2025年高考一轮复习 专题14 导数与函数的单调性（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）

专题14导数与函数的单调性目录01思维导图02知识清单03核心素养分析04方法归纳一、函数单调性和导数的关系函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.1.若f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增.2.若f'(x)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减。二、函数图象的变化和导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”;如果一个函数在自变量的某一变化范围内导数的绝对值较小，那么函数在这个范围内变化得慢，这时，函数的图象就“平缓”一些.导数绝对值的大小反映了函数在某个区间内或某点附近变化的快慢程度。三、利用导数求函数单调区间的方法方法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间；（无参函数）确定函数单调区间的步骤①确定函数f(x)的定义域．②求f′(x)．③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；方法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．四、根据函数单调性求参数方法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；方法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；方法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．方法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．恒成立有解问题小结：(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．五、单调性的应用1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较．2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．本专题是高考中常考内容，通过导数研究函数的单调性，从而解决函数的有关问题。导数是解决很多函数问题的桥梁，使很多复杂的函数通过求导变得有法可寻；或是其他问题通过构造函数解决。高考中多以选填题，解答题前几题出现。一、不含参数的函数的单调性例1(1)函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．答案A分析求出函数导数，解不等式即可得出递增区间.解析因为函数，所以，令，解得或，所以函数的单调递增区间为.故选：A(2)函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．答案B分析求导，令，利用导数求的单调递减区间.解析由题意可知：的定义域为，且，令，解得，所以函数的单调递减区间是.故选：B.[拓展]1．函数的单调增区间是（

）A． B． C． D．答案B分析通过求导，令导函数大于，即可求解.解析函数的定义域为，，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：.2．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是．答案和；分析根据导函数的图象得到导数大于零的的取值范围，得解.解析设函数为，由图象可得，当，，所以函数的单调区间是和.故答案为：和.3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为．答案分析利用导数求当时的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.解析当时，,由，解得，所以在区间上单调递增，因为函数是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以在区间上单调递增.故答案为：.方法归纳：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．二、含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．解函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(ax2－a＋1x＋1,x)＝eq\f(ax－1x－1,x).令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)或x＝1.①当0<a<1时，eq\f(1,a)>1，∴x∈(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上单调递减；②当a＝1时，eq\f(1,a)＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a>1时，0<eq\f(1,a)<1，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))时，f′(x)<0，∴函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递减．综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递减．延伸探究若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？解当a>0时，讨论同上；当a≤0时，ax－1<0，∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a<1时，函数f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上单调递减．方法归纳：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．三、函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例3(1)己知，则（

）A． B． C． D．答案B分析构造，利用导数证明，代入可比较的大小，根据对数函数的性质可判断的大小，从而可求解.解析设，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，即.由，可得，即，即，所以，即.综上所述，.故选:B.(2)已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案C分析构造函数，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为，由此即可得解.解析令，则，所以在上单调递增，不等式等价于，所以不等式的解集为.故选：C.[拓展]1.已知，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．答案C分析根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可.解析当时，由得，所以为偶函数．又，当时，令，则，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减．，，所以，令，，则，因为，所以在上单调递增，所以，即，所以，得．故，从而，即.故选：C．已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案D分析构造函数，然后由已知可得的单调性，最后将不等式转化为，即可得到答案.解析，令，则，则在上单调递增.由，为奇函数，得，则，从而原不等式可化为，即，此即为.由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.命题点2根据函数的单调性求参数的范围例4若函数在上单调递增，则实数的最大值为（

）A． B．0 C．1 D．2答案D分析求导，转化为，参变分离即可得解.解析，求导得，由在上单调递增，得，又当，，则，又时，在上单调递增，所以实数的最大值为2.故选：D．[拓展]1．函数在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案B分析先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解.解析函数的定义域为，求导得，令，解得，所以函数的单调递减区间为，又函数在上单调递减，所以.所以实数的取值范围为.故选：B.2．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（

）A． B． C． D．答案A分析由可得，令，则在上为减函数，即在上恒成立，求解即可.解析，又，所以，所以，由已知对任意的，，且时，，设，则在上为减函数