九年级上册数学（苏科版）期末考试《对称图形-圆》试题分类-解答题

-2024学年九年级上册数学（苏科版）期末考试《对称图形——圆》试题分类一．解答题1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长l．2．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，D在线段AB的延长线上，且CA＝CD，BC＝BD．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若AB＝8，求图中阴影部分的面积．3．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P为CO的延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．4．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，以AB为直径作⊙O．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若BC＝3，连接BD，求阴影部分的面积．（结果保留π）5．已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．（1）如图（1），AC＝BC；（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝210，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．（1）求⊙O的半径；（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．7．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是BD的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA＝CF；②若⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．已知DC＝4cm，DE＝2cm．（1）求BF的长；（2）求⊙O的面积．9．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）10．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．11．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．12．如图所示，⊙O分别切△ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC＝8，AC＝10，AB＝6．（1）求AD的长；（2）求⊙O的半径长．13．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CE=163，AB＝6，求⊙15．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．（1）求∠DAC的度数；（2）若AC＝6，求BE的长．16．如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若GF＝23，GB＝4，求⊙O的半径．17．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BD＝3，AD＝4，则DE＝．18．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．（1）求证：∠ABC＝∠ABO；（2）若AB=10，AC＝1，求⊙O19．如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC=43，BC（1）求证：DE为圆O的切线；（2）求阴影部分面积．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．

2023-2024学年九年级上册数学（苏科版）期末考试《对称图形——圆》试题分类参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．【答案】（1）见解析；（2）23π【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，∴OB=12∴BC的长=60⋅π×21802．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO＝90°，∵CA＝CD，BC＝BD，∴∠A＝∠D＝∠BCD，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠BCD+∠BCO＝∠ACO+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∴CD⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CD与⊙O相切；（2）解：∵AB＝8，∴OC＝OB＝4，由（1）得：∠A＝∠D＝∠BCD，∴∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠D，∵∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝∠OBC，∴OC＝BC，∵OB＝OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∵∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣60°＝30°，∴CD=3OC＝43∴图中阴影部分的面积＝△OCD的面积﹣扇形OBC的面积=12×4×43−3．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连接OA，如图1所示：∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12（180°﹣∠AOC）∵AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴∠PAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠PAO＝∠PAC﹣∠OAC＝120°﹣30°＝90°，∴AP⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线；（2）连接OB，如图2所示：∵AP、PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∵OA＝OB，∴PO是AB的垂直平分线，∴CB＝CA，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点O作OE⊥CD于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠OED＝90°，∴四边形ADEO是矩形，∴AD＝OE，∵AB＝2BC，∴AB＝2AD＝2OE，∴AO＝OE，∴CD是⊙O的切线；（2）∵四边形ADEO是矩形，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形BOE=90⋅π×5．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，直线OC即为所求．（2）如图，直线EC即为所求．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，∵BC＝4，∴BD=12∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝210，∴AD=A设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r．∵在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2．解得r=10即⊙O的半径为103（2）当⊙P也经过B、C两点，则设PB＝r，PA＝2，则PD＝6﹣2＝4或6+2＝8，BD＝2，∴PB=42或PB=82+所以⊙P的半径的长为25或217．7．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠DEA＝∠DBA，∠DAC＝∠DEA，∴∠DBA＝∠DAC，∴∠DAC+∠DAB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∠CAB＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）①证明：∵点E是BD的中点，∴∠BAE＝∠DAE，∵∠CFA＝∠DBA+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，∠DBA＝∠DAC，∴∠CFA＝∠CAF，∴CA＝CF；②解：设CA＝CF＝x，则BC＝CF+BF＝x+2，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，在Rt△ABC中，CA2+AB2＝BC2，即：x2+62＝（x+2）2，解得：x＝8，∴AC＝8．