.

乂M=2K+l,x,=2y3+1»所以

x,+x2=2(y,+%)+2=18，”巧=4)、•%+2(月+力)+1=1•

因为4CB=90。，所以以.而=0,即有

22

(t-x^t-x,)+(2/-y,X2/-y2)=0,

即/-5+/)尸+当•/+4--2(乂+力"+兑』=0，

RP/4-l4r-16f-3=0,

即(r,+4/+3)(r2-4/-l)=0.

显然/-4.1。0,否则--22-1=0,则点。在直线x-2)，-l=0上，从而点C与点A

或点B重合.

所以，2+4/+3=0,解得，।=-1,"=一3.

故所求点C的坐标为(1,-2)或(9,-6).

8.己知外二仁新丫匕+⑺=优…/3则数列5/中整数整的个数为

解*=C鼠3'.2代.

要使巴（UK95）为整数,必有1用，噬皂均为整数，从而61〃+4.

当n=2,8,14,20,26,32,38,44,5056,62,68,74,80时，况上工和照包均为非负整数，所

36

以凡为整数，共有14个.

200200

200!中因数2的个数为=197，

,226

同理可计算得86!中因数2的个数为82,114!中因数2的个数为110,

所以C2中因数2的个数为197-82-110=5,故/是整数.

当〃=92时，a,2=C*-3*2%在中，同样可求得92!中因数2的个数为

〉一「1\JO.

88,108!中W数2的个数为105,故C2中因数2的个数为197-88-105=4,故/不走整数.

因此，整数项的个数为14+1=15.

二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

9.(本小题满分16分)设函数/(x)=llg(.v+l)l,实数a,6(。<6)满足f(a)=>

b+2

f(10a+66+21),4lg2,求a,b的值.

解・・・八。)=/'(-空)，・・・11幽+1)日峨-空+1)1=1联工)印鼬+2)1,

0+2b+2b+2

；・a+1=b+2或(a+1)(/)42)=1»

XVa<b,・・・a+lwb+2,A(a+l)0+2)=l...........................4分

又由f(0)=llgg+l)l有意义知Ova+1,从而0<a+l<b+l<b+2，

于是0<a+l<l<b+2.

所以(l(k/+6ft+21)+1=10(«+1)+6(6+2)=6(^+2)+-^->1...........................8分

b+2

从而/(IO«+6ft+2l)=ilg[6(b+2)+慈卜lg[6(Z>+2)+言].

乂/(IOa+6b+21)-41g2,所以期6((+2)+A_]=4lg2,

b+2

故6(fe+2)+—=16............................12分

b+2

解得&=-；或b=-l(舍去).

10.(本小题满分20分)

己知数列应｝满足：4=2/-3(/wR且

…—一(n€N),

(1)求数列｛氏｝的通项公式：

(2)若/>0,试比较％与。■的大小.

解(1)由原式变形得“Da+i)_],

u

an+2i-]

又—+-i，7-=—>—=—+(n-1)-i=—>

b“.i6112a2瓦b：22

故也匚=三，于是有〃竺.............10分

/"-1nn

2(/-'-I)2(/--1)

(2)a.-a=-----------------

ntMn+1n

=---—[n(l+/+,•1+/*1+/")—(w+1)(1+/+,1,+/*1)1

=2d)心—(1+[+...+尸)]=2d)[Q-+_/；T+.

n(n+l)n(n+l)

J

=2；_：)[(♦'-+-+r+...+i)+...+r'],

显然在r>0(rxl)时恒有4“一%>0,故a.”>生..............20分

22踮

II.（木小题满分20分）作斜率为g的直线/与椭圆C：二+2_=］交于两点（如

364

图所示），.且p*4i、4i）在宜线/的左上方.

（1）证明:△尸A8的内切圆的恻心在一条定直线上：

（2）若乙4P8=60。，求△7MB的内切圆的面积.

解（1）设直线/：y=^x+m,A（A,,yt）,B（xt,y2）.

将)，=Lr+m代入工+工=1中，化简整理得

3364

2x2+6mx+9mJ-36=0.

