2025年高考一轮复习 仿真重难点训练08 数列（解析版）

高考仿真重难点训练08数列一、单选题1．记等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．60 B．80 C．140 D．160【答案】C【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得.【解析】等差数列中，，而，则，公差，，所以.故选：C2．若数列的前项和，则等于（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根据与关系求解即可.【解析】.故选：C.3．若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算及等比数列性质求出.【解析】数列中，由，知，则，又，于是，而，所以.故选：A4．设是等差数列，下列结论中正确的是（

）A．若a1+a2>0，则aC．若0<a1<a2，则a【答案】C【分析】设an的公差为，根据公差的正负不确定可判断AB；根据等差中项、基本不等式可判断C；利用等差数列通项公式可判断D.【解析】设an的公差为，对于A，∵a因为公差的正负不确定，所以2a1对于B，∵a因为公差的正负不确定，所以2a1对于C，a1+a3又∵a2>a1对于D，若，则a2−所以a2故选：C.5．数列an是等差数列，是数列an的前项和，是正整数，甲：，乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等差数列的性质、充分条件、必要条件求解．【解析】数列是等差数列，是数列的前项和，，，，是正整数，甲：，乙：，则甲不能推出乙，例如等差数列1，2，3，4，5，，中，，，，，，，但，即充分性不成立；乙不能推出甲，例如等差数列1，2，3，4，5，，中，，，，，，，但，即必要性不成立，甲是乙的不充分不必要条件．故选：D．6．在数列中，已知，，则它的前30项的和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解析】解：由，可得，所以当时，，又，所以，所以．故选：D．7．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【解析】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：，则，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即，综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.8．数列中，，，记，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD.【解析】由可得，由于，所以，故，故，又可得，因此，故，故AB错误，又，又因为，则等号无法取到，故，由于故，因此，故C正确，D错误，故选：C【点睛】关键点点睛：将变形为和，即可累加以及累乘求解.二、多选题9．已知数列的前项和为，且，则下列判断正确的是（

）A．B．当为奇数时，C．当为偶数时，D．数列的前项和等于【答案】BCD【分析】根据题意，得到为奇数时，，可判定B正确；当为偶数时，，所以所以A错误，C正确；由，求得数列的前项和，可判定D正确．【解析】由，可得，，当为奇数且时，，其中符合，所以当为奇数时，，所以B正确；当为偶数时，，所以A错误，C正确；又由，，所以数列的前项和为，所以D正确．故选：BCD.10．已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（

）A．若，则B．若，，则C．数列可以是等差数列D．数列可以是等比数列【答案】BC【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.【解析】若，当时，，解得，故A错；若，，当时，，解得，当时，，解得，，根据递推关系可知，当为奇数，即时，，故B正确；若，则成立，故数列可以是等差数列，即C正确；若数列是等比数列，假设公比为，则由，得，两式相除得，，即，解得，不符合题意，则假设不成立，故D错.故选：BC11．记数列的前n项和为，则下列说法错误的是（

）A．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立B．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立C．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立D．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立【答案】BCD【分析】由两个数的差的绝对值小于等于两个数的绝对值之和结合已知可得A正确；举反例令，可判断BD错误；举反例令可得C错误（注意题目中让选错误的）.【解析】对A：若恒成立，则，，故A正确；对B、D：反例为，，故B、D错误；对C：反例为，故C错误．故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于抽象数列题，可用排除法快速选择，较为简便快捷.三、填空题12．已知数列中，，且是递增数列，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】由恒成立，可得，求得的最大值即可.【解析】恒成立，∴，，∵，∴，∴．∴实数的取值范围为.故答案为：.13．若数列满足对任意整数有成立，则在该数列中小于100的项一共有项．【答案】【分析】根据与的关系求出数列的通项，再令即可得解.【解析】设数列的前项和为，则，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以，令，则，所以在该数列中小于100的项一共有项.故答案为：.14．“序列”在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”，表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组.例如：，则.定义，，若中1的个数记为，则bn的前10项和为.【答案】【分析】设中有项为0，其中1和的项数相同都为，由已知条件可得①，②，进而可得③，再结合④，可得，分别研究为奇数和偶数时bn的通项公式，运用累加法及并项求和即可得到结果.【解析】因为，依题意得，，，显然，中有2项，其中1项为，1项为1，中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0，中有8项，其中3项为，3项为1，2项为0，由此可得中共有项，其中1和的项数相同，设中有项为0，1和的项数相同都为，所以，，从而①，因为表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，得到新的有序实数组，则②，①②得③，所以④，④③得，所以当为奇数且时，，经检验，当时符合，所以(为奇数)，当为偶数，则为奇数，又因为，所以，所以，当为奇数时，，所以bn的前10项和为.故答案为：【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转化为数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合已学数学知识进行解答.四、解答题15．数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；（2）直接用裂项相消法即可求解.【解析】（1）因为，所以，又因此是以为首项，1为公差的等差数列，设的前n项和为，则，又由，得，，当时，经检验也满足，∴．（2）．因此．16．已知数列满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；（2）根据（1）问，求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，最后利用裂项相消求和法求得【解析】（1）证明：令，又，则有，又，所以所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）知，，又，所以，所以，所以17．已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为(1)求数列的通项公式及数列的前n项和(2)是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，(2)存在，，【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和；（2）假设存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，得到方程，得到，求范围，即得结论.【解析】（1）由题意在等差数列an中，设公差为d由，得，则，又，，成等比数列，∴7，，成等比数列，得，即，得，∴，，∴数列an的通项公式为：（）．∴，∴.（2）若存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，则，即，化简得：，解得：又且，所以，，故存在正整数，，使得，，成等比数列.18．已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记，求证：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出；（2）利用错位相减法求出；（3）利用放缩法求和可得答案.【解析】（1）由题意，，又是和的等比中项，得，又，解得，；（2），设，则，将以上两式相减得，；（3），，.结论得证.19．进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满二进一，就是二进制；满八进一，就是八进制；满十进一，就是十进制……；满几进一，就是几进制”．我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数的各位上的数字分别记为，则表示为关于10的次多项式，即，其中，，记为，简记为．随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等．更一般地，我们可类似给出进制数定义．进制数的定义：给出一个正整数，可将任意一个正整数，其各位上的数字分别记为，则唯一表示为下列形式：，其中，，并简记为．进而，给出一个正整数，可将小数表示为下列形式：，其中，，并简记为．(1)设在三进制数下可以表示为，在十进制数下可以表示为，试分别将转化成十进制数，转化成二进制数；(2)已知数列an的前项和为，且满足，，数列bn满足，当时，；①当时，求数列bn的通项公式；②证明：当时，．【答案】(1)，(2)①②证明见解析【分析】（1）直接使用进制表示的定义即可；（2）①利用数学归纳法求得，再用进制表示的定义得到，②利用通项公式直接证明即可.【解析】（1