09《有理数、整式、一元一次方程的新定义问题》三大考点题型（原卷版）

【题型1有理数中的新定义问题】1．（2023秋•锦江区校级期末）定义一种新的运算：当m≤n时，m*n＝m+n2；当m＞n时，m*n＝3m﹣n，则（﹣4*3）*（﹣2）的值为（）A．17 B．13 C．﹣17 D．﹣112．定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（）A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣153．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定a☆b＝a2﹣b2，如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣3）☆（﹣1）的值为（）A．﹣8 B．8 C．38 D．4．（2024秋•鹿泉区期中）定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则2※（﹣1）的结果是（）A．6 B．4 C．3 D．15．（2024•杭锦后旗模拟）我们规定：x⊗y＝（x+2）2﹣y，例如：3⊗5＝（3+2）2﹣5＝20，则1⊗（﹣2）的值为（）A．4 B．7 C．8 D．116．A．-23 B．2 C．3 D7．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6，f（4）＝8…；（2）f(1利用以上规律计算：f(2024)-f(1A．12023 B．12024 C．2023 D8．（2023秋•万州区期末）对于有理数a，b规定一种新运算：a☆b＝ab﹣b2，例如：（﹣1）☆6＝（﹣1）×6﹣62＝﹣42，则：5☆[（﹣2）☆3]＝．9．（2024秋•涧西区期中）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“※”如下：a≤b时，a※b＝a2；a＞b时，a※b＝b．则当c＝﹣4时，代数式（﹣3※c）×（﹣5※c）的值为．10．（2023秋•保定期末）规定一种新运算，如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因为23＝8，所以2※8＝3．根据上述运算填空：（1）2※14=（2）4※14+4※64=11．若a，b为有理数，我们定义新运算“※”使得a※b＝a2﹣ab，如（﹣2）※3＝（﹣2）2﹣（﹣2）×3＝10．（1）求3※（﹣4）的值；（2）求（﹣2）※（5※4）的值．12．定义一种新运算“∩”，规则为：m⋂n＝mn+mn﹣n，例如：2⋂3＝23+2×3﹣3＝11，据此解答下列问题：（1）求（﹣1）⋂4的值；（2）求（﹣1）⋂[（﹣3）⋂2]的值．13．定义☆运算，观察下列运算：（+3）☆（+15）＝+18，（﹣14）☆（﹣7）＝+21，（﹣2）☆（+14）＝﹣16，（+15）☆（﹣8）＝﹣23，0☆（﹣15）＝+15，（+13）☆0＝+13．（1）两数进行☆运算时，同号，异号．并把它们的绝对值．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的．（2）计算：[0☆（﹣12）]＝；（+11）☆[0☆（﹣12）]．（3）若|a|＝1，b2＝4，且a＞b，求a☆b的值．【题型2整式中的新定义问题】1．（2023秋•曲阳县期末）定义一种新运算：a⊗b＝a﹣2b．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x⊗（﹣y）化简后的结果是（）A．x+2y B．2x﹣y C．x﹣2y D．2x+y2．（2024•淮滨县开学）规定符号（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（3，1）＝1，[3，1]＝3．则化简（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2m3．（2024•民勤县三模）对于任意实数a和b，如果满足a3+b4=a+b3+4+23×4那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）．若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．（2024春•桃源县期末）定义一种新运算“※”的计算规则是：a※b＝a+b（其中a，b都是有理数）．例如3※4＝3+4＝7．下列等式成立的个数是（）①a※b＝b※a②（a※b）※c＝a※（b※c）③a※（b+c）＝a※b+a※cA．3 B．2 C．1 D．05．如果表示﹣4xyz，表示2abcd，则＝．6．现规定一种新的运算：abcd=ad﹣cb，则xy-3x7．（2023秋•临汾月考）阅读材料：对于任何数，我们规定符号abcd的意义是ab例如：3645=3×5﹣4×6＝15﹣（1）按照这个规定，请你计算58（2）按照这个规定，当x＝5，y＝﹣3时，求23xy-4x8．（2023秋•于洪区期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：a⊕b＝■，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题：2⊕4＝2×3+4＝10；3⊕（﹣1）＝3×3﹣1＝8；（﹣9）⊕5＝（﹣9）×3+5＝﹣22；（﹣4）⊕（﹣6）＝（﹣4）×3﹣6＝﹣18．（1）请你补全定义内容：a⊕b＝；（用含a，b的代数式表示）（2）先计算（﹣7）⊕2和2⊕（﹣7），再说明新定义的运算“⊕”是否满足交换律，即a⊕b＝b⊕a是否成立；（3）若m⊕（﹣8）＝11⊕m，求m的值．9．（2023秋•东城区校级期中）我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”．（1）下列数对中，是“积差等数对”的是；①(2，23)；②（1.5，3（2）若（k，﹣4）是“积差等数对”，求k的值；（3）若（m，n）是“积差等数对”，求代数式4[4mn﹣m﹣3（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．10．（2023秋•常州期中）【阅读】对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“天宁数对”．