T*日J■-97w-36

十是自用+x2=_3w,x}x2=——-——，

_y2-4i

。-班5分

y「4i।%一0_（另一五）（马一班）+（%一近）（占一3底）

则*么+女出

xt-3Vz七一3五（.r,-3V2X.X2-372）

上式中，分子=(5%+/n-V2)(X2-342)+(-xi+m-V2)(.t,-342)

=xx

-jii+(w-2V2)(x,+A2)-6>/2(m-V2)

=j'+(m―272X-3/W)-6>/2(m-41)

=3/2-12-3/n2+6V2m-6V2m+12=0,

从而，kFA+kpll=0.

乂P在凫线/的左.上方，因此，乙”号的角平分线是平行于）,轴的宜.线，所以4248的

内切圆的圆心在直线x=3＞历上...............10分

（2）若NAP8=60。时，结合（D的结论可知=石水网=一石.

直线尸4的方程为：y-V2=V3（A-3V2）,代入《+《=1中，消去）•得

364

141+9V6（1-3V3）X+18（I3-3A/3）=0.

它的两根分别是为和女回，所以$,、6=咄二亚，即/=延旺也1.

1414

所以I月41=Jl+（舟.IM-入后1=+D..............15分

同理可求得IPB1=近千7.

所以18」.„由60。」—（3肉1）3也3石7）旦吨....2。分

2277249

2010年全国高中数学联赛一试

一、填空题（每小题8分，共64分,）

1.函数/*）=VT3-724-3x的值域是.

2.已知函数y=（acos2冗-3）sinx的最小值为一3,则实数a的取值范围是.

3.双曲线，一>2=1的右半支与直线冗=10。围成的区域内部（不含边界）整点（纵

横坐标均为整数的点）的个数是.

4.已知｛?｝是公差不为0的等差数列，｛2｝是等比数列，其中

%=3,仇=1,电=%,3%=%,且存在常数a,尸使得对每一个正整数〃都有

an=logftZ?„+^,则a+£=.

5.函数/*）=6产+3优-2（。>0,。工1）在区间1』上的最大值为8,则它

在这个区间上的最小值是.

6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，

否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.

7.正三棱柱A8C—AB]G的9条棱长都相等，尸是CG的中点，二面角

=a，则sina=.

8.方程x+y+z=2010满足xKyKz的正整数解（%y,z）的个数是.

二、解答题（本题满分56分）

9.（16分）已知函数/"）二公3+"2+以+或460）,当时，|r（x）|W1,

试求〃的最大值.

10.（20分）已知抛物线V=6x上的两个动点A（%,yJ和832，%），其中为且

x,+x2=4.线段45的垂直平分线与X轴交于点C,求A43C面积的最大值.

11.（20分）证明：方程2d+51-2=0恰有一个实数根人巨存在唯一的严格递增

2

正整数数列{%},使得|=rrt|+ra2+ra3+•••.

加试

1.（40分）如图，锐角三角形48c的外心为。，K是边

BC上一点（不是边8c的中点）,。是线段AK延长线.上一点,

直线8。与AC交于点N,直线8与48交于点M.求证：

若0KLMN,则4,B,D,C四点共圆.

2.（40分）设k是给定的正整数，r=k+-.记

2

/⑴⑺=/(〃)=小］/(/)(r)=/(/(/-0(r)),Z>2.证明：存在正整数m,使得广⑼⑺

为一个整数.这里，「£|表示不小于实数x的最小整数，例如：g=1,「f|=l.

3.(50分)给定整数2,设正实数4，生，…，见满足％«1，%=1，2,…，〃，记

q+%■1---*"4i1o

A=———-------Jk=l,2,•••,/?.

k

〃〃>7—1

求证：<—•

*=i«=i乙

4.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形A4…A”的每个顶点处赋值0和1两

个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数

字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？

解答

1.[-3,73]提示：易知汽幻的定义域是[5,8],且/")在[5,8]上是增函数，从而

可知f(x)的值域为[-3,6].

2.提示：令sinx=E,则原函数化为g(f)=(-/+〃-3)%即

g(t)=-at3+(a-3)t.