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OC⊥CD，AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠AEB＝∠OFB，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠OFB＝90°，∴OF⊥BE且平分BE，∴EF＝BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠OCD＝∠CFE＝90°，∴四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD，DE＝CF，∵DC＝4，DE＝2，∴EF＝4，∴BF＝EF＝4cm；（2）∵DE＝CF＝2，设⊙O的为r，∵∠OFB＝90°，∴OB2＝OF2+BF2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得，r＝5，∴AB＝2r＝10，∴⊙O的面积＝（102）2π＝25π9．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AO＝DO，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵∠ACD＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）解：连接OE，ED，OE与AD交于点M．∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠ADE＝30°，又∵∠OAD=12∠∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴四边形OAED是菱形，∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，∴12S△AED=12S∴阴影部分的面积＝S扇形ODE=60π×210．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OE．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，又∵∠DAE＝∠OAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AD，∴∠ADC＝∠OEC，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，故∠OEC＝90°．∴OE⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠C＝45°，∴△OCE是等腰直角三角形，∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE=12×2×2−11．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BAC＝∠BCE，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD=∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AB=2AD＝42∵BC＝3，∴AC=A12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设AD＝x，∵⊙O分别切△ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，∴AF＝AD＝x，∵BC＝8，AC＝10，AB＝6，∴BD＝BE＝AB﹣AD＝6﹣x，CE＝CF＝AC﹣AF＝10﹣x，∴BE+CE＝6﹣x+10﹣x＝BC＝8，即16﹣2x＝8，得x＝4，∴AD的长为4．（2）如图，连接OD，OE，OF，OA，OB，OC．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵⊙O分别切△ABC的三边AB、BC于点D、E，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD＝OE，∴四边形ODBE是正方形，∴DB＝OD，∵AB＝6，AD＝4，∴OD＝DB＝6﹣4＝2，∴⊙O的半径长为2．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE=12DE＝3，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC=12由勾股定理得OE＝23；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S阴影=14π（23）2−12（23）14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：结论：DE与⊙O相切证：连接OD在⊙O中，∵D为AC的中点，∴AD=∴AD＝DC，∵AD＝DC，点O是AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵DE∥AC，∴∠DOA＝∠ODE＝90°，∵∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D，∴DE与⊙O相切．（2）解：连接BD．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE，∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD=∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠CDE＝45°，在△ABD和△CDE中，∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴ABCD∴6CD∴AD＝DC＝42，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝42，∴AC=A∴⊙O的半径为4．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接OA．∵AC垂直平分OD，∴AO＝AD，又OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠DAO＝60°．∵AC⊥OD，AO＝AD，∴∠DAC＝∠OAC=1（2）∵OD⊥AC，AC＝6，∴AE=12∵AC垂直平分OD，垂足为E，∴∠AEO＝90°，OE=12∴OE=12设OE＝x，则OA＝OB＝2x，在Rt△AEO中，AE2+EO2＝AO2，即：32+x2＝（2x）2，解得，x=3∴BE＝OE+OB＝x+2x＝3x＝33．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接OE．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C；∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠OEC，∴OE∥AB，∵BA⊥GE，∴OE⊥EG，且OE为半径；∴EG是⊙O的切线；（2）∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF=23，GB∴BF=B∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴BFOE∴2OE∴OE＝4，即⊙O的半径为4．17．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC∵OA＝OD∴∠BAD＝∠ODA∴∠ODA＝∠DAC∴OD∥AE∴∠ODE+∠E＝180°∵DE⊥AE∴∠E＝90°∴∠ODE＝180°﹣∠E＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥DE∵点D在⊙O上∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BD＝3，AD＝4，∴AB＝5，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠DAE，∵DE⊥AC，∴∠ADB＝∠E＝90°，∴△BAD∽△DAE，∴ABAD∴54∴DE=12故答案为：12518．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OA，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB，∵AC切⊙O于A，∴OA⊥AC，∵BC⊥AC，∴OA∥BC，∴∠OBA＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ABO；（2）解：设⊙O的半径为R，过O作OD⊥BC于D，∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACD是矩形，∴OD＝AC