工程力学I课件：杆件的内力分析

杆件的内力分析4.1内力的计算方法4.2杆件的基本变形4.3轴力和轴力图4.3扭矩及扭矩图4.4剪力和弯矩剪力图和弯矩图3

杆件因为受到外力的作用而发生变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关4.2内力的计算方法1、用假想的截面将构件截开；2、任取截下的一部分作为自由体：3、对自由体作受力分析，其上作用这外力和分布内力一、截面法4、将分布内力向截面形心简化，得到一个力和一个力偶；5、建立x轴与截面垂直的直角坐标系，将内力和内力偶向坐标系分解;6、利用静力学平衡的原理求出截面上的内力。切一刀，留一半加内力，列平衡二、内力的分类1）轴力FN：垂直与横截面的内力分量，即沿着x轴方向的内力分量。该力使构件产生伸长或缩短（拉压变形）；2）剪力FS：平行于横截面的内力分量，即垂直x轴方向的内力分量。该力使构件位于截面左右两侧的部分发生相对错动（剪切变形）3）扭矩T：力偶矩矢沿着x轴方向的内力偶分量。该内力偶使横截面绕着x轴发生相对转动（扭转变形）；4）弯矩My、Mz：力偶矩矢垂直x轴方向的内力偶分量。该力偶使杆件在纵向面内发生弯曲（弯曲变形）。例4-1如图所示，求l1处杆件截面的各个内力分量

解:1）求出约束反力。2）在l1处作虚拟截面，取左侧进行受力分析，在截面处标出六个内力分量，如下图所示。3)列静力平衡方程，求内力分量轴力垂直与横截面的内力分量剪力平行于横截面的内力分量扭矩力偶矩矢沿

x轴方向的内力偶分量弯矩力偶矩矢垂直

x轴方向的内力偶分量4.2杆件的基本变形一、轴向拉伸与压缩ABGCABACF1F1F2F2受力特征：作用在杆件上的外力或其合力作用线沿杆件轴线。变形特征：杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向受载杆。二、扭转

受力特点：杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：杆各横截面绕杆的轴线作相对转动以扭转变形为主的杆件称为轴三、剪切受力特点:受到一对等值、反向、作用线很近而且平行的力作用变形特点:构件沿位于两侧外力之间的截面发生相对错动。发生错动的截面称为剪切面。12/54当杆件承受垂直于其轴线的外力，或在过其轴线的平面内作用有外力偶时，杆的轴线将变为曲线，这种变形称为弯曲。平面弯曲轴线纵向对称面变形后，梁的轴线弯成外载荷作用平面内的平面曲线。四、弯曲4.3轴力与轴力图例4-2如图所示受轴向外力作用的等截面直杆。为确定截面1-1的内力，用假想截面1-1将杆件分为Ⅰ和Ⅱ部分。解：取Ⅰ部分为研究对象：由平衡条件：取Ⅱ部分为研究对象：由平衡条件：ⅠⅡ一、轴力计算ⅠⅡ

轴力正负号符号规定：轴力是拉力，即其方向与所在横截面的外法线一致时(背离横截面)，取正值；轴力是压力，即其方向与所在横截面的外法线相反时(指向横截面)，取负值。取Ⅰ部分为研究对象：由平衡条件：取Ⅱ部分为研究对象：由平衡条件：快速求解截面轴力计算的方法，即截面上的轴力等于截面一侧所有轴向外力的代数和，其中指向截面的外力取负值，背离截面的轴向外力取正值。以杆件轴线长度方向为x轴，内力的大小为y轴，画出内力沿杆件轴线方向变化的图形，称为内力图。若y轴表示的是轴力，则称为轴力图。二、轴力图例4-3变截面杆受力情况如图所示，各力的作用点均位于截面变化处。试求杆件各段轴力并画出整个杆件的轴力图。解：1）计算固定端约束力由整体平衡方程2）计算杆件各段轴力

在每个受力区间任取一截面。根据截面法，利用快速求解轴力的方法，分别求解各截面上的轴力。3、作轴力图4.4扭矩及扭矩图工程中传递功率的轴，其上作用的外力偶矩往往不是直接给出的，需要通过轴所传送的功率和轴的转速进行计算。其中，Me——作用在轴上的外力偶矩（N.m）