由一々1+3—3)，之一3,-at(t2-l)-3(r-l)>0,。-1)(一加。+1)—3)20及

r-l<0知一〃。+1)—3工0口】

〃(广+/)之一3.(1)

当，=0,-1时(1)总成立；

,1O3

对0<，41,0〈广+fV2；对一一一《产+，<0.从而可知——<a<\2.

42

3.9800提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设y=Z(Z=l,2,…,99)与

双曲线右半支于4,交直线x=100于4,则线段44内部的整点的个数为99一&,从而

在x轴上方区域内部整点的个数为

99

Z(99-2)=99x49=4851.

i=l

又工轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2x4851I98=9800.

4.g+3提示：设伍」的公差为/{"}的公比为小则

3+d=q,(1)

3(3+44)=/,(2)

(1)代入(2)得9+124=〃2+6〃+9,求得d=6a=9.

从而有3+6(〃-l)=loga9i+/对一切正整数〃都成立，即

6〃-3=(〃-l)loga9+4对一切正整数〃都成立.

从而

10ga9=6-3=一log。9+/，

求得a=yf3y/3=3,a+/?=V3+3.

i3

5.--提示：令〃*=y,则原函数化为g（y）=y?+3y-2,g（y）在（一］,+oo）上是

递增的.

当Ovavl时，ye[a,a~'],

g（y）max=0-2+30--2=8=qT=2na=J,

所以

g（y）min=（g）2+3xg-2=—;；

当a>l时，ye[a~\a],

g(y)max="+3a-2=8=a=2，

所以

2,

^(y)min=2-+3x2--2=-i.

综上/(x)在xe上的最小值为一

4

6.—提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为

17

217

—,从而先投掷人的获胜概率为

3612

7,5\27,5\477112

-------F()XF()X1•…=X——-=.

12121212121212517

144

7.—提示：解法一：如图，以48所在直线为x轴，

4

线段48中点。为原点，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐

标系.设正三棱柱的棱长为2,则

B(1,O,O),Bx(1,0,2),A(-1,0,2),P(0,V3,l),从而,

丽=(-2,0,2)初=(-1,国)“=(-2,0,0)丽

设分别与平面BA/、平面片A/垂直的向量是m=(X［，X，Z］)、n=(x2,y2,z2),

则

"i•B\=-2xt+2Z]=0,

m•BP——X1+43y]+z1=0,

n-B}Ai=—2X2=0,

n-B}P=-x2+-z2=0,

由此可设m=(1,0,1),n=(0,1,V3),所以|力〃卜林卜恤5。|,即

y/3=V2-2|cosfz|=>|coscr|=.

114

所以sina=—

4

解法二：如图，PC=PC],PA1=PB.

设A3与人均交于点。，则

OA]=OByOA=OBl,AlB±ABl.

因为=，所以POL44，从而A与_L平面

PA、B.

过。在平面PA8上作OE_L%P,垂足为E.

连结瓦E,则ZB.EO为二面角B-A.P-B,的平面角.设=2,则易求得

PB=PA、=底AQ=BQ=垃,PO=瓜

J6

在直角APA。中，AOPO=A|POE,即叵•6=6OE,：.OE=

1

又B.0=V2,.\BXE=+OE=

sina=sin0E。二虹二坐二回

B.E4A/54

5

8.336675提示：首先易知x+y+z=2010的正整数解的个数为

。短=2009x1004.

把x+y+z=2010满足x<y<z的正整数解分为三类:

(1)苍y,z均相等的正整数解的个数显然为1；

(2)乂y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；

(3)设x,y,z两两均不相等的正整数解为k.

易知

1+3x1003+6)1=2009x1004,

所以

6k=2009x10()4-3x1003-1

=2006x1005-2009+3x2-1=2006x1005-2004,

即

&=1003x335—334=335671.

从而满足x<y<z的正整数解的个数为

1+1003+335671=336675.

[r(o)=c,

9.解法一：f\x)=3at2+2hx+c,由<—a+h+c.得

4

fm=3a+2b+c

3。=2/(0)+2广⑴—4吗.