如：因为2+2＝2×2，﹣3+34=-3×34，所以（2【理解】（1）下列数对中，是“天宁数对”的是；（填序号）①（3，1.5）；②(3③(-1【运用】（2）若（﹣5，x）是“天宁数对”，求x的值；（3）若（m，n）是“天宁数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值．【题型3一元一次方程中的新定义问题】1．（2023秋•雨花区校级月考）若定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，则m的值是（）A．9 B．﹣9 C．12 D．﹣122．定义：对于两个不相等的有理数m，n，max{m，n}表示m，n中最大的数，如：max{3，5}＝5．已知一元一次方程max{﹣4，2}+x＝3x﹣a的解为x＝﹣2，则a的值为（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣63．（2023秋•东平县期末）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2+2ab+a，若x+12★（﹣3）＝8，则xA．﹣1 B．0 C．1 D．34．（2023秋•慈溪市期末）规定新运算“*”：对于任意实数a、b都有a*b＝ab2﹣a﹣b2，例如：2*5＝2×52﹣2﹣52＝23，若（1﹣2x）*3＝15，则x的值为（）A．-45 B．45 C．﹣1 5．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，则m＝．6．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝2b﹣a，则称该方程为“倍差”方程．例如：方程2x=43的解是x=23，且满足23=2×43-2，所以方程2x=43是“倍差”方程．若关于x的一元一次方程﹣37．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于x的一元一次方程3（x﹣a）﹣2（1+x）＝0是妙解方程，则a的值为．8．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“差解方程”．若关于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”，则m＝．9．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．若关于x方程12022x﹣1＝0与12022x+1＝3x+k是“美好方程”，则关于y的方程12022（y+2）+1＝3y+k+6的解是10．综观中国传统文化和西方文化中，”7”的含义都是代表吉祥和吉利、尊贵与博大，它蕴含着古代自然科技与人文科学的一种结合，我们约定：如果任意两个有理数a，b满足a+b＝7，则称a，b互为吉祥数．如9+（﹣2）＝7，则9与﹣2互为吉祥数．（1）填空：2024与互为吉祥数；（2）若M＝2x2﹣3x+1，N＝5x﹣2x2+3，当M与N互为吉祥数时，求x的值．11．（2023秋•和平区期末）2022年12月4日，神舟十四号载人飞船成功返回地球结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：A，B是两个整式，如果2A+3B＝124，那么A叫做B的“神舟式”．（1）若A＝﹣3x+5，B＝﹣5x﹣4，当x＝﹣6时，求A，B的值，请你判断此时A是否为B的“神舟式”；（2）若A＝﹣x2﹣3x+5，A是B的“神舟式”，求整式B；（3）若A=13(2x+2)，B=1212．（2024春•越秀区校级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，以上哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是．（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x-2x-2a3=a+1（3）如关于y的方程2m|y﹣49|+m(y-1)45=m+n是关于x的一元一次方程mx+45n＝54m1．（2024秋•集宁区校级月考）定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，a*b＝4a（a﹣b），如2*3＝4×2×（2﹣3），则3*（﹣2）的值为（）A．12 B．﹣12 C．60 D．﹣602．（2024秋•江夏区月考）定义新运算“*”，规定a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3（其中a≠b）．例如，1*3＝[（1+3）÷（1﹣3）]3＝[4÷（﹣2）]3＝（﹣2）3＝﹣8．则（﹣9）*（﹣15）的值为（）A．﹣64 B．﹣4 C．4 D．643．（2024秋•万州区期中）定义一种新的运算：a*b=ab+ab(b≠0)，如-4*2=(-4)4．定义一种新运算“∀”，规定a∀b＝ab﹣a2+b3，则（﹣2）∀（﹣3）的值为．5．规定一种新运算：abcd=ad-bc，如2143=2×3-1×4=2．若1x6．定义：关于x的一元一次方程ax+b＝0的解为a﹣b，则称该方程为“差解方程”，例如：2x+4＝0的解为﹣2，且2﹣4＝﹣2，则该方程2x+4＝0是差解方程，若关于x的一元一次方程3x﹣m+1＝0是差解方程，则m＝．7．对于有理数a，b，我们定义一种新运算，规定“※”是一种数学运算符号，例a※b＝ab﹣2a如：1※2＝1×2﹣2＝0．（1）求2※1（2）求（﹣3）※[1※（﹣2）]的值．8．在学习完有理数的混合运算后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他利用所学知识定义了一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝ab+a2﹣1．请你利用该运算规则解答下面的问题：（1）求3⊗（﹣1）的值；（2）求-2⊗(-6⊗19．（2023秋•兴化市期末）用“⊕”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：x⊕y＝x2y﹣3xy+y．