专题41 几何问题（2）之综合问题【热点专题】 带解析

专题41几何问题（2）之综合问题专题41几何问题（2）之综合问题题型精讲题型精讲题型一：材料阅读创新【例1】（2021·湖北中考真题）问题提出如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．【答案】（1）．（2）见解析；问题拓展：．【分析】（1）先证明△BCE≌△ACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）过点作交于点，证明，，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究（1）．理由如下：如图（2），∵∠BCA=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠ACF，∵BC=AC，EC=CF，△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴BF-BE=BF-AF=EF=；（2）证明：过点作交于点，则，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴．∴．∴，，∴是等腰直角三角形．∴．∴．问题拓展．理由如下：∵∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCE=∠ACD，∵BC=kAC，EC=kCD，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC=∠FAC，过点作交于点M，则，∴．∴△BCM∽△ACF，∴BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，∴BM=kAF,MC=kCF，∴BF-BM=MF，MF==∴BF-kAF=．【例2】（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；（2）先证明，得，进而即可求解；（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解．【详解】解：（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即平分；（2）∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴；（3）如图，在上取一点F，使得，连结．∵平分，∴∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，又∵，∴∴，∴，∴．题型二：定义材料阅读【例3】（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′和等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，点A′与M重合时，AA′的值最小，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．解直角三角形求出AA′即可．【解析】（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．故答案为：P1P2∥P3P4，P3．（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝23，∴tan∠NMO=3∴∠NMO＝60°，∴EH＝EM•sin60°=3观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52−当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．由题意A′H=32，AH∴AA′的最大值=(∴32≤d2题型三：操作材料阅读【例4】（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：．（2）若，则线段AP的长为．【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2）【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出,,从而得出∠EAF的值；操作二：根据折叠的性质得出,从而得出，即可求得的度数；（1）首先利用,得出,则,从而得出△ANF为等腰直角三角形，即可证得；（2）利用三角函数或者勾股定理求出BE的长，则,设DF=x，那么FC=，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的长，也就是MF的长，即可求得EF的长，进而可得结果．【详解】操作一：45°，证明如下：∵折叠得到,折叠得到,∴,∴,∴,故填：45°；操作二：60°，证明如下：∵，∴,又∵沿着EF折叠得到,∴，∴,∴,故填：60°；（1）证明：由上述证明得,,∴,∵四边形ABCD为正方形，∴∠C=∠D=90°，∴,,又∵,∴,在和中，∵,∴,∴,∴，∴,∴为等腰直角三角形，即AN=NF,在和中：∵∴（2）由题可知是直角三角形，,∴,解得BE=1,∴BE=EM=1,,设DF=x，则MF=x，CF=，在Rt△CEF中，，解得x=，则，∵∴AP=EF=．【例5】（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）．第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图13-2）．猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符（1）中的等边三角形？【答案】(1)是等边三角形，理由见解析；（2），理由见解析【分析】（1）连接，由折叠性质可得是等边三角形，，，然后可得到，即可判定是等边三角形．（2）由折叠可知，由（1）可知，利用的三角函数即可求得．【详解】（1）解：是等边三角形，证明如下：连接．由折叠可知：，垂直平分．∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是等边三角形．（2）解：方法一：要在矩形纸片上剪出等边，则，在中，，，∴，∵，∴，即，当或（）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．方法二：要在矩形纸片上剪出等边，则，在中，，，设，则，∴，即，得，∴，∵，∴，即，当（或）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．提分作业提分作业1．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）．【分析】（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得；（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【详解】（1）．如图，分别延长，相交于点P，∵四边形是平行四边形，∴，∴，,∵为的中点，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即为的中点，∴，∵，∴，∴，∴．（2）．∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵为的中点，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四边形为平行四边形，∴，DC=AB，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴．（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，∵的面积为20，边长，于点，∴BH=50÷5=4，∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵将沿过点的直线折叠，点A的对应点为，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵于点，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴，即，解得：NH=2，∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴，即，解得：MQ=，∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．2．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形[探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长．[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并加以证明．【答案】[探究1]；[探究2]，证明见解析；[探究3]，证明见解析【分析】[探究1]设，根据旋转和矩形的性质得出，从而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；[探究2]先利用SAS得出，得出，，再结合已知条件得出，即可得出；[探究3]连结，先利用SSS得出，从而证得，再利用两角对应相等得出，得出即可得出结论．【详解】[探究1]如图1，设．∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形，∴点，，在同一直线上．∴，，∴．∵，∴．又∵点在延长线上，∴，∴，∴．解得，（不合题意，舍去）∴．[探究2]．证明：如图2，连结．∵，∴．∵，，，∴．∴，，∵，，∴，∴．[探究3]关系式为．证明：如图3，连结．∵，，，∴．∴，∵，，∴，∴．在与中，，，∴，∴，∴．∴．3．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝BD，∴CF＝BE．故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．②结论不变．解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，由①得：设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，点F是BD的中点，则DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝BE．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，∵∠ACB＝∠CBT＝90°，∴AC∥BT∥，∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，∴BD与GT互相平分，∵点F是BD的中点，∴BD与GT交于点F，∴GF＝FT，由旋转可得；是等腰直角三角形，∴CF＝F