所以

洞=2/(0)+2广⑴一4吗

<2|/X0)|+2|,r(l)|+<8,

QQ

所以又易知当=-4/+x+m(加为常数)满足题设条件，所以。

Q

最大值为2.

3

解法二：f(x)=3ax2+2bx+c.设g(x)=1'(%)+1,则当OKxWl时，

0<^(x)<2.

设z=2x-l,贝=

2

.../Z+l、3a3a+2b3a,.

h(z)=*(----)=一z2+-------z+一+/?+c+l.

2424

容易知道当一IVzWl时，0<h(z)<2,0<h(-z)<2.从而当一iWzWl时,

。・妲A'即

0<——Z+——+Z?+c+l<2,

44

从而—+/?+c+l>0,—z2<2,由0«z2Vl知9.

443

QQ

又易知当/（工）=：/-4/+欠+团（阳为常数）满足题设条件，所以。最大值为

10.解法一：设线段A3的中点为M（%,%）,则与二与三=2,%=上产，

k一必一M_力一M_6一3

KAB--22~~•

"芭比_21_%+必先

66

线段的垂直平分线的方程是

y-yQ=-^-(x-2).

易知x=5,y=O是（1）的一个解.，所以线段A5的垂直平分线与4轴的交点C为定点,

且点C坐标为（5,0）.

3

由（1）知直线A8的方程为>一%=——（%—2）,即

/普。-%)+2.

(2)代入V=6x得y2=2yo(y_Jo)+12,即

/-2yoy+2^-12=O.

依题意，M，乃是方程（3）的两个实根，且必土为，所以

△=4y；—4(2y：-12)=-4y：+48>0,

—2-\/3<y0<2V3.

|Aq=—々)2+()—%)

J（l+仔）2）（弘_力）

O

=，（1+普）［（%+%）2-4%先］

W）（4y；-4（2"2））

=|"（9+火）。2-），；）.

定点C（5,0）到线段A8的距离

229+

/?=|CM|=A/（5-2）+（O-yo）=7^0-

S.一=斗八卜（9+y；）（12-y；）.J9+/

=给9+4）（24-2年）（9+火）

<［11,9+尤+24-2y：+9+y；3

-3W-----------3-----------）

=出布.

3

当且仅当9+y；=24—2/，即

%=±BA（土等，非+币）以上售,非-币）或

4智亘,-（石+出））,3（生等，-6+近）时等号成立.

所以，AABC面积的最大值为qJ7.

3

解法二：同解法一，线段A3的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为

（5,0）.

501

设罚=/；,/="/>G，片+¥=4,则5AA8c=；彳瓜1的绝对值,

t\@2I

S：BC=（5（5而，|大在-—5A/^2））2

3,）

=5"2厂（伍+5）2

3__

二3（4-2r也）（，也+5）（他+5）

<3小

所以S“8C«好行，当且仅当&一，2)2=>2+5且彳+片=4,即"=立叁5

uAflUwI—Ij./II/

JV0

^1T'A”普，#+6B("善，逐一小)或

A伫心,-(石+")),8(6-『，-君+方)时等号成立.

所以，AABC面积的最大值是己近.

3

1L令f(x)=2/+5x—2,则/'(X)=61+5>0,所以f(x)是严格递增的.又

/(0)=-2<0,/(1)=^>0,故/(x)有唯一实数根re(0,g).

所以2，+5r-2=0,

—=-r=7•+/+/+»•••.

51-r3

故数列凡=3〃-2(〃=1,2,…)是满足题设要求的数列.

若存在两个不同的正整数数列％<…<勺<…和仇<儿满足

2

ra'+ra-+ray+•••=〃4++rby+•••=—,

5

去掉上面等式两边相同的项，有

厂”+/2+/3+...=/I+尸2+/3+...,

这里S|VS2Vs<，2所有的》与。•都是不同的.

不妨设由<乙，则

rs'<rs'+广”+•­•=?,+/+・..,

1

1<r1'~Sl+r，2~s'+­••<r4-r2+•••=----1<1=1,

1-r

矛盾.故满足题设的数列是唯•的.