P——轴上的输入功率(kW，千瓦)

n——轴的转速(r/min，转/分钟)。一、外力偶矩例4-4如图所示受外力偶矩作用的等截面圆轴。为确定截面m-m的内力，用假想截面m-m将杆件分为Ⅰ和Ⅱ部分。取Ⅰ部分为研究对象：取Ⅱ部分为研究对象：二、扭矩及扭矩图ⅠⅡ由平衡条件：由平衡条件：扭矩正负号符号规定：扭矩的正负号要遵循右手螺旋法则，即用右手四指代表截面上内力扭矩的转向，拇指指向背离截面(与截面外法线方向一致)为正，反之为负。取Ⅰ部分为研究对象：取Ⅱ部分为研究对象：由平衡条件：由平衡条件：快速求解截面扭矩计算的方法：受扭杆任一横截面上的扭矩，等于在此截面左边(或右边)的所有外力偶矩的代数和，其中按照右手法则背离截面的外力偶矩取正值，指向截面的外力偶矩为负。例4-5已知某机器传动轴的转速为n=300r/min，主动轮1的输入功率P1=500kW，三个从动轮2、3、4的输出功率分别为P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作图5-4(a)所示机器传动轴的扭矩图。解：1）计算各轮所受外力偶矩由式5-1得同理得2）计算各段轴的扭矩根据扭矩符号规定，由截面法按照扭矩快速计算的方法，有3）作扭矩图一、梁的分类及计算简图简支梁悬臂梁外伸梁4.5剪力和弯矩剪力图和弯矩图二、剪力Fs和弯矩M例4-7图示的简支梁。为确定截面m-m的内力，用假想截面m-m将杆件分为Ⅰ和Ⅱ部分。ⅠⅡ解：1）首先计算支座约束力由平衡条件和平衡方程可求得FAxFAyFBy取Ⅰ部分为研究对象：（2）计算m-m截面上的内力由平衡方程：解得：取Ⅱ部分为研究对象：由平衡方程：解得：剪力Fs、弯矩M正负号符号规定：使保留段有顺时针方向转动趋势的剪力为正，反之为负；使保留段产生下凸的弯矩时为正，反之为负。取Ⅰ部分为研究对象：取Ⅱ部分为研究对象：由平衡条件：解得：由平衡方程：解得：剪力的快速计算方法：梁截面上的剪力等于所取截面一侧所有与梁轴线垂直的外力的代数和，外力对截面形心取矩，使得梁顺时针方向转动的外力取正值，反之为负。取Ⅰ部分为研究对象：取Ⅱ部分为研究对象：由平衡条件：解得：由平衡方程：解得：弯矩的快速计算方法：梁截面上的弯矩等于所取截面一侧纵向对称面内所有外力对截面形心的矩，其中使得梁产生下凸变形的外力矩为正，反之为负(外力矩的正负号)。例4-9如图所示梁AD的一端伸出到铰支座以外，这种梁称为外伸梁。梁的受力以及各部分的尺寸均示于图中。试计算各指定截面上的内力。解：1、计算支座约束力由平衡方程可解得FAyFBy2、由快速计算法计算指定截面上的内力三、剪力图和弯矩图反映剪力和弯矩沿梁轴的变化规律的图线叫做剪力图和弯矩图。一般来说梁横截面上的剪力与弯矩将随横截面位置的改变而发生变化，故它们可表示为关于截面位置的函数。——剪力方程——弯矩方程根据剪力方程和弯矩方程，以截面沿梁轴线的位置为横坐标，分别以横截面上的剪力和弯矩为纵坐标，作出的图形即为梁的剪力图和弯矩图。例4-10试绘制图示受集中力F作用的简支梁的剪力图和弯矩图解：1、计算支座约束力由平衡方程可解得2、由截面法分段列剪力方程和弯矩方程AC段：CB段：3、作出剪力图、弯矩图例4-11图示的简支梁，受集中力偶M0作用。画出梁的剪力图和弯矩图。解：1、计算支座约束力由平衡方程可解得2、由截面法分段列剪力方程和弯矩方程3、作出剪力图、弯矩图AC段：CB段：例4-12如图所示的简支梁，受均布载荷的作用。画出梁的剪力图和弯矩图解：1）计算约束反力，由对称性，可知2）取任意截面x,由剪力和弯矩的快速计算方法可得剪力方程和弯矩方程3）作出剪力图、弯矩图4）确定弯矩极值及其作用面位置四*、弯矩、剪力与载荷集度之间的关系剪力方程对截面坐标的一阶导数等于梁上的载荷集度，即剪力图的在某点处的斜率等于作用在梁对应截面上的载荷集度。弯矩方程对截面坐标的一阶导数等于截面上的剪力，即弯矩图在某一点处的斜率等于对应截面的剪力的数值。例4-13利用弯曲内力