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文档简介

泰勒公式

在实际问题中,往往希望用一些简单的函数来而多项式函数就是最简单的一类初等函数.首先考虑函数在一点附近的多项式近似.设n是给定的正整数,

我们考虑在点附近用n次即其中

近似代替复杂的函数.多项式来近似函数在实际应用时,必须考虑这种近似的误差.

我们用来表示,它是一种相对误差.

如果存在,我们所能期待的最理想的结果是:

当n=1且存在时,满足(4-2)式的一次多项式是存在的.

由有即满足(4-2)式的一次多项式为于是有设存在,则注意到

定理4.13(带有皮亚诺型余项的泰勒公式

)称为在处的n阶泰勒多项式.其中证令只需证则连续使用(n-1)次洛必达法则,有(4-3)式可写成其中(4-3)式称为带皮亚诺型余项的n阶泰勒公式,(4-3)式中的称为皮亚诺型余项.例4.42设函数证明:当k为奇数时,不是的极值点;

当k为偶数,且时,是的极

时,是的极大值点.小值点,证由泰勒公式有即因此当k为奇数时,不是的极值点;当k为偶数,且时,是的极小点;是的极大点.定理4.14(带有拉格朗日型余项泰勒公式

)那么使得其中称为拉格朗日型余项.现在考虑函数在区间上的多项式近似.

希望把函数在一个点的泰勒多项式作为这个函数在区

间上的一种近似表示.为此,

需要对误差进一步分析.

证利用柯西中值定理证明令且因此如果公式(4-5)变成

其中(4-7)式称为f(x)的n阶麦克劳林多项式,(4-8)式称为则f(x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.而误差估计式为称为f(x)的带皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.麦克劳林公式的用法:解因代入公式,得例4.43

求

的n阶麦克劳林公式.注意到解因例4.44

求

的2n阶麦克劳林公式.于是,由麦克劳林公式得到

常用函数的麦克劳林公式解因例4.45

利用带有皮亚诺余项的麦克劳林公式,求于是解因练习计算

解练习

将

的多项式.而例4.46

证明不等式

的三阶麦克劳林公式为

证其中故例4.47

近似计算的值，并估计误差.在的麦克劳林

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