N

M

加试解答

1.用反证法.若A,B,D,C不四点共圆，设三角形A8c的外接圆与AD交于点£,连

接8E并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.

因为PK2=P的寒（关于。O）+K的豪（关于。0）

=（PO2-r2）+（KO2-r2）,

同理

QK2=（QO2-r2）+（KO2-r2）,

所以PO2-PK2=QO2-QK2,

故。K_LPQ.由题设，0KlMN,所以PQ〃MN,于是

AQAP

由梅内劳斯（Menelaus）定理，得

NBDEAQ.人

----------=H②

~BDEAQN

MCDEAP,△

----------------=1.（3）

~CDEAPM

,Or砥NBMC忆,NDMD〒曰

由①，②，③可得=---->所以——=——，故AADMNs/A\DCB,于是

BDCDBDDC

NDMN=4DCB,所以8C〃MM故0K_L8C,即K为8c的中点，矛盾！从而A,8,0,C

四点共圆.

注1："P/G=P的寝（关于€）0）+K的幕（关于。。）”的证明：延长PK至点F,使

得

PKKF=AKKE,

④

则P,E,F,八四点共圆，故

ZPFE=ZPAE=ZBCE,

从而£,C,F,K四点共圆，于是

PKPF=PEPC,

⑤

⑤-④，得

「长2=尸石孑。一人长”=。的累（关于00>+K的

嘉（关于。。）.

注2：若点£在线段4。的延长线上，完全类似.

2.记马5）表示正整数〃所含的2的鬲次.则当初=也伏）+1时，/""）"）为整数.

下面我们对h（幻=口用数学归纳法.

当y=0时，k为奇数，Z+1为偶数，此时

/（，）=（%+g）"g=（"+郛+i）

为整数.

假设命题对u-l（uNl）成立.

对于uNl,设A的二进制表示具有形式

2=2、22+a-2+2+…,

这里，％=0或者1,z=v+l,v+2,--«.

于是

«）=（人扑+弁0+:卜+1）

=—+—+k2+k

22

=1+2'7+（。川+1）•2"+（。川+a*）•2川+…+2?y+…

=r+-,①

2

这里

V+I2V

k'=2'T+（av+1+1）.2,+Q，+[+a-）•2H-----F2+

显然l中所含的2的暴次为u-l.故由归纳假设知，/=/+；经过/的v次迭代得到

整数，由①知，/•""（，）是一个整数，这就完成了归纳证明.

《〃

3.由0<441知，对1WAW〃-1,有0<Uj<n-k.

»=1<=*+i

注意到当x,y>0时，有|x-y|vmax{x,y},于是对〈〃一1,有

故

«=I&=i*=i

=E(A,-A)^ElA.-A|

A=1*=1

4.对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所

在的边上标上。，如果颜色不同，则标上b,如果数字和颜色都相同，则标上c.于是对于

给定的点人上的设置（共有4种〕，按照边上的字母可以依次确定点A2,4,…，凡上的设

置.为了使得最终回到4时的设置与初始时相同，标有。和b的边都是偶数条.所以这种

密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a,b,C,使得标有a和b的边都是偶

数条的方法数的4倍.

设标有a的边有2i条，04区1，标有b的边有2/条，OKJV巴”.选取2i

条边标记。的有C：种方法，在余下的边中取出2/条边标记b的有C，3种方法，其余的边

标记c.由乘法原理，此时共有C：'第二•种标记方法.对。J求和，密码锁的所有不同的密

码设置方法数为

[?]fM

1=0j=0①

这里我们约定C；=l.

当。为奇数时，n-2i>0,此时

[啜

-2»-l

代入①式中，得

[i]f[号]1[i][i]

吃Cf备=4名(C?2fT)=2£(C?2f)

1-0J-O1=0f-0

='C：2T+£C：2"T(-1)«=(2+l)rt+(2-l)M

&=0k=Q

=3"+l.

当n为偶数时，若则②式仍然成立；若i=g则正八边形的所有边都标记

。，此时只有一种标记方法.于是，当〃为偶数时，所有不同的密码设置的