2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用本章小结学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE6-第一章本章小结

一、求函数的导数及导数的几何意义利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应留意：(1)推断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上；(2)1°若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2°若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．【例1】求函数y＝lneq\r(\f(1－sinx,1＋sinx))的导数．【分析】采纳先化简后求导的方法来求解．【解】∵y＝eq\f(1,2)[ln(1－sinx)－ln(1＋sinx)]，∴y′＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1－sinx)1－sinx′－\f(1,1＋sinx)1＋sinx′))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－cosx,1－sinx)－\f(cosx,1＋sinx)))＝eq\f(1,2)·eq\f(－cosx1＋sinx＋1－sinx,1－sin2x)＝－secx.【例2】已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，和直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线；假如存在，求出k的值；假如不存在，说明理由．【分析】直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．【解】(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，又f∴3a－6－6a＝0，∴(2)存在．因为直线m恒过定点(0,9)，先求过点(0,9)与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点为(x0,3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)，又g′(x0)＝6x0＋6.∴切线方程为y－(3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入得9－3xeq\o\al(2,0)－6x0－12＝－6xeq\o\al(2,0)－6x0，∴3xeq\o\al(2,0)－3＝0，∴x0＝±1，当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：由(1)得f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，∴f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1，当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.所以y＝9是公切线．综上所述当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．二、函数的单调性利用导数的符号推断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数几何意义在探讨曲线改变规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．【例3】已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．【解】(1)因为f′(x)＝eq\f(a,1＋x)＋2x－10，x＝3是极值点，所以f′(3)＝eq\f(a,4)＋6－10＝0，因此a＝16.(2)由(1)知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(2x2－4x＋3,1＋x)，当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1,3)时，f′(x)<0.所以f(x)的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)内单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，微小值为f(3)＝32ln2－21，因此f(16)＝16ln17＋162－10×16>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，所以在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y＝b和y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)，因此，b的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9)．三、函数的极值与最值1．利用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得微小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特殊地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或微小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．【例4】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．【解】(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2<t<3时，当x改变时，f′(x)、f(x)的改变状况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf′(x)0－0＋3t2－6tf(x)2－2t3－3t2＋2f(x)min＝f(2)＝－2.f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈[1,2)时，g′(x)<0；在x∈(2,3]时，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1≥0,g2<0,g3≥0))，解得－2<c≤0.四、微积分的应用【例5】求定积分．【例6】某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满意函数关系式v(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t20≤t≤10,4t＋6010≤t≤20,14020≤t≤60))，某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1min行驶的路程超过7673m，则这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟选择的对象之一？【解】不能．由已知可得s＝eq\i\in(0,10,)t2dt＋eq\i\in(10,20,)(4t＋60)dt＋eq\i\in(20,60,)140dt＝eq\f(1,3)t3|eq\o\a