2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE7-2.1.2求曲线的方程[目标]1.驾驭求曲线方程的方法步骤.2.了解解析法的思想，体验用坐标法探讨几何问题的方法与过程.3.培育数形结合的实力．[重点]利用求曲线方程的一般步骤求曲线方程．[难点]求曲线方程中的“建系”、“设点”、“化简方程”及“检查曲线的完备性”是本课时的难点．学问点一坐标法与解析几何[填一填]1．坐标法与解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满意某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满意的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过探讨方程的性质间接地来探讨曲线的性质，这就是坐标法．数学中，用坐标法探讨几何图形的学问形成的学科叫做解析几何．2．平面解析几何探讨的主要问题是：(1)依据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，探讨曲线的性质．[答一答]1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？提示：只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法探讨几何问题．学问点二求曲线方程的一般步骤[填一填][答一答]2.如何建立恰当的坐标系？提示：建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．3．为什么第五步可以省略？提示：一般状况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；假如求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，所以通常状况下证明可以省略，不过特别状况要进行说明．4．“轨迹”与“轨迹方程”是一回事儿吗？提示：(1)动点的轨迹方程实质上是轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0，有时依据须要要在方程后指明变量的取值范围．(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必需指出这个方程所代表的曲线的形态、位置、范围、大小等．1．步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理．如定点作为原点，相互垂直的直线作为坐标轴等．合理地建立坐标系，能使运算更便利；2．步骤(2)中可以不必写出，也就是说可以依据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并；3．步骤(5)中没有特别状况可以省略不写．如有特别状况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除．类型一干脆法求曲线方程【例1】如图已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，求动点P的轨迹方程．【分析】本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后由eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))得出P(x，y)满意的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．【解】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(x＋1,0)，eq\o(QF,\s\up6(→))＝(2，－y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x－1，y)，eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(－2，y)，由eq\o(QP,\s\up6(→))·eq\o(QF,\s\up6(→))＝eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))，∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x.求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明五步法.在解题时，依据题意，正确列出方程是关键，还要留意最终一步，假如有不符合题意的特别点要加以说明.一般状况下，求出曲线方程后的证明可以省去.)已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满意直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满意的方程是(B)A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝eq\r(1－x2)(x≠±1)解析：设动点P的坐标为(x，y)，则kPA＝eq\f(y,x＋1)(x≠－1)，kPB＝eq\f(y,x－1)(x≠1)．∵kPA·kPB＝－1，∴eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．类型二定义法求轨迹方程【例2】已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．【分析】关键是找寻Q点满意的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中点．【解】解法一：(干脆法)如右图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以x2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)(去掉原点)．解法二：(定义法)如右图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)(去掉原点)．假如动点的轨迹满意某种已知曲线的定义，则可依据定义写出轨迹方程．另外也要留意以下三点：(1)要熟识各种常见的曲线的定义．(2)要擅长利用数形结合的方法，利用图形具有的相关几何性质找寻等量关系．(3)依据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程．定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．解：设M(x，y)，O为坐标原点，由直角三角形的性质知|OM|＝eq\f(1,2)|AB|，∴M到O的距离是3，故其轨迹方程为x2＋y2＝9.类型三代入法求轨迹方程【例3】已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．【分析】由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y＝x2＋3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2＋3即可．【解】设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(0＋6＋x′,3)，,y＝\f(0＋0＋y′,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x－6，,y′＝3y.))∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1.故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.1本例是求轨迹方程中的常见题型，难度适中.本题解法称为代入法或相关点法，此法适用于已知一动点的轨迹方程，求另一动点的轨迹方程的问题.2应留意的是，本例中曲线y＝x2＋3上没有与A、B共线的点，因此，整理方程3y＝3x－62＋3就得到轨迹方程；若曲线方程为y＝x2－3，则应去掉与A、B共线时所对应的重心坐标.已知圆C：(x＋1)2＋y2＝1与定点P(0,2)，动点M在圆C上移动，Q是PM上的点且满意eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QP,\s\up6(→))，求Q点的轨迹方程并说明Q点的轨迹．解：设Q(x，y)，M(x0，y0)，则由题意可得(x－x0，y－y0)＝2(－x,2－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x,y－y0＝4－2y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x,y0＝3y－4))①，∵M(x0，y0)是圆上的动点，故(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＝1②，∴将①式代入②式可得(3x＋1)2＋(3y－4)2＝1，即(x＋eq\f(1,3))2＋(y－eq\f(4,3))2＝eq\f(1,9).故所求动点Q的轨迹方程为(x＋eq\f(1,3))2＋(y－eq\f(4,3))2＝eq\f(1,9)，其轨迹是以(－eq\f(1,3)，eq\f(4,3))为圆心，以eq\f(1,3)为半径的圆．类型四素养提升应用平面几何性质求轨迹方程【例4】已知点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长等于圆O的半径与|MQ|的和，求动点M的轨迹方程．【规范解答】如图，过M作圆的切线MN，N为切点，设M(x，y)．由题意知|MN|＝|MQ|＋|ON|.由于|MN|＝eq\r(|OM|2－|ON|2)＝eq\r(x2＋y2－1)，|MQ|＝eq\r(x－22＋y2)，|ON|＝1，∴eq\r(x2＋y2－1)＝eq\r(x－22＋y2)＋1.两边平方整理得2x－3＝eq\r(x－22＋y2)，再两边平方整理得3x2－y2－8x＋5＝0.即：9(x－eq\f(4,3))2－3y2＝1.∵2x－3＝eq\r(x－22＋y2)中2x－3≥0，∴x≥eq\f(3,2).∴点M的轨迹方程为9(x－eq\f(4,3))2－3y2＝1(x≥eq\f(3,2))．【解后反思】1.在解决平面几何问题时，要留意数形结合思想的运用，如本例中切线长的表示．2．在对方程的化简整理过程中要留意隐含条件的挖掘，确保变形的每步都为恒等变形，如本例中的限制条件x≥eq\f(3,2).过点P(2,4)作两条相互垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解：设O为坐标原点，∵l1⊥l2，OA⊥OB，∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M.∴|MP|＝|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线．∵kOP＝eq\f(4－0,2－0)＝2，OP的中点坐标为(1,2)，∴点M的轨迹方程是y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.1．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为(B)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3解析：由题意知，点P的轨迹满意圆的定义，圆心为(1，－2)，半径为3，所以P点轨迹方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，假如动点P满意|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(B)A．πB．4πC．8πD．9π解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，则其面积是22·π＝4π.3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是x＋y－1＝0.解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线．4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.解析：设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，又半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.5．已知线段AB在直线y＝－2上移动，|AB|＝4，O为坐标原点．求△AOB的外心M的轨迹方程．解：